Problèmes de contrôle optimal et de jeux différentiels.

Résumé La première partie présente en détail la réalisation pratique d'un simple pendule inverse et l'étude de faisabilité d'un double pendule inverse en utilisant la théorie du contrôle stochastique linéaire. L'originalité de ces pendules est le choix d'un matériel bas de gamme, associée à une programmation assembleur assez complexe, multi-tâche et temps réel. La puissance des moteurs étant limitée, les essais sur le pendule simple montrent que la difficulté réside dans la contrainte sur le contrôle. Après une étude générale des rétroactions minimisant la norme du contrôle, sur l'ensemble des commandes stables, l'étude du système stochastique global permet d'estimer l'accélération minimale nécessaire pour le double pendule et de conclure à la non-faisabilité. La deuxième partie présente l'étude théorique et numérique d'un jeu de poursuite, plus précisément la résolution de l'équation d'Isaacs de ce jeu différentiel, grâce à la notion de solution de viscosité. Il s'agit de plus d'un jeu modélisant une poursuite dans un domaine donné, c'est-à-dire avec des contraintes sur le bord du domaine. Les fonctions valeur de ce jeu vérifient la programmation dynamique, sont continues, et sont solutions de viscosité de la même équation d'Isaacs. Cette équation avec conditions aux limites à une unique solution de viscosité. Les schémas monotones, à forme différentielle, et consistants avec l'équation, permettent d'approximer les solutions. les codes numériques fournissent alors la fonction valeur du jeu et donc les trajectoires optimales pour une condition initiale quelconque.