Etude et implémentation de deux méthodes de décomposition de domaine : une approche monodimensionnelle pour l'initiation de la détonique à l'échelle moléculaire.

Résumé Les travaux présentés ici portent sur deux sujets distincts: dans la première partie, nous traitons de deux méthodes de décomposition de domaine inspirées de la méthode de Schwarz, sur des sous-domaines sans recouvrement, pour des problèmes elliptiques généraux. Ces méthodes sont basées sur la résolution alternative de sous-problèmes sur les sous-domaines, avec des conditions aux limites mixtes sur les interfaces, de Robin pour la première méthode, tandis que pour la seconde, nous introduisons un opérateur agissant sur le terme de trace. Nous démontrons la convergence de ces deux méthodes appliquées à des problèmes continus, et établissons qu'elles peuvent être interprétées comme des méthodes de Peaceman-Rachford. Apres une brève étude spectrale, nous proposons des résultats généraux de convergence dans le cadre des approximations par différences finies. Nous les comparons ensuite à ceux d'expériences numériques. La seconde méthode, que nous pouvons interpréter comme une version preconditionnée de la première, est plus performante du point de vue continu, pour lequel nous démontrons la convergence géométrique, et du point de vue discret, pour lequel nous établissons que la convergence est indépendante du pas de discrétisation. Dans la seconde partie, nous étudions un problème d'initiation de la détonique à l'échelle moléculaire, modélisée par un système quantique monodimensionnel perturbé par une onde de choc de potentiel. Notre but est de prédire l'état énergétique final du système. Nous proposons l'intégration numérique directe par une méthode de Runge-Kutta de l'équation de Schrodinger vérifiée par la fonction d'onde du système décomposé sur la base des états propres. Nous validons la méthode pour de petites valeurs du potentiel excitateur, et menons quelques expériences numériques. De l'analyse des performances nous déduisons que cette méthode n'est pas assez performante pour être généralisée à des modèles tridimensionnels, mais peut servir de moyen de validation.