Contribution à l'étude mathématique des équations de Boltzmann et de Landau en théorie cinétique des gaz et des plasmas.

Résumé Nous étudions des équations cinétiques de la forme f/t + v. *#xf = q(f,f), t0, x ,r#n, v , r#n, qui décrivent l'évolution d'un gaz ou d'un plasma dans lequel les particules subissent des collisions modélisées par l'opérateur q, dit - de Boltzmann : q(f,f) dv#* d b(v v#*, ) (f'f'#* ff#*), - ou de Landau : q(f,f) = /v#i dv#*a#i#j(v v#*) (f#*f/v#j ff#*/v#*#,#j). Les trois premières parties de cette thèse concernent les équations homogènes (indépendantes de x) #tf = q(f,f). On insiste particulièrement sur deux points : les collisions rasantes et la dissipation d'entropie. Dans la première partie, on étudie le problème de Cauchy associé aux équations de Boltzmann et de Landau homogènes (pour des sections efficaces réalistes et éventuellement singulières), des propriétés de régularité des solutions, ainsi que l'asymptotique des collisions rasantes qui permet de passer d'une équation à l'autre. La deuxième partie est consacrée au cas particulier des molécules maxwelliennes. Sous cette hypothèse, on effectue une étude détaillée du problème de Cauchy et du retour vers l'équilibre, ainsi que des liens entre théorie cinétique et théorie de l'information. Dans la troisième partie, on utilise les résultats précédents pour obtenir des estimations explicites sur la vitesse de retour vers l'équilibre dans le cas général. Dans la quatrième partie, on obtient des résultats partiels sur le problème de Cauchy pour l'équation de Landau inhomogène, et quelques estimations nouvelles sur l'équation de Boltzmann inhomogène. Enfin, dans la cinquième partie, on établit diverses formes conservatives de l'opérateur de Boltzmann, avec application à l'asymptotique des collisions rasantes.