JEANBLANC Monique

Nous considérons un espace de probabilité complet (Ω, F, P), qui est doté de deux fitrations, G et F, supposées satisfaire les conditions habituelles et telles que F ⊂ G. Sur cet espace de probabilité, nous considérons une semimartingale spéciale G à valeur réelle X. Les résultats peuvent être généralisés au cas des semimartingales spéciales à valeur R^n, d'une manière simple. Nous fixons une fonction de troncature par rapport à laquelle les caractéristiques des semimartingales sont calculées. Le but de ce travail est d'étudier les deux problèmes suivants : A. Si X est F-adapté, calculer les caractéristiques F-semimartingales de X en termes de caractéristiques G-semimartingales de X. B. Si X n'est pas F-adapté, étant donné que la projection F-optionnelle de X est une semimartingale spéciale, calculer les caractéristiques F-semimartingales de la projection F-optionnelle de X en termes de décomposition G-canonique et de caractéristiques G-semimartingales de X.

Nous poursuivons l'étude du modèle de risque de crédit d'un marché financier introduit dans [19] dans lequel la dynamique des taux d'intensité de deux temps de défaut est décrite par des combinaisons linéaires de trois mouvements browniens géométriques indépendants. La dynamique des prix de deux actifs risqués sans défaut est modélisée par deux mouvements browniens géométriques qui sont dépendants de ceux qui décrivent les taux d'intensité de défaut. Nous obtenons des expressions en forme fermée pour les prix sans arbitrage de certaines créances contingentes de style européen en premier et second défaut, étant donné le filtrage de référence initialement et progressivement élargi par les deux temps de défaut successifs. Le filtrage de référence accessible sans défaut est généré par les mouvements browniens standard qui pilotent le modèle.

Nous considérons les élargissements initial et progressif d'une filtration générée par un processus à points marqués (appelé la filtration de référence) avec un temps aléatoire strictement positif. Nous supposons l'hypothèse d'équivalence de Jacod, c'est-à-dire l'existence d'une densité conditionnelle strictement positive pour le temps aléatoire par rapport à la filtration de référence. Ensuite, en partant de la représentation intégrale prévisible d'une martingale dans la filtration de référence initialement élargie, nous dérivons des expressions explicites pour les coefficients qui apparaissent dans les représentations intégrales prévisibles pour les projections optionnelles de la martingale sur la filtration progressivement élargie et sur la filtration de référence. Nous fournissons également des résultats similaires pour la projection optionnelle d'une martingale dans la filtration progressivement élargie sur la filtration de référence.

L'article étudie les temps minces qui sont des temps aléatoires dont le graphe est contenu dans une union dénombrable des graphes des temps d'arrêt par rapport à une filtration de référence F. Nous montrons qu'un temps aléatoire générique peut être décomposé en parties minces et épaisses, où la seconde est un temps aléatoire évitant tous les temps d'arrêt F. Ensuite, pour un temps aléatoire donné τ , nous introduisons F τ , la plus petite filtration droite-continue contenant F et faisant de τ un temps d'arrêt, et nous montrons que, pour un temps mince τ , chaque F-martingale est une F τ-semimartingale, c'est-à-dire que l'hypothèse (H) pour (F, F τ) tient. Nous présentons des applications aux temps honnêtes, qui peuvent être vus comme des temps de dernier passage, en montrant des classes de filtrations qui ne peuvent supporter que des temps honnêtes minces, ou qui peuvent également supporter des temps honnêtes épais.

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Nous présentons quelques résultats sur l'élargissement de la filtration en temps discret. De nombreux résultats connus en temps continu s'étendent immédiatement dans un cadre en temps discret. Ici, nous fournissons des preuves directes qui sont beaucoup plus simples. Nous étudions également les conditions d'arbitrages dans un cadre financier et nous présentons quelques cas spécifiques, comme les temps d'immersion et de pseudo-arrêt pour lesquels nous obtenons de nouveaux résultats.

Nous étudions un modèle de risque de crédit d'un marché financier dans lequel la dynamique des taux d'intensité de deux temps de défaut est décrite par des combinaisons linéaires de trois mouvements browniens géométriques indépendants. La dynamique des prix de deux actifs risqués sans défaut est modélisée par deux mouvements browniens géométriques qui sont dépendants de ceux qui décrivent les taux d'intensité des défauts. Nous obtenons des expressions en forme fermée pour les prix rationnels des swaps de défaut de crédit sans risque et risqués étant donné la filtration de référence initialement et progressivement élargie par les deux temps de défaut. Le filtrage de référence accessible sans défaut est généré par les mouvements browniens standard qui pilotent le modèle.

Il est connu depuis Kellerer (1972) que pour tout processus de paon, il existe des martingales avec les mêmes lois marginales. Néanmoins, il n'existe pas de méthode générale pour trouver de telles martingales qui donnent des diffusions. En effet, la preuve de Kellerer n'est pas constructive : trouver la dynamique des processus associés à un paon donné n'est pas trivial en général. Dans cet article, nous nous intéressons au paon uniforme, c'est-à-dire le paon avec une loi uniforme à tout moment sur un support générique variant dans le temps [a(t), b(t)]. Nous dérivons explicitement les équations différentielles stochastiques (EDS) correspondantes et prouvons que, sous certaines conditions sur les frontières a(t) et b(t), elles admettent une solution forte unique donnant le processus de diffusion pertinent. Nous discutons de la relation entre notre résultat et la dérivation précédente des processus de diffusion associés à la racine carrée et aux frontières temporelles linéaires, en soulignant les cas où notre approche ajoute une forte unicité, et nous étudions le temps local et l'activité des processus de solution. Nous étudions ensuite le paon avec une loi uniforme à tout moment sur un support constant [-1, 1] et dérivons l'EDD d'un processus de diffusion associé à retour à la moyenne avec des marges uniformes qui n'est pas une martingale. Pour l'EDD associée, nous prouvons l'existence d'une solution dans [0, T ]. Enfin, nous fournissons une étude de cas numérique montrant que ces processus ont le comportement uniforme souhaité. Ces résultats peuvent être utilisés pour modéliser des probabilités aléatoires, des taux de recouvrement aléatoires ou des corrélations aléatoires.

Le premier objectif de cet article est d'identifier, pour différentes créances susceptibles d'être mises en défaut, les processus fondamentaux qui déterminent de manière unique le prix avant défaut et qui doivent donc être modélisés. Le principal message au lecteur est que, bien que l'utilisation du processus d'intensité ou de risque de défaut soit omniprésente, il se peut qu'il ne caractérise pas de manière unique le prix de certaines créances en défaut. Le deuxième objectif est de mieux consolider l'approche de la forme réduite avec l'approche structurelle, en étendant l'approche de la forme réduite pour permettre des temps de défaut qui peuvent se produire à des moments d'arrêt et ne satisfont pas la propriété d'immersion.

