Quelques applications de la théorie des solutions de viscosité en traitement d'images et en finance.

Résumé Nous appliquons la théorie des solutions de viscosité due à Michael Grain Crandall et Pierre-Louis Lions, à la résolution numérique de deux équations aux dérivées partielles non linéaires. La première partie est consacrée à l'étude de l'équation de Horn, qui modélise le problème shape-from-shading. Il s'agit de la reconstruction d'une surface éclairée par des sources lumineuses, à partir d'une seule photographie codée au niveau de gris. La théorie des solutions de viscosité nous fournit un cadre dans lequel le problème est mathématiquement bien posé: on démontre l'unicité de la solution de viscosité de l'équation de Horn vérifiant des conditions aux bords appropriées. Puis, pour calculer une approximation du premier ordre de la solution de viscosité, on construit un schéma aux différences finies, monotone, obtenu par discrétisation du principe de la programmation dynamique, du à Bellman. Dans la deuxième partie, on propose un schéma aux différences finies qui calcule une approximation de l'unique solution de viscosité de l'inéquation variationnelle qui modélise le problème de contrôle stochastique: gestion de portefeuille avec coûts de transaction. L'algorithme permet non seulement le calcul d'une approximation de la fonction valeur mais également la recherche des frontières libres qui délimitent la région dans laquelle aucune transaction n'est effectuée.