Quelques théorèmes limites pour les processus de Hawkes et application aux statistiques financières.

Résumé Résumé Dans le contexte de la statistique des processus aléatoires, nous prouvons une loi des grands nombres et un théorème central limite fonctionnel pour les processus de Hawkes multivariés observés sur un intervalle de temps [ 0 , T ] lorsque T ? ? . Nous montrons en outre le comportement asymptotique de la covariation des incréments des composantes d'un processus de Hawkes multivarié, lorsque les observations sont imposées par un schéma discret avec une maille ? sur [ 0 , T ] jusqu'à un certain décalage temporel supplémentaire ? . Le comportement de cette fonctionnelle dépend de la taille relative de ? et ? par rapport à T et permet de rendre compte de la structure du second ordre. À titre d'application, nous développons nos résultats dans le contexte des statistiques financières. Nous avons introduit dans Bacry et al. (2013) [7] un modèle stochastique microscopique pour les variations d'un actif financier multivarié, basé sur les processus de Hawkes et qui est confiné à vivre sur une grille de ticks. Nous dérivons et caractérisons la limite de diffusion macroscopique exacte de ce modèle et montrons en particulier sa capacité à reproduire les faits stylisés empiriques importants tels que l'effet Epps et l'effet lead?lag. De plus, notre approche permet de suivre ces effets à travers les échelles en termes mathématiques rigoureux.