Ondelettes et analyse de Fourier dans l'étude d'un problème de chimie quantique.

Résumé Nous présentons dans ce travail deux techniques mathématiques pour l'étude des équations de Hartree-Fock, l'analyse de Fourier et l'analyse par ondelettes, en essayant de montrer leurs avantages ainsi que leurs inconvénients. L'analyse de Fourier, connue depuis longtemps mais peu utilisée par les chimistes, conduit à une représentation impulsionnelle et permet de simplifier l'écriture des équations dont la résolution devient possible pour des petites structures chimiques. Notamment, les équations relatives aux molécules diatomiques, H2 et HeH+, ont pu être résolue grâce à une méthode itérative définie dans l'espace des impulsions obtenu par transformée de Fourier. L'obtention par un calcul analytique de la première itération est décrite en détail, et les améliorations, tant qualitatives que quantitatives, apportées à la fonction d'onde initiale par cette première itération sont analysées et commentées. L'analyse par ondelettes quant à elle n'a jamais été appliquée en chimie quantique. Initialement développée en traitement du signal, elle trouve ici un nouveau champ d'applications. Apres un bref rappel des bases générales de la théorie des ondelettes, la représentation des équations de Hartree-Fock dans un espace mixte position-impulsion est obtenue grâce à une transformée en ondelettes continues. Un travail d'interprétation de cette représentation est présenté, et une méthode itérative de résolution est proposée. Les améliorations apportées par une première itération analytique sont ici aussi analysées et commentées. Un autre type d'ondelettes a également été utilisé . il s'agit d'ondelettes ortho normales qui conduisent à un traitement entièrement numérique des équations de Hartree-Fock. La représentation matricielle fournie par l'algorithme BCR (Beylkin, Coifman, Rokhlin) est utilisée dans une méthode de résolution basée sur un processus itératif dont la convergence ainsi que les problèmes liés à la discrétisation des données sont étudiés plus particulièrement.