Nous étudions un modèle de risque de crédit d'un marché financier dans lequel la dynamique des taux d'intensité de deux temps de défaut est décrite par des combinaisons linéaires de trois mouvements browniens géométriques indépendants. La dynamique des prix de deux actifs risqués sans défaut est modélisée par deux mouvements browniens géométriques qui sont dépendants de ceux qui décrivent les taux d'intensité des défauts. Nous obtenons des expressions en forme fermée pour les prix rationnels des swaps de défaut de crédit sans risque et risqués étant donné la filtration de référence initialement et progressivement élargie par les deux temps de défaut. Le filtrage de référence accessible sans défaut est généré par les mouvements browniens standard qui pilotent le modèle.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthodologie pour résoudre un problème de contrôle stochastique incertain de type Marko-vian en temps discret. Nous appelons la méthodologie proposée la commande robuste adaptative. Nous démontrons que le problème de contrôle incertain considéré peut être résolu en termes d'équation de Bellman robuste adaptative associée. Le succès de notre approche est en grande partie dû à la méthodologie récursive pour la construction de régions de confiance pertinentes. Nous illustrons notre méthodologie en considérant un problème d'allocation optimale de portefeuille, et nous comparons les résultats obtenus en utilisant la méthode de contrôle robuste adaptatif avec certaines autres méthodes existantes.

Dans cet article, nous considérons deux types d'agrandissements d'une filtration brownienne F : l'agrandissement initial avec un temps aléatoire τ , dénoté par F (τ) , et l'agrandissement progressif avec τ , dénoté par G. Nous supposons l'hypothèse d'équivalence de Jacod, c'est-à-dire l'existence d'une densité conditionnelle F positive pour τ. Ensuite, en partant de la représentation prévisible d'un martingale F (τ) Y (τ) en termes d'un mouvement brownien F (τ) standard, nous considérons sa projection sur G, notée Y G , et sur F, notée y. Nous montrons comment obtenir les coefficients qui apparaissent dans la propriété de représentation prévisible pour Y G (et y) en termes de Y (τ) et de sa représentation prévisible. Dans la dernière partie, nous donnons des exemples de densités conditionnelles.

Soit X un processus ponctuel et soit F le filtrage généré par X. Dans cet article, nous étudions les théorèmes de représentation martingale dans le filtrage G obtenu comme un élargissement initial et progressif du filtrage F. En particulier, l'élargissement progressif est fait au moyen d'un processus ponctuel entier H. Nous travaillons ici en pleine généralité, sans exiger d'autre hypothèse sur le processus H et nous récupérons le cas particulier dans lequel X est élargi progressivement par un temps aléatoire τ.

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Nous considérons un espace de probabilité complet (Ω, F, P), qui est doté de deux fitrations, G et F, supposées satisfaire les conditions habituelles et telles que F ⊂ G. Sur cet espace de probabilité, nous considérons une semimartingale spéciale G à valeur réelle X. Les résultats peuvent être généralisés au cas des semimartingales spéciales à valeur R^n, d'une manière simple. Nous fixons une fonction de troncature par rapport à laquelle les caractéristiques des semimartingales sont calculées. Le but de ce travail est d'étudier les deux problèmes suivants : A. Si X est F-adapté, calculer les caractéristiques F-semimartingales de X en termes de caractéristiques G-semimartingales de X. B. Si X n'est pas F-adapté, étant donné que la projection F-optionnelle de X est une semimartingale spéciale, calculer les caractéristiques F-semimartingales de la projection F-optionnelle de X en termes de décomposition G-canonique et de caractéristiques G-semimartingales de X.

Dans le cadre d'interdictions de ventes à découvert, on sait que la propriété No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR-S) est équivalente à l'existence d'une mesure supermartingale équivalente pour les processus de prix (Pulido [23]). Pour deux processus de prix donnés, nous traduisons la propriété (NFLVR-S) en termes de conditions dites de structure et nous introduisons le concept de mesure supermartingale fondamentale. Lorsqu'une certaine condition nécessaire à la construction de la mesure supermartingale fondamentale n'est pas remplie, nous fournissons les portefeuilles d'arbitrage correspondants. La motivation de notre étude réside dans la compréhension du cas particulier des prix convergents, c'est-à-dire qui coïncident à un temps aléatoire borné.

L'article étudie les temps minces qui sont des temps aléatoires dont le graphe est contenu dans une union dénombrable des graphes des temps d'arrêt par rapport à une filtration de référence F. Nous montrons qu'un temps aléatoire générique peut être décomposé en parties minces et épaisses, où la seconde est un temps aléatoire évitant tous les temps d'arrêt F. Ensuite, pour un temps aléatoire donné τ , nous introduisons F τ , la plus petite filtration droite-continue contenant F et faisant de τ un temps d'arrêt, et nous montrons que, pour un temps mince τ , chaque F-martingale est une F τ-semimartingale, c'est-à-dire que l'hypothèse (H) pour (F, F τ) tient. Nous présentons des applications aux temps honnêtes, qui peuvent être vus comme des temps de dernier passage, en montrant des classes de filtrations qui ne peuvent supporter que des temps honnêtes minces, ou qui peuvent également supporter des temps honnêtes épais.

Nous entamons ce rapport de thèse par l’évaluation de l’espérance espérée qui représente une des composantes majeures des ajustements XVA. Sous l’hypothèse d’indépendance entre l’exposition et les coûts de financement et de crédit, nous dérivons dans le chapitre 3 une représentation nouvelle de l’exposition espérée comme la solution d’une équation différentielle ordinaire par rapport au temps d’observation du défaut. Nous nous basons, pour le cas unidimensionnel, sur des arguments similaires à ceux de la volatilité locale de Dupire. Et pour le cas multidimensionnel, nous nous référons à la formule de la Co-aire. Cette représentation permet d’expliciter l’impact de la volatilité sur l’exposition espérée : Cette valeur temps fait intervenir la volatilité des sous-jacents ainsi que la sensibilité au premier ordre du prix, évalués sur un ensemble fini de points. Malgré des limitations numériques, cette méthode est une approche précise et rapide pour la valorisation de la XVA unitaire en dimension 1 et 2.Les chapitres suivants sont dédiés aux aspects du risque de corrélations entre les enveloppes d’expositions et les coûts XVA. Nous présentons une modélisation du risque général de corrélation à travers une diffusion stochastique multivariée, comprenant à la fois les sous-jacents des dérivés et les intensités de défaut. Dans ce cadre, nous exposons une nouvelle approche de valorisation par développements asymptotiques, telle que le prix d’un ajustement XVA correspond au prix de l’ajustement à corrélation nulle, auquel s’ajoute une somme explicite de termes correctifs. Le chapitre 4 est consacré à la dérivation technique et à l’étude de l’erreur numérique dans le cadre de la valorisation de dérivés contingents au défaut. La qualité des approximations numériques dépend uniquement de la régularité du processus de diffusion de l’intensité de crédit, et elle est indépendante de la régularité de la fonction payoff. Les formules de valorisation pour CVA et FVA sont présentées dans le chapitre 5. Une généralisation des développements asymptotiques pour le cadre bilatéral de défaut est adressée dans le chapitre 6.Nous terminons ce mémoire en abordant un cas du risque spécifique de corrélation lié aux contrats de migration de rating. Au-delà des formules de valorisation, notre contribution consiste à présenter une approche robuste pour la construction et la calibration d’un modèle de transition de ratings consistant avec les probabilités de défaut implicites de marché.

