LASRY Jean Michel

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Cet article présente une nouvelle approche pour caractériser la dynamique du spectre limite de grandes matrices aléatoires. Cette approche est basée sur la notion que nous appelons "dominance spectrale". En particulier, nous montrons que la mesure spectrale limite peut être déterminée comme la dérivée de l'unique solution de viscosité d'une équation intégro-différentielle partielle. Cela permet également de faire des preuves générales et "courtes" pour le problème de convergence. Nous traitons les cas des mouvements browniens de Dyson, des processus de Wishart et présentons une classe générale de modèles pour lesquels cette caractérisation est valable.

Nous proposons un modèle MFG (jouet) pour l'évolution des densités de résidents et d'entreprises, couplées à la fois par les conditions d'équilibre du marché du travail et la concurrence pour l'utilisation des sols (congestion). Il en résulte un système de deux équations de Hamilton-Jacobi-Bellman et deux équations de Fokker-Planck avec une nouvelle forme de couplage liée au transport optimal. Ce MFG a un potentiel convexe qui nous permet de trouver des solutions faibles par une approche variationnelle. Dans le cas d'hamiltoniens quadratiques, le problème peut être reformulé en termes lagrangiens et résolu numériquement par un schéma de type IPFP/Sinkhorn comme dans [4]. Nous présentons des résultats numériques basés sur cette approche. Ces simulations présentent différents comportements, avec une prédominance de l'agglomération ou de la ségrégation en fonction des conditions initiales et des paramètres.

Il s'agit d'un travail en cours. L'objectif est de proposer un mécanisme plausible pour la dynamique à court terme du marché pétrolier basé sur l'interaction des agents économiques. Il s'agit d'une recherche théorique qui ne vise en aucun cas à décrire tous les aspects du marché pétrolier. En particulier, nous utilisons les outils et la terminologie de la théorie des jeux, mais nous ne prétendons pas que ce jeu existe réellement dans le monde réel. En parallèle, nous étudions et calibrons actuellement un modèle à long terme pour l'industrie pétrolière, qui traite des interactions entre un monopole et une frange concurrentielle de petits producteurs. Il fait l'objet d'un autre article qui sera bientôt disponible. La présente version préliminaire ne contient pas tous les arguments économiques et toutes les connexions avec notre modèle à long terme. Elle traite principalement de la description du modèle, des équations et des simulations numériques axées sur la dynamique à court terme de l'industrie pétrolière. Une version plus complète sera bientôt disponible.

Nous présentons des résultats d'existence, de régularité et d'unicité des solutions de l'équation maîtresse associée au problème de planification du champ moyen dans le cas d'un espace d'état fini, en présence d'un bruit commun. Les résultats sont valables sous des hypothèses de monotonicité, qui sont utilisées de manière cruciale dans les différentes preuves de l'article. Nous établissons également un lien avec les trajectoires induites par la solution de l'équation maîtresse et entamons une discussion sur le cas des conditions aux limites.

Cette note traite d'une question de modélisation découlant de la théorie des jeux de champ moyen. Nous montrons comment modéliser les jeux de champ moyen impliquant un joueur majeur qui a un avantage stratégique, tout en autorisant uniquement des stratégies markoviennes en boucle fermée pour tous les joueurs. Nous illustrons cette propriété à travers trois exemples.

Nous étudions dans cet article trois aspects des jeux à champ moyen. Le premier concerne le cas où la dynamique de chaque joueur dépend des stratégies des autres joueurs. Le second concerne la modélisation du " bruit " dans les modèles à espace discret et la formulation de l'équation maîtresse dans ce cas. Enfin, nous montrons comment les jeux en champ moyen se réduisent à des modèles à base d'agents lorsque le taux de préférence intertemporel va à l'infini, c'est-à-dire lorsque l'anticipation des joueurs disparaît.

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Cette thèse porte sur l’étude de nouveaux modèles de jeux à champ moyen. On étudie dans un premier temps des modèles d’arrêt optimal et de contrôle impulsionnel en l’absence de bruit commun. On construit pour ces modèles une notion de solution adaptée pour laquelle on prouve des résultats d’existence et d’unicité sous des hypothèses naturelles. Ensuite, on s’intéresse à plusieurs propriétés des jeux à champ moyen. On étudie la limite de ces modèles vers des modèles d’évolution pures lorsque l’anticipation des joueurs tend vers 0. On montre l’unicité des équilibres pour des systèmes fortement couples (couples par les stratégies) sous certaines hypothèses. On prouve ensuite certains résultats de régularités sur une ”master equation” qui modélise un jeu à champ moyen avec bruit commun dans un espace d’états discret. Par la suite on présente une généralisation de l’algorithme standard d’Uzawa et on l’applique à la résolution numérique de certains modèles de jeux à champ moyen, notamment d’arrêt optimal ou de contrôle impulsionnel. Enfin on présente un cas concret de jeu à champ moyen qui provient de problèmes faisant intervenir un grand nombre d’appareils connectés dans les télécommunications.

