Equations de Liouville, limites en grand nombre de particules.

Résumé Cette thèse est consacrée aux équations différentielles ordinaires et aux équations de transport associées, pour des champs de vecteurs peu réguliers, et contient quatre travaux. Le premier traite la résolution des EDO et équations de transport pour des champs de vecteurs dans L^2(R^2) à divergence nulle, vérifiant une condition de régularité sur la direction du champ. Les résultats sont obtenus dans le cadre de la théorie développée par R. DiPerna et P. L. Lions pour la résolution des équations de transport à coefficients peu réguliers. On abaisse les conditions de régularité nécessaires dans ce cas particulier de la dimension deux. Le second travail concerne l'équation de Liouville, qui gouverne le comportement d'une densité de N particules en interaction, dans le cadre de champs peu réguliers. Les résultats de DiPerna et Lions, déjà étendus au cas cinétique par François Bouchut, sont adaptés pour permettre de prendre en compte une singularité à l'origine. Dans le troisième travail, nous nous intéressons à la convergence des systèmes de particules en interaction vers l'équation Vlasov. La convergence est obtenue grâce à des estimations discrètes précises, dans le cas de forces d'interactions en 1/|x|^alpha, pour alpha < 1. Cela améliore le résultat connu précedemment pour des forces C^1. Le quatrième utilise le même type de technique pour l'approximation d'Euler par des vortex. On y prouve la convergence pour tout temps quand l'interaction est a peine moins singulières que pour les vortex. On donne aussi des bornes uniformes sur le champ et son acrroissement dans le cas des vrais vortex.