SDEs avec distributions uniformes : Paons, martingales coniques et diffusions uniformes à retour à la moyenne.

Résumé Il est connu depuis Kellerer (1972) que pour tout processus de paon, il existe des martingales avec les mêmes lois marginales. Néanmoins, il n'existe pas de méthode générale pour trouver de telles martingales qui donnent des diffusions. En effet, la preuve de Kellerer n'est pas constructive : trouver la dynamique des processus associés à un paon donné n'est pas trivial en général. Dans cet article, nous nous intéressons au paon uniforme, c'est-à-dire le paon avec une loi uniforme à tout moment sur un support générique variant dans le temps [a(t), b(t)]. Nous dérivons explicitement les équations différentielles stochastiques (EDS) correspondantes et prouvons que, sous certaines conditions sur les frontières a(t) et b(t), elles admettent une solution forte unique donnant le processus de diffusion pertinent. Nous discutons de la relation entre notre résultat et la dérivation précédente des processus de diffusion associés à la racine carrée et aux frontières temporelles linéaires, en soulignant les cas où notre approche ajoute une forte unicité, et nous étudions le temps local et l'activité des processus de solution. Nous étudions ensuite le paon avec une loi uniforme à tout moment sur un support constant [-1, 1] et dérivons l'EDD d'un processus de diffusion associé à retour à la moyenne avec des marges uniformes qui n'est pas une martingale. Pour l'EDD associée, nous prouvons l'existence d'une solution dans [0, T ]. Enfin, nous fournissons une étude de cas numérique montrant que ces processus ont le comportement uniforme souhaité. Ces résultats peuvent être utilisés pour modéliser des probabilités aléatoires, des taux de recouvrement aléatoires ou des corrélations aléatoires.