Le problème ergodique pour l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et effets régularisant des certaines classes d'équations de Hamilton-Jacobi.

Résumé Les travaux présentés dans cette thèse peuvent être regroupés en deux thèmes. 1. Le problème ergodique pour les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B). 2. Les effets régularisants pour une classe d'équations de Hamilton-Jacobi. Le problème ergodique concerne les comportements moyens en temps long de systèmes déterministes ou stochastiques contrôlés. On étudie ici les systèmes déterministes (y compris ceux définis en dimension infinie) et les équations de H-J-B correspondantes, en utilisant la théorie des solutions de viscosité. On établit tout d'abord au chapitre 2 l'ergodicité de systèmes en dimension infinie sous des hypothèses classiques en dimension finie. Puis, on s'intéresse à des conditions nécessaires ou suffisantes permettant d'assurer l'ergodicité de systèmes en dimension finie. Au chapitre 3, on prouve l'existence d'un attracteur ergodique sur lequel le système est contrôlable. Et au chapitre 4, on donne une sorte de réciproque, l'estimation de la contrôlabilité sur l'attracteur ergodique. La contrôlabilité joue également un rôle essentiel dans les effets régularisant des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. On montre au chapitre 5, trois types d'effets régularisants: régularisation lipschitzienne, régularisation semi-concave et régularisation dans c#1#,#1#l#o#c.