Contributions à la théorie des solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman et applications à la finance.

Résumé La thèse regroupe trois articles qui, tous, établissent l'existence et l'unicité de solutions de viscosité pour certaines équations aux dérivées partielles provenant de problèmes de contrôle optimal ou de modèles d'économie mathématique. La plupart de ces équations sortent du cadre classique par la présence soit d'une contrainte sur le gradient soit d'un terme intégral non linéaire. On met en outre l'accent sur la détermination d'un critère asymptotique compatible avec des résultats d'unicité. Ainsi le premier travail montre qu'il existe une unique solution minorée pour des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre, lorsque le Hamiltonien est convexe et non linéaire. Dans un second travail, on établit que la fonction valeur d'un problème de contrôle singulier (modèle d'investissement-consommation avec substitution locale) est l'unique solution de l'équation de la programmation dynamique associée, dans un ouvert non borne, avec contrainte d'état au bord. Dans le dernier travail, on s'intéresse à une classe d'équations intégro-différentielles dont la non linéarité provient essentiellement du terme intégral. La encore, l'origine de ce problème est économique puisque l'unique solution est la fonction d'utilité récursive lorsque l'incertitude est engendrée par un mouvement brownien et un processus de sauts.