Pour un processus de Markov à états finis X et une collection finie {Γ k , k ∈ K} de sous-ensembles de son espace d'états, soit τ k la première fois que le processus visite l'ensemble Γ k. En général, X peut entrer dans certains des Γ k en même temps et donc le vecteur τ := (τ k , k ∈ K) peut mettre une masse non nulle sur des régions de dimension inférieure de R |K| + . ces régions sont de la forme R s = {t ∈ R |K| + : t i = t j , i, j ∈ s(1)} ∩ |s| l=2 {t : t m < t i = t j , i, j ∈ s(l), m ∈ s(l - 1)} où s est une partition ordonnée quelconque de l'ensemble K et s(j) désigne le j ième sous-ensemble de K dans la partition s. Lorsque |s| < |K|, la densité de la loi de τ sur ces régions est dite " singulière " car elle l'est par rapport à la mesure de Lebesgue à |s| dimensions sur la région R s. Nous dérivons des formules explicites/récurrentes et simples à calculer pour ces densités singulières et leurs probabilités de queue correspondantes sur tous les R s lorsque s s'étend sur des partitions ordonnées de K. Nous donnons un exemple numérique et indiquons la pertinence de nos résultats pour la modélisation du risque de crédit. * Les recherches de T.R.

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Cet article quantifie l'interaction entre la notion d'absence d'arbitrage (no-unbounded-profit-with-bounded-risk, ci-après NUPBR) et l'information progressive supplémentaire générée par un temps aléatoire. Cette étude complète celle d'Aksamit et al. dans laquelle les auteurs ont étudié des sujets similaires pour le cas où l'on s'arrête au moment aléatoire, alors que nous traitons ici de la partie après l'occurrence du moment aléatoire. Étant donné que toute la littérature, jusqu'à notre connaissance, prouve que NUPBR est toujours violé après des temps honnêtes qui évitent les temps d'arrêt dans une filtration continue, nous proposons ici une nouvelle classe de temps honnêtes pour lesquels NUPBR peut être préservé pour certains modèles. Pour ces temps honnêtes, nous obtenons deux résultats principaux. Le premier résultat caractérise les paires de marché initial et de temps honnête pour lesquelles le modèle résultant préserve le NUPBR, tandis que le second résultat caractérise les temps honnêtes qui n'affectent pas le NUPBR de tout modèle quasi-gauche-continu (c'est-à-dire un modèle dans lequel le processus de prix des actifs n'a pas de temps de saut prévisible). En outre, nous construisons explicitement des déflateurs de martingale locaux pour une grande classe de modèles.

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Nous considérons un système de défaut multivarié où des informations environnementales aléatoires sont disponibles. Nous étudions la dynamique du système dans un cadre général et adoptons le point de vue du changement des mesures de probabilité. Nous établissons également un lien avec l'approche de la densité dans la modélisation du risque de crédit. Dans le cas particulier où aucune information environnementale n'est concernée, nous accordons une attention particulière au phénomène de système affaibli par des défaillances comme dans le système de fiabilité classique.

Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthodologie pour résoudre un problème de contrôle stochastique incertain de type Marko-vian en temps discret. Nous appelons la méthodologie proposée la commande robuste adaptative. Nous démontrons que le problème de contrôle incertain considéré peut être résolu en termes d'équation de Bellman robuste adaptative associée. Le succès de notre approche est en grande partie dû à la méthodologie récursive pour la construction de régions de confiance pertinentes. Nous illustrons notre méthodologie en considérant un problème d'allocation optimale de portefeuille, et nous comparons les résultats obtenus en utilisant la méthode de contrôle robuste adaptatif avec certaines autres méthodes existantes.

Cette thèse traite de diverses problématiques ayant trait à la gestion du collatéral dans le contexte du trading centralisé au travers des chambres de compensation. Préliminairement, nous présentons les notions de coûts de capital et coût de financement pour une banque, en les replaçant dans un cadre Black–Scholes élémentaire où le payoff d’un call standard tient lieu d’exposition au défaut d’une contrepartie. On suppose que la banque ne couvre qu’imparfaitement ce call et doit faire face à un coût de financement supérieur au taux sans risque, d’où des corrections de pricing de type FVA et KVA par rapport au prix Black–Scholes. Nous nous intéressons ensuite aux coûts auxquels une banque doit faire face lorsqu’elle trade dans le cadre d’une CCP. A cette fin, nous transposons au trading centralisé le cadre d’analyse XVA du trading bilatéral. Le coût total pour un membre de trader au travers d’une CCP est ainsi décomposé en une CVA correspondant au coût pour le membre de renflouer sa contribution au fonds de garantie en cas de pertes consécutives aux défauts d’autres membres, une MVA correspondant au coût de financement de sa marge initiale et une KVA correspondant au coût du capital mis à risque par le membre sous la forme de sa contribution au fonds de garantie. Nous remettons ensuite en cause les hypothèses réglementaires précédemment utilisées, nous intéressant à des alternatives dans lesquelles les membres auraient recours pour leur marge initiale à une tierce partie, qui posterait la marge à la place du membre en échange d’une rémunération. Nous considérons également un mode de calcul du fonds de garantie et de son allocation qui prennent en compte le risque de la chambre au sens des fluctuations de son P&L sur l’année suivante, tel qu’il résulte de la combinaison des risque de marché et des risques de défaut des membres. Enfin, nous proposons l’application de méthodologies de type mesures de risque multivariées pour le calcul des marges et/ou du fonds de garantie des membres. Nous introduisons une notion de mesures de risque systémiques au sens où elles présentent une sensibilité non seulement aux risques marginaux des composantes d’un système financier (par exemple, mais non nécessairement, les positions des membres d’une CCP), mais aussi à leur dépendance.

Nous considérons un système de défaut multivarié où des informations environnementales aléatoires sont disponibles. Nous étudions la dynamique du système dans un cadre général et adoptons le point de vue du changement des mesures de probabilité. Nous établissons également un lien avec l'approche de la densité dans la modélisation du risque de crédit. Dans le cas particulier où aucune information environnementale n'est concernée, nous accordons une attention particulière au phénomène de système affaibli par des défaillances comme dans le système de fiabilité classique.