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Nous étudions dans cet article trois aspects des jeux à champ moyen. Le premier concerne le cas où la dynamique de chaque joueur dépend des stratégies des autres joueurs. Le second concerne la modélisation du " bruit " dans les modèles à espace discret et la formulation de l'équation maîtresse dans ce cas. Enfin, nous montrons comment les jeux en champ moyen se réduisent à des modèles à base d'agents lorsque le taux de préférence intertemporel va à l'infini, c'est-à-dire lorsque l'anticipation des joueurs disparaît.

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La théorie des jeux à champ moyen fut introduite en 2006 par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions. Elle permet l'étude de la théorie des jeux dans certaines configurations où le nombre de joueurs est trop grand pour espérer une résolution pratique. Nous étudions la théorie des jeux à champ moyen sur les graphes en nous appuyant sur les travaux d'Olivier Guéant que nous étendrons à des formes plus générales d'Hilbertien. Nous étudierons aussi les liens qui existent entres les K-moyennes et les jeux à champ moyen ce qui permettra en principe de proposer de nouveaux algorithmes pour les K-moyennes grâce aux techniques de résolution numérique propres aux jeux à champ moyen. Enfin nous étudierons un jeu à champ moyen à savoir le problème "d'heure de début d'une réunion" en l'étendant à des situations où les agents peuvent choisir entre deux réunions. Nous étudierons de manière analytique et numérique l'existence et la multiplicité des solutions de ce problème.

Un modèle parcimonieux à long terme est proposé pour une industrie minière. Connaissant la dynamique de la réserve globale, la stratégie de chaque unité de production consiste en un problème de contrôle optimal avec deux contrôles, d'abord le flux investi dans la prospection et la construction de nouvelles installations d'extraction, ensuite le taux de production. A son tour, la dynamique de la réserve globale dépend des stratégies individuelles des producteurs, de sorte que les modèles conduisent à un équilibre, qui est décrit par des systèmes d'équations différentielles partielles de faible dimension. La dimen-sionnalité dépend du nombre de technologies qu'un producteur minier peut choisir. Dans certains cas, les systèmes peuvent être réduits à une équation de Hamilton-Jacobi qui est dégénérée à la frontière et dont le côté droit peut exploser à la frontière. Une analyse mathématique est fournie. Ensuite, des simulations numériques pour des modèles avec une ou deux technologies sont décrites. En particulier, une calibration numérique du modèle afin de s'adapter aux données historiques est effectuée.

Les bureaux de négociation publicitaire des agences d'achat de médias s'appuient de plus en plus sur des algorithmes complexes pour l'achat d'inventaire publicitaire. En particulier, les algorithmes d'enchères en temps réel (RTB) répondent à de nombreuses enchères - généralement des enchères Vickrey - tout au long de la journée pour l'achat d'inventaire publicitaire dans le but de maximiser un ou plusieurs indicateurs clés de performance (KPI). Les problèmes d'optimisation auxquels sont confrontées les entreprises qui élaborent des stratégies d'enchères sont nouveaux et intéressants pour la communauté des mathématiciens appliqués. Dans cet article, nous introduisons un modèle de contrôle optimal stochastique qui aborde la question de la stratégie d'enchères optimale dans divers contextes réalistes : la maximisation de l'inventaire acheté avec un montant donné de cash dans le cadre de stratégies d'audience, la maximisation du nombre de conversions/acquisitions avec un montant donné de cash, etc. Dans notre modèle, la séquence d'enchères est modélisée par un processus de Poisson et le \textit{prix à battre} pour chaque enchère est modélisé par une variable aléatoire suivant une distribution de probabilité presque quelconque. Nous montrons que les enchères optimales sont caractérisées par une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, et que des solutions de forme presque fermée peuvent être trouvées en utilisant une limite fluide. Des exemples numériques sont également réalisés.

