Approximation numérique des solutions de viscosité des équations d'Hamilton-Jacobi et exemple.

Résumé Cette thèse concerne l'approximation numérique des solutions de viscosité, telles qu'elles ont été définies par Michael Grain Crandall et Pierre-Louis Lions, des équations Hamilton-Jacobi du premier ordre qui sont des équations aux dérivées partielles non linéaires, ainsi que l'étude d'un exemple issu du traitement d'images, le shape-from-shading, qui consiste en la reconstruction d'un relief à trois dimensions à partir de la donnée d'une image en deux dimensions, d'une photographie par exemple. Le premier chapitre est une présentation succincte des solutions de viscosité des équations d’Hamilton-Jacobi et de quelques résultats d'existence et d'unicité. Le second chapitre décrit les différentes méthodes développées pour approcher ces solutions, et relève de l'analyse numérique. Le troisième chapitre, plus appliqué, a pour but d'expliquer comment, concrètement, on peut écrire un schéma d'approximation des solutions de viscosité. Enfin, l'exemple est étudié de façon précise (en reprenant les différents développements des premiers chapitres de la thèse): on montre comment le relief peut être interprété comme la solution de viscosité d'une équation d’Hamilton-Jacobi. on étudie les différentes formalisations possibles pour les bords de l'image afin de parvenir à des résultats d'existence et d'unicité satisfaisants. Puis un schéma est construit et applique à la reconstruction numérique de différentes images.