Il est connu depuis Kellerer (1972) que pour tout processus de paon, il existe des martingales avec les mêmes lois marginales. Néanmoins, il n'existe pas de méthode générale pour trouver de telles martingales qui donnent des diffusions. En effet, la preuve de Kellerer n'est pas constructive : trouver la dynamique des processus associés à un paon donné n'est pas trivial en général. Dans cet article, nous nous intéressons au paon uniforme, c'est-à-dire le paon avec une loi uniforme à tout moment sur un support générique variant dans le temps [a(t), b(t)]. Nous dérivons explicitement les équations différentielles stochastiques (EDS) correspondantes et prouvons que, sous certaines conditions sur les frontières a(t) et b(t), elles admettent une solution forte unique donnant le processus de diffusion pertinent. Nous discutons de la relation entre notre résultat et la dérivation précédente des processus de diffusion associés à la racine carrée et aux frontières temporelles linéaires, en soulignant les cas où notre approche ajoute une forte unicité, et nous étudions le temps local et l'activité des processus de solution. Nous étudions ensuite le paon avec une loi uniforme à tout moment sur un support constant [-1, 1] et dérivons l'EDD d'un processus de diffusion associé à retour à la moyenne avec des marges uniformes qui n'est pas une martingale. Pour l'EDD associée, nous prouvons l'existence d'une solution dans [0, T ]. Enfin, nous fournissons une étude de cas numérique montrant que ces processus ont le comportement uniforme souhaité. Ces résultats peuvent être utilisés pour modéliser des probabilités aléatoires, des taux de recouvrement aléatoires ou des corrélations aléatoires.

Dans le cadre d'interdictions de ventes à découvert, on sait que la propriété No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR-S) est équivalente à l'existence d'une mesure supermartingale équivalente pour les processus de prix (Pulido [22]). Pour deux processus de prix donnés, nous traduisons la propriété (NFLVR-S) en termes de conditions dites de structure et nous introduisons le concept de mesure supermartingale fondamentale. Lorsqu'une certaine condition nécessaire à la construction de la mesure martingale fondamentale n'est pas remplie, nous fournissons les portefeuilles d'arbitrage correspondants. La motivation de notre étude réside dans la compréhension du cas particulier des prix convergents, c'est-à-dire qui vont se croiser à un moment aléatoire borné.

Pour un processus de Markov à états finis X et une collection finie {Γ k , k ∈ K} de sous-ensembles de son espace d'états, soit τ k la première fois que le processus visite l'ensemble Γ k. En général, X peut entrer dans certains des Γ k en même temps et donc le vecteur τ := (τ k , k ∈ K) peut mettre une masse non nulle sur des régions de dimension inférieure de R |K| + . ces régions sont de la forme R s = {t ∈ R |K| + : t i = t j , i, j ∈ s(1)} ∩ |s| l=2 {t : t m < t i = t j , i, j ∈ s(l), m ∈ s(l - 1)} où s est une partition ordonnée quelconque de l'ensemble K et s(j) désigne le j ième sous-ensemble de K dans la partition s. Lorsque |s| < |K|, la densité de la loi de τ sur ces régions est dite " singulière " car elle l'est par rapport à la mesure de Lebesgue à |s| dimensions sur la région R s. Nous dérivons des formules explicites/récurrentes et simples à calculer pour ces densités singulières et leurs probabilités de queue correspondantes sur tous les R s lorsque s s'étend sur des partitions ordonnées de K. Nous donnons un exemple numérique et indiquons la pertinence de nos résultats pour la modélisation du risque de crédit. * Les recherches de T.R.

Dans cet article, nous introduisons le concept de \textit{martingales coniques}. Cette classe désigne les processus stochastiques ayant la propriété de martingale, mais qui évoluent à l'intérieur de frontières données (éventuellement dépendantes du temps). Nous passons d'abord en revue quelques résultats concernant la propriété martingale des solutions aux équations différentielles stochastiques sans dérive. Nous proposons ensuite une méthode simple pour construire et traiter de tels processus. Une attention particulière est accordée aux martingales dans $[0,1]$. L'une de ces martingales s'avère être analytiquement traçable. On montre que jusqu'à des constantes de décalage et de remise à l'échelle, c'est la seule martingale (avec la constante triviale, le mouvement brownien et le mouvement brownien géométrique) ayant un coefficient séparable $\sigma(t,y)=g(t)h(y)$ et qui peut être obtenue par une cartographie homogène dans le temps de \textit{diffusions gaussiennes}. L'approche est illustrée par la modélisation des probabilités de survie conditionnelles stochastiques dans les cas univariés (conditionnels et non conditionnels à la survie) et bivariés.

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Dans ce travail, pour une filtration de référence F, nous développons une méthode pour calculer la décomposition semimartingale des F-martingales dans un type spécifique d'élargissement de F. Comme application, nous étudions l'élargissement progressif de F avec une séquence de temps de défaut non ordonnés et nous montrons comment déduire des résultats concernant les événements first-to-default, k-th-to-default, k-out-of-n-to-default ou all-to-default. En particulier, en utilisant cette méthode, nous calculons explicitement la décomposition semimartingale des F-martingales sous la condition de continuité absolue de Jacod.

Dans cet article, nous introduisons le concept de \textit{martingales coniques}. Cette classe désigne les processus stochastiques ayant la propriété de martingale, mais qui évoluent à l'intérieur de frontières données (éventuellement dépendantes du temps). Nous passons d'abord en revue quelques résultats concernant la propriété martingale des solutions aux équations différentielles stochastiques sans dérive. Nous proposons ensuite une méthode simple pour construire et traiter de tels processus. Une attention particulière est accordée aux martingales dans $[0,1]$. L'une de ces martingales s'avère être analytiquement traçable. On montre que jusqu'à des constantes de décalage et de remise à l'échelle, c'est la seule martingale (avec la constante triviale, le mouvement brownien et le mouvement brownien géométrique) ayant un coefficient séparable $\sigma(t,y)=g(t)h(y)$ et qui peut être obtenue par une cartographie homogène dans le temps de \textit{diffusions gaussiennes}. L'approche est illustrée par la modélisation des probabilités de survie conditionnelles stochastiques dans les cas univariés (conditionnels et non conditionnels à la survie) et bivariés.