Cet article traite d'un modèle de marché stochastique avec coûts d'attente, pour des carnets d'ordres avec des traders hétérogènes. L'offre et la demande de liquidité déterminent la formation des prix et les traders anticipent les évolutions futures du carnet d'ordres. Le cadre naturel que nous utilisons est la théorie des jeux à champ moyen, une classe de jeux différentiels stochastiques avec un continuum de joueurs anonymes. Plusieurs sources d'hétérogénéité sont considérées, y compris la taille moyenne des ordres. Ainsi, nous sommes en mesure de considérer la coexistence des investisseurs institutionnels et des traders à haute fréquence (HFT). Nous fournissons à la fois des solutions analytiques et des expériences numériques. Les implications sur les quantités classiques sont explorées : taille du carnet d'ordres, prix, et écart effectif entre l'offre et la demande. Selon le modèle, dans les marchés où il n'y a que des investisseurs institutionnels, nous montrons l'existence de déséquilibres de liquidité inefficaces en équilibre, avec deux situations symétriques correspondant à ce que nous appelons des appels de liquidité. Dans ces situations, le prix de la transaction s'éloigne significativement du juste prix. Cependant, ce macro-phénomène disparaît dans les marchés avec à la fois des Investisseurs Institutionnels et du HFT, bien qu'une étude plus précise montre que les bénéfices de la nouvelle situation vont au HFT seulement, laissant les Investisseurs Institutionnels même avec des coûts de transaction plus élevés.

En dépit de la prise en compte croissante des questions d'exécution optimale dans la littérature des mathématiques financières, les approximations numériques des courbes de négociation optimales ne sont presque jamais abordées. Dans cet article, nous présentons une méthode numérique permettant d'approximer la stratégie optimale d'un trader désireux de déboucler un grand portefeuille. La méthode que nous proposons est très générale car elle peut être appliquée à des portefeuilles multi-actifs avec toute forme de coûts d'exécution, y compris une composante d'écart entre les cours acheteur et vendeur, même lorsque des contraintes de participation sont imposées. Notre méthode, basée sur la dualité convexe, nécessite seulement que les fonctions hamiltoniennes aient une régularité C^{1,1} alors que les méthodes classiques nécessitent une régularité supplémentaire et ne peuvent pas être appliquées à tous les cas rencontrés en pratique.

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Le but de cet article est d'intéresser les mathématiciens à l'étude d'un certain nombre d'EDP qui apparaissent naturellement en macroéconomie. Ces EDP proviennent de modèles conçus pour étudier certaines des questions les plus importantes en économie. En même temps, elles sont très intéressantes pour les mathématiciens car leur structure est souvent assez difficile. Nous présentons un certain nombre d'exemples de ces EDP, discutons de ce que l'on sait de leurs propriétés, et listons quelques questions ouvertes pour les recherches futures.

Le but de cet article est d'intéresser les mathématiciens à l'étude d'un certain nombre d'équations aux dérivées partielles (EDP) qui apparaissent naturellement en macroéconomie. Ces EDP proviennent de modèles conçus pour étudier certaines des questions les plus importantes en économie. En même temps, elles sont très intéressantes pour les mathématiciens car leur structure est souvent assez difficile. Nous présentons un certain nombre d'exemples de ces EDP, discutons de ce que l'on sait de leurs propriétés et énumérons quelques questions ouvertes pour les recherches futures.

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Nous étudions la moyenne en temps long, lorsque l'horizon temporel tend vers l'infini, de la solution d'un système de jeu de champ moyen avec un couplage non local. Nous montrons une convergence exponentielle vers la solution du jeu de champ moyen ergodique stationnaire associé. Les preuves reposent sur des estimations de la semi-convivialité et des propriétés de lissage du système linéarisé. La recherche qui a conduit au présent article a été partiellement soutenue par une subvention du groupe GNAMPA de l'INdA.

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Ce travail se compose de deux parties indépendantes qui consistent à résoudre des systèmes différentiels fonctionnels non linéaires. La première partie concerne un problème d'équilibre dynamique dans un cadre de marchés incomplets. Elle met en valeur l'apparition de fluctuations macroéconomiques dues à l'incomplétude de l'économie. Elle est consacrée à la résolution de systèmes différentiels dont les solutions fournissent un équilibre au modèle économiques étudié. La recherche de ces solutions se ramène à la recherche de points fixes pour des applications croissantes ou de points fixes pour des applications sur des convexes fermes. Elle nécessite des constructions très techniques et très spécifiques au problème en question. La deuxième partie concerne un problème elliptique avec conditions aux limites mêlées de type Dirichlet Neumann, qui tire son origine d'un modèle pour semi-conducteurs. On étudie l'existence et la régularité d'une solution de ce problème en utilisant la théorie de degré de leray-schauder.

On présente les différents algorithmes de la commande robuste et plus particulièrement ceux conduisant à la synthèse de la commande h-infini. Les problèmes de commande robuste sont mis sous la forme d'un problème dit standard qui consiste à augmenter le système nominal en prenant en considération les spécifications de robustesse exigées, puis à minimiser un critère de nature fréquentielle de type quadratique ou infini. Il existe deux approches différentes pour concevoir le contrôleur h-infini. L'approche de Nehari consiste à trouver la projection d'un système anti-stable sur l'espace des systèmes stables muni de la norme h-infini. L'approche de Glover dite également ultra-moderne consiste à résoudre deux équations de Riccati puis à mettre sous une forme descripteur le contrôleur. L'algorithme qui est présenté et implémenté dans la thèse constitue une amélioration de la méthode de Glover conduisant à des calculs plus robustes. Les algorithmes de la commande robuste ont été implémentés dans Basile logiciel de C. A. O en automatique. Une bibliothèque de macros Basile a été réalisée permettant de résoudre des problèmes standards h-infini et plus généralement, d'étudier la robustesse des systèmes linéaires. De manière à valider les algorithmes et de donner des exemples de problèmes h-infini, des applications académiques et industrielles (avion, satellite) sont traitées en détails.

Dans la première partie, sont présentées des techniques d'évaluation et d'analyse du risque, pour les obligations à taux variable. Les outils actuariels sont appliqués à l'évaluation de titres peu liquides. Une autre technique particulière à ces actifs, qui s'appuie sur les modèles d'évaluations des actifs par arbitrage, est aussi développée. Elle permet de mesurer l'impact d'une déformation de la courbe des taux sur ces produits. Dans la seconde partie, les concepts de la théorie des solutions de viscosité sont appliqués à la résolution d'un problème de contrôle optimal stochastique avec contraintes d'état et domaine non-borné.

La première partie concerne des problèmes d'équilibres dynamiques sous contraintes d'endettement. Plus précisément, elle présente deux modèles, l'un dans une économie à un pays, l'autre dans une économie à deux pays, dans lesquels les agents sont soumis à des variations stochastiques de productivité contre lesquelles ils ne peuvent qu'imparfaitement s'assurer, du fait de la présence de contraintes d'endettement. Les conséquences sont l'apparition, dans le premier cas, de fluctuations des variables agrégées, et dans le second cas, de corrélations entre les quantités économiques des deux pays, phénomènes qui seraient absents dans un marché complet. La deuxième partie s'intéresse à des problèmes mathématiques concernant l'évaluation d'actifs contingents. On résout deux modèles d'évaluation d'options dépendant de l'histoire du cours sous-jacent. On présente également un modèle de courbe des taux en situation d'information imparfaite.

La première partie présente en détail la réalisation pratique d'un simple pendule inverse et l'étude de faisabilité d'un double pendule inverse en utilisant la théorie du contrôle stochastique linéaire. L'originalité de ces pendules est le choix d'un matériel bas de gamme, associée à une programmation assembleur assez complexe, multi-tâche et temps réel. La puissance des moteurs étant limitée, les essais sur le pendule simple montrent que la difficulté réside dans la contrainte sur le contrôle. Après une étude générale des rétroactions minimisant la norme du contrôle, sur l'ensemble des commandes stables, l'étude du système stochastique global permet d'estimer l'accélération minimale nécessaire pour le double pendule et de conclure à la non-faisabilité. La deuxième partie présente l'étude théorique et numérique d'un jeu de poursuite, plus précisément la résolution de l'équation d'Isaacs de ce jeu différentiel, grâce à la notion de solution de viscosité. Il s'agit de plus d'un jeu modélisant une poursuite dans un domaine donné, c'est-à-dire avec des contraintes sur le bord du domaine. Les fonctions valeur de ce jeu vérifient la programmation dynamique, sont continues, et sont solutions de viscosité de la même équation d'Isaacs. Cette équation avec conditions aux limites à une unique solution de viscosité. Les schémas monotones, à forme différentielle, et consistants avec l'équation, permettent d'approximer les solutions. les codes numériques fournissent alors la fonction valeur du jeu et donc les trajectoires optimales pour une condition initiale quelconque.