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Cet article étudie l'impact, sur les conditions de non-arbitrage, de l'arrêt du processus de prix à un moment aléatoire arbitraire. Comme processus de prix, nous considérons la classe des semimartingales quasi-gauche-continues, c'est-à-dire des semimartingales qui ne sautent pas à des moments d'arrêt prévisibles. Nous nous concentrons sur la condition d'absence de profit sans limite avec un risque limité (appelée NUPBR), également connue dans la littérature sous le nom d'absence d'arbitrage de première espèce. Le premier résultat principal décrit toutes les paires de modèles de marché quasi-gauche-continu et de temps aléatoires pour lesquels le modèle arrêté résultant remplit la condition NUPBR. De plus, pour une sous-classe de martingales locales quasi-gauche-continues, nous construisons explicitement des déflateurs de martingales, c'est-à-dire des martingales locales strictement positives dont le produit avec le processus de prix arrêté à un temps aléatoire est une martingale locale. Le deuxième résultat principal caractérise les temps aléatoires qui préservent le NUPBR sous arrêt pour tout modèle quasi-gauche-continu. L'analyse effectuée dans l'article est basée sur de nouveaux développements stochastiques dans la théorie des élargissements progressifs des filtrages.

Dans cet article, nous nous intéressons aux équations différentielles stochastiques rétroactives avancées (ABSDE), dans un espace de probabilité équipé d'un mouvement brownien et d'un processus de saut unique. La solution de l'ABSDE est un triple (Y, Z, U) où Y est une semimartingale, Z est le coefficient de diffusion et U la taille du saut. Nous permettons au générateur de dépendre des chemins futurs de la solution.

Cet article complète les études entreprises dans [3, 4] et [8], où les auteurs quantifient l'impact d'un temps aléatoire sur le concept No-Unbounded-Risk-with-Bounded-Profit (appelé NUPBR ci-après) pour les modèles quasi-gauche-continus et les modèles de marché en temps discret respectivement. Dans le présent document, nous nous concentrons sur le NUPBR pour les modèles semimartingues qui ne vivent que sur des ensembles prévisibles minces et lorsque l'information supplémentaire sur le temps aléatoire est ajoutée progressivement dans le temps. Dans ce contexte, nous expliquons dans quelle mesure la propriété NUPBR est affectée lorsqu'on arrête le modèle par un temps aléatoire arbitraire ou lorsqu'on incorpore pleinement un temps honnête dans le modèle. De plus, nous montrons comment construire explicitement le déflateur de martingale local sous la plus grande filtration à partir de ceux de la plus petite filtration. En conséquence, en combinant les résultats actuels sur le cas mince et ceux de [3, 4], nous élaborons des résultats universels pour les modèles semimartingaux généraux.

Cet article quantifie l'interaction entre la notion de non-arbitrage No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (NUPBR ci-après) et les informations supplémentaires générées par un temps aléatoire. Cette étude complète celle d'Aksamit/Choulli/Deng/Jeanblanc [1] dans laquelle les auteurs ont étudié des sujets similaires dans le cas d'un arrêt avec le temps aléatoire, alors que nous nous intéressons ici à la partie après l'occurrence du temps aléatoire. Étant donné que toute la littérature - jusqu'à notre connaissance - prouve que la notion de NUPBR est toujours violée après des temps honnêtes qui évitent les temps d'arrêt dans une filtration continue, nous proposons ici une nouvelle classe de temps honnêtes pour lesquels la notion de NUPBR peut être préservée pour certains modèles. Pour cette famille de temps honnêtes, nous élaborons deux résultats principaux. Le premier résultat principal caractérise les paires de marché initial et de temps honnête pour lesquelles le modèle résultant préserve la propriété NUPBR, tandis que le second résultat principal caractérise les temps honnêtes qui préservent la propriété NUPBR pour tout modèle continu quasi-gauche. En outre, nous construisons explicitement des déflateurs de martingale locaux " the-after-τ " pour une grande classe de modèles initiaux (c'est-à-dire des modèles dans la petite filtration) qui sont déjà neutralisés par rapport au risque.

L'article rassemble les idées liées au temps aléatoire mince, c'est-à-dire au temps aléatoire dont le graphe est contenu dans un ensemble mince. Ce concept complète naturellement les études des temps aléatoires et de l'élargissement progressif des filtrages. Nous développons la classification et la (*)-décomposition des temps aléatoires, qui est analogue à la décomposition d'un temps d'arrêt en parties totalement inaccessibles et accessibles, et nous montrons des applications à l'hypothèse (H ′), aux temps honnêtes et à la dérive informationnelle via l'entropie.

Nous introduisons une façon de concevoir les équations différentielles stochastiques de type diffusion admettant une solution forte unique distribuée comme une loi uniforme avec des limites de temps coniques. Nous connectons ce résultat général à certains cas particuliers qui ont été trouvés précédemment dans la littérature sur les processus de paon, et avec le cas de la racine carrée de la limite de temps en particulier. Nous introduisons un cas spécial avec une limite de temps linéaire. Nous introduisons également des processus de diffusion généraux à retour à la moyenne ayant une loi uniforme constante à tout moment. Ceci peut être utilisé pour modéliser des probabilités aléatoires, des taux de récupération aléatoires ou des corrélations aléatoires. Nous étudions le temps local et l'activité de tels processus et vérifions via une simulation de schéma d'Euler qu'ils ont le comportement uniforme désiré.

Nous présentons quelques résultats sur l'élargissement de la filtration en temps discret. De nombreux résultats connus en temps continu s'étendent immédiatement dans un cadre en temps discret. Ici, nous fournissons des preuves directes qui sont beaucoup plus simples. Nous étudions également les conditions d'arbitrages dans un cadre financier et nous présentons quelques cas spécifiques, comme les temps d'immersion et de pseudo-arrêt pour lesquels nous obtenons de nouveaux résultats.

Cette thèse se compose de quatre parties indépendantes. Le fil conducteur de celle-ci est le grossissement de filtration. Dans la première partie, nous présentons des résultats classiques de grossissement de filtration en temps discret. Nous étudions quelques exemples dans le cadre du grossissement initial de filtration. Dans le cadre du grossissement progressif nous donnons des conditions pour obtenir la propriété d'immersion des martingales. Nous donnons également diverses caractérisations des pseudo temps d'arrêt et nous énonçons des propriétés pour les temps honnêtes.Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la détermination du prix de produits à annuités variables dans le cadre de l'assurance vie. Pour cela nous considérons deux modèles, dans ces deux modèles nous considérons que le marché est incomplet et nous adoptons l'approche par prix d'indifférence. Dans le premier modèle nous supposons que l'assuré procède à des retraits aléatoires et nous calculons la prime d'indifférence par des méthodes standards en contrôle stochastique. Nous sommes conduits à résoudre des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec un saut. Nous fournissons un théorème de vérification et nous donnons les stratégies optimales associées à nos problèmes de contrôle. De ceux-ci, nous tirons une méthode de calcul pour obtenir la prime d'indifférence. Dans le second modèle nous proposons la même approche que dans le premier modèle mais nous supposons que l'assuré effectue des retraits qui correspondent au pire cas pour l'assureur. Nous sommes alors amenés à traiter un problème de max-min.Dans la troisième partie, nous étudions la relation des solutions d'EDSR dans deux filtrations différentes. Nous étudions alors la relation entre ces deux solutions. Nous appliquons ces résultats pour obtenir le prix d'indifférence dans les deux filtrations, c'est-à-dire le prix auquel un agent aurait le même niveau d'utilité attendue en utilisant des informations supplémentaires.Dans la quatrième partie, nous considérons des équations différentielles stochastiques rétrogrades avancées (EDSRAs) avec un saut. Nous étudions l'existence et l'unicité d'une solution à ces EDSRAs. Pour cela nous utilisons la décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration pour nous ramener à l'étude d'EDSRAs browniennes avant et après le temps de saut.

Dans cet article, nous étudions le problème classique de la maximisation de la somme de l'utilité de la richesse terminale et de l'utilité de la consommation, dans un cas où un saut soudain du taux d'intérêt sans risque crée une incomplétude. Il est prouvé que la fonction de valeur du problème dual est la solution d'une BSDE et la dualité entre les fonctions de valeur primale et duale est exploitée pour étudier la BSDE associée au problème primal.

Nous considérons le problème de la maximisation du temps attendu qu'une martingale exponentielle passe au-dessus d'un seuil constant jusqu'à un horizon temporel fini. Nous supposons qu'à tout moment, la volatilité de la martingale peut être choisie pour prendre n'importe quelle valeur entre σ 1 et σ 2 , où 0 < σ 1 < σ 2 . Le contrôle optimal consiste à choisir la volatilité minimale σ 1 lorsque le processus est au-dessus du seuil, et la volatilité maximale s'il est en dessous. Nous donnons une preuve rigoureuse en utilisant la vérification classique et fournissons des formules intégrales pour le temps d'occupation maximal attendu au-dessus du seuil.

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L’objectif central de la thèse est d’étudier diverses mesures du risque de modèle, exprimées en terme monétaire, qui puissent être appliquées de façon cohérente à une collection hétérogène de produits financiers. Les deux premiers chapitres traitent cette problématique, premièrement d’un point de vue théorique, ensuite en menant un étude empirique centrée sur le marché du gaz naturel. Le troisième chapitre se concentre sur une étude théorique du risque dit de base (en anglais basis risk). Dans le premier chapitre, nous nous sommes intéressés à l’évaluation de produits financiers complexes, qui prend en compte le risque de modèle et la disponibilité dans le marché de produits dérivés basiques, appelés aussi vanille. Nous avons en particulier poursuivi l’approche du transport optimal (connue dans la littérature) pour le calcul des bornes de prix et des stratégies de sur (sous)-couverture robustes au risque de modèle. Nous reprenons en particulier une construction de probabilités martingales sous lesquelles le prix d’une option exotique atteint les dites bornes de prix, en se concentrant sur le cas des martingales positives. Nous mettons aussi en évidence des propriétés significatives de symétrie dans l’étude de ce problème. Dans le deuxième chapitre, nous approchons le problème du risque de modèle d’un point de vue empirique, en étudiant la gestion optimale d’une unité de gaz naturel et en quantifiant l’effet de ce risque sur sa valeur optimale. Lors de cette étude, l’évaluation de l’unité de stockage est basée sur le prix spot, alors que sa couverture est réalisée avec des contrats à termes. Comme mentionné auparavant, le troisième chapitre met l’accent sur le risque de base, qui intervient lorsque l’on veut couvrir un actif conditionnel basé sur un actif non traité (par exemple la température) en se servant d’un portefeuille constitué d’actifs traités sur le marché. Un critère de couverture dans ce contexte est celui de la minimisation de la variance qui est étroitement lié à la décomposition dite de Föllmer-Schweizer. Cette décomposition peut être déduite de la résolution d’une certaine équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) dirigée par une martingale éventuellement à sauts. Lorsque cette martingale est un mouvement brownien standard, les EDSR sont fortement associées aux EDP paraboliques semi linéaires. Dans le cas général nous formulons un problème déterministe qui étend les EDPs mentionnées. Nous appliquons cette démarche à l’important cas particulier de la décomposition de Föllmer-Schweizer, dont nous donnons des expressions explicites de la décomposition du payoff d’une option lorsque les sous-jacents sont exponentielles de processus additifs.

Ce volume est dédié à la mémoire de Marc Yor, qui nous a quittés en 2014. Les contributions invitées de ses collaborateurs et de ses anciens étudiants témoignent de la valeur et de la diversité de son travail et de son domaine de recherche, qui couvrait de vastes domaines de la théorie des probabilités. Le volume présente également des souvenirs personnels à son sujet, ainsi qu'un article sur son rôle essentiel concernant les documents Doeblin. Avec des contributions de P. Salminen, J-Y. Yen & M. Yor. J. Warren. T. Funaki. J. Pitman& W. Tang. J-F.

Nous étudions les problèmes liés à la propriété de représentation prévisible pour un élargissement progressif G d'une filtration de référence F par l'observation d'un temps aléatoire fini τ. Nous nous concentrons sur les cas où la propriété d'évitement et/ou la propriété de continuité pour les F-martingales ne tiennent pas et où la filtration de référence est générée par un processus de Poisson. Notre objectif est de déterminer si la propriété de représentation prévisible (PRP), dont on sait qu'elle est valable pour la filtration de Poisson, reste valide pour une filtration G progressivement élargie par rapport à un choix judicieux de G-martingales.

Étant donné un filtrage de référence F, nous considérons les cas où un filtrage élargi G est construit à partir de F de deux manières différentes : progressivement avec un temps aléatoire ou initialement avec une variable aléatoire. Dans les deux situations, sous des conditions appropriées, nous présentons une décomposition semimartingale G-optionnelle pour les martingales F-locales. Notre étude est ensuite appliquée pour répondre à la question de savoir comment un modèle de semimartingale sans arbitrage est affecté lorsqu'il est arrêté au temps aléatoire dans le cas d'un élargissement progressif ou lorsque la variable aléatoire utilisée pour l'élargissement initial satisfait l'hypothèse de Jacod. Plus précisément, nous nous concentrons sur la condition No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (NUPBR). Nous fournissons des preuves alternatives de certains résultats de [5], avec une méthodologie basée sur notre décomposition semimartingale optionnelle, qui réduit considérablement la longueur de la preuve.

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Nous appliquons le cadre de densité de défaut développé dans El Karoui et al. \cite{ejj1} à la modélisation des défauts multiples, qui peut être adapté à la fois aux modèles top-down et bottom-up. Nous présentons des résultats généraux de tarification et établissons des liens avec l'approche classique de l'intensité. Des modèles explicites sont également proposés en utilisant les méthodes de changement de mesure de probabilité ou de copule dynamique.

Dans cette thèse nous considérons le problème de la maximisation d’utilité et de la formation des prix d’indifférence pour les modèles semimartingales exponentiels dépendant d’un facteur aléatoire ξ. L’enjeu est de résoudre le problème des prix d’indifférence en utilisant le grossissement de l’espace et de la filtration. Nous réduisons le problème de maximisation dans la filtration élargie au problème conditionnel, sachant {ξ = v}, que nous résolvons en utilisant une approche duale. Pour HARA-utilités nous introduisons les informations telles que les entropies relatives et les intégrales de type Hellinger, ainsi que les processus d’information correspondants, enfin d’exprimer, via ces processus, l’utilité maximal. En particulier, nous étudions les modèles de Lévy exponentiels, où les processus d’information sont déterministes ce que simplifie considèrablement les calculs des prix d’indiffrence. Enfin, nous appliquons les rèsultats au modèle du mouvement brownien géométrique et au modèle de diffusion-sauts qui inclut le mouvement brownien et les processus de Poisson. Dans les cas d’utilité logarithmique, de puissance et exponentielle, nous fournissons les formules explicites des informations, et puis, en utilisant les méthodes numériques, nous résolvons les équations pour obtenir les prix d’indifférence en cas de vente d’une option européenne.

Pour un processus de Markov à états finis X et une collection finie {Γ k , k ∈ K} de sous-ensembles de son espace d'états, soit τ k la première fois que le processus visite l'ensemble Γ k. En général, X peut entrer dans certains des Γ k en même temps et donc le vecteur τ := (τ k , k ∈ K) peut mettre une masse non nulle sur des régions de dimension inférieure de R |K| + . ces régions sont de la forme R s = {t : t i = t j , i, j ∈ s(1)}∩ |s| l=2 {t : t m < t i = t j , i, j ∈ s(l), m ∈ s(l -1)} où s est une partition ordonnée quelconque de l'ensemble K et s(j) désigne le j ième sous-ensemble de K dans la partition s. Lorsque |s| < |K|, la densité de la loi de τ sur ces régions est dite " singulière " car elle l'est par rapport à la mesure de Lebesgue à |s| dimensions sur la région R s. Nous dérivons des formules explicites/récurrentes et simples à calculer pour ces densités singulières et leurs probabilités de queue correspondantes sur tous les R s lorsque s s'étend sur des partitions ordonnées de K. Nous donnons un exemple numérique et indiquons la pertinence de nos résultats pour la modélisation du risque de crédit.

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Dans cet article, nous étudions un problème de maximisation de l'utilité avec un horizon aléatoire et le réduisons à l'analyse d'une BSDE spécifique, que nous appelons BSDE à coefficients singuliers, lorsque le support du temps de défaut est supposé être borné. Nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution pour l'équation en question. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Dans le contexte d'un modèle général de marché financier continu, nous étudions si l'information supplémentaire associée à un temps honnête donne lieu à des profits d'arbitrage. En nous appuyant sur la théorie de l'élargissement progressif des filtrations, nous montrons explicitement qu'aucun type de profit d'arbitrage ne peut jamais être réaliser strictement avant un moment honnête, alors que les opportunités d'arbitrage classiques classiques peuvent être réalisées exactement à un moment honnête ainsi qu'après un moment honnête. moment honnête. De plus, les arbitrages plus forts du premier type ne peuvent être obtenus qu'en négociant dès qu'un moment honnête est atteint. être obtenus en négociant dès qu'un moment honnête se produit. Nous étudions soigneusement le Nous étudions attentivement le comportement des déflateurs de martingale locaux et considérons des Commentaire : 25 pages, version révisée.

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Nous étudions la stabilité de plusieurs conditions de non-arbitrage par rapport à des changements de mesure absolument continus, mais pas nécessairement équivalents. Nous considérons d'abord des modèles basés sur des semimartingales continues et montrons que les conditions de non-arbitrage plus faibles que NA et NFLVR sont toujours stables. Ensuite, dans le contexte de modèles semimartingales généraux, nous montrons qu'un changement de mesure absolument continu n'introduit jamais d'arbitrages de première sorte tant que le processus de densité du changement de mesure ne peut atteindre zéro que de façon continue.

Dans cette Note, nous étudions une classe de BSDEs qui admet une singularité particulière dans leur pilote. Plus précisément, nous supposons que le pilote n'est pas intégrable et dégénère à l'approche du temps terminal de l'équation.

Cette thèse traite des problèmes associés à la théorie de grossissement de filtration. Elle est divisée en deux parties.La première partie est consacrée aux temps aléatoires. On étudie les propriétés des différentes classes de temps aléatoires du point de vue du grossissement de la filtration.La deuxième partie concerne l'étude de la stabilité de condition d'arbitrage sur le grossissement de la filtration.

Cet article quantifie l'impact de l'arrêt à un moment aléatoire sur le non-arbitrage, pour une classe de modèles semimartingaux. Nous nous concentrons sur le concept de No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (appelé NUPBR ci-après), également connu dans la littérature comme l'arbitrage de première espèce. Le premier résultat principal consiste à décrire les paires de modèles de marché et de temps aléatoires pour lesquelles le modèle arrêté résultant remplit la condition NUPBR. Le second résultat principal caractérise les modèles de temps aléatoires qui préservent la propriété NUPBR après arrêt pour tout modèle de marché quasi-gauche-continu. L'analyse qui conduit à ces résultats est basée sur de nouveaux développements stochastiques de la théorie des martingales avec élargissement progressif de la filtration. En outre, nous construisons des densités de martingales explicites (déflateurs) pour une sous-classe de martingales locales lorsqu'elles sont arrêtées à un moment aléatoire.

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Nous considérons une classe générale de modèles continus de prix d'actifs où les fonctions de dérive et de volatilité, ainsi que les mouvements browniens moteurs, changent à un temps aléatoire \tau. Sous des hypothèses minimales sur le temps aléatoire et sur les mouvements browniens moteurs, nous étudions le comportement du modèle dans toutes les filtrations qui apparaissent naturellement dans ce cadre, en établissant des résultats de représentation martingale et en caractérisant la validité des conditions de non-arbitrage NA1 et NFLVR.

Cette thèse traite de plusieurs sujets en mathématiques financières: risque de crédit, optimisation de portefeuille et modélisation des taux d’intérêts. Le chapitre 1 consiste en trois études dans le domaine du risque de crédit. La plus innovante est la première dans laquel nous construisons un modèle tel que la propriété d’immersion n’est vérifiée sous aucune mesure martingale équivalente. Le chapitre 2 étudie le problème de maximisation de la somme d’une utilité de la richesse terminale et d’une utilité de la consommation. Le chapitre 3 étudie l’évaluation des produits dérivés de taux d’intérêt dans un cadre multicourbe, qui prend en compte la différence entre une courbe de taux sans risque et des courbes de taux Libor de différents tenors.

Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l’apparition de produits dérivés divers et variés. Les plus utilisés parmi ces produits dérivés sont les options américaines.

Cette thèse porte sur les modèles à densité pour les temps de défaut et leur application au risque de crédit et de contrepartie. La première partie est une contribution théorique à l'étude des projections sur différentes filtrations de la densité de Radon-Nikodym, sous la forme d'exponentielle de Doléans-Dade, intervenant lors de changements de mesure. Le résultat principal est la caractérisation des changements de mesure qui préservent l'immersion, obtenue par application de nos formules de projection. La deuxième partie a pour objet une dynamisation informationnelle du modèle de copule gaussienne statique appliqué à un portefeuille de crédit, pouvant être vue comme un modèle à densité permettant de traîter de la couverture des CDO par CDS ou bien du risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Les principales contributions sont l'introduction de la perspective dynamique , qui permet de donner une justification théorique aux bump-sensibilités de copule gaussienne utilisées par les praticiens, et l'application aux calculs de CVA sur un CDS.

Dans cette Note, nous étudions une classe de BSDEs qui admet une singularité particulière dans leur pilote. Plus précisément, nous supposons que le pilote n'est pas intégrable et dégénère à l'approche du temps terminal de l'équation.

Dans cet article, nous étudions le problème classique de la maximisation de la somme de l'utilité de la richesse terminale et de l'utilité de la consommation, dans un cas où un saut soudain du taux d'intérêt sans risque crée une incomplétude. Il est prouvé que la fonction de valeur du problème dual est la solution d'une BSDE et la dualité entre les fonctions de valeur primale et duale est exploitée pour étudier la BSDE associée au problème primal.

Ce travail concerne la théorie des élargissements initiaux et progressifs d'une filtration de référence F avec un temps aléatoire tau. Nous fournissons, sous une hypothèse d'équivalence, légèrement plus forte que l'hypothèse de continuité absolue de Jacod, des preuves alternatives aux résultats concernant la décomposition canonique d'une martingale F dans les filtrations élargies. Nous abordons également la caractérisation des martingales dans les filtrations élargies en termes de martingales dans la filtration de référence, ainsi que les théorèmes de représentation prévisible dans les filtrations élargies.

Dans ce travail de thèse le processus d'information concernant un instant de défaut τ dans un modèle de risque de crédit est décrit par un pont brownien sur l'intervalle stochastique [0, τ]. Un tel processus de pont est caractérisé comme plus adapté dans la modélisation que le modèle classique considérant l'indicatrice I[0,τ]. Après l'étude des formules de Bayes associées, cette approche de modélisation de l'information concernant le temps de défaut est reliée avec d'autres informations sur le marché financier. Ceci est fait à l'aide de la théorie du grossissement de filtration, où la filtration générée par le processus d'information est élargie par la filtration de référence décrivant d'autres informations n'étant pas directement liées avec le défaut. Une attention particulière est consacrée à la classification du temps de défaut par rapport à la filtration minimale mais également à la filtration élargie. Des conditions suffisantes, sous lesquelles τ est totalement inaccessible, sont discutées, mais également un exemple est donné dans lequel τ évite les temps d'arrêt, est totalement inaccessible par rapport à la filtration minimale et prévisible par rapport à la filtration élargie. Enfin, des contrats financiers comme, par exemple, des obligations privée et des crédits default swaps, sont étudiés dans le contexte décrit ci-dessus.

Cette thèse traite de la modélisation des dérivés de crédit et se compose de deux parties: La première partie concerne le modèle à densité, récemment proposé par El Karoui et al. où on fait l'hypothèse que la loi conditionnelle de temps de défaut sachant la filtration référence est équivalente à sa loi (non-conditionnelle). Sous cette hypothèse, nous donnons des démonstrations différentes (et plus simples) aux résultats déjà existant dans la théorie du grossissement initial et progressif des filtrations. En outre, nous présentons de nouveaux résultats comme par exemple le théorème de représentation prévisible pour la filtration progressivement grossie dans le cas multidimensionnel. Nous proposons ensuite plusieurs méthodes pour construire des modèles à densité, dans les cas unidimensionnel et multidimensionnel. Enfin, nous montrons que le modèle à densité est une approche efficace pour la couverture dynamique de produits dérivés de crédit multi-name. Dans la deuxième partie, afin d'étudier le risque de contrepartie dans un contrat de CDS, nous avons proposé un modèle markovien dans lequel des défauts simultanés sont possibles. Le wrong-way risk est donc représenté par le fait que, à moment de la défaillance de la contrepartie, il y a une probabilité strictement positive pour que l'entité de référence fasse défaut aussi. Nous commençons par considérer une chaîne de Markov à quatre états correspondant à deux noms. Dans ce cas simple, nous obtenons des formules semi-explicites pour la plupart des quantités importantes, comme le prix, la CVA, l’EPE ou les ratios de couverture. Nous généralisons ensuite ce cadre pour tenir compte du risque de spread en introduisant des facteurs stochastiques. nous traitons un modèle copule Markovien avec des intensités stochastiques. Nous abordons également la question de la couverture dynamique du CVA avec un CDS écrit sur la contrepartie. Pour l'implémentation du modèle, nous spécifions les intensités par des processus affines, ce qui compte tenu de la propriété copule dynamique du modèle, rend la calibration de ce modèle efficace. Les résultats numériques sont présentés pour montrer la pertinence du comportement de la CVA dans le modèle avec les faits stylisés du marché.

Cette thèse porte sur l'optimisation des portefeuilles d'actifs soumis au risque de défaut. La crise actuelle nous a permis de comprendre qu'il est important de tenir compte du risque de défaut pour pouvoir donner la valeur réelle de son portefeuille. En effet dûs aux différents échanges des acteurs du marché financier, le système financier est devenu un réseau de plusieurs connections dont il est indispensable d'identifier pour évaluer le risque d'investir dans un actif financier. Dans cette thèse, nous définissons un système financier avec un nombre fini de connections et nous proposons un modèle de la dynamique d'un actif dans un tel système en tenant compte des connections entre les différents actifs. La mesure de la corrélation sera faite à travers l'intensité de sauts des processus. A l'aide des Equations stochastiques Différentielles Rétrogrades (EDSR), nous déduirons le prix d'un actif contingent et nous tiendrons compte du risque de modèle afin de mieux évaluer la consommation et la richesse optimal si on investit dans un tel marché.

Cette thèse se compose de cinq parties indépendantes dédiées à la modélisation et à l’étude des problèmes liés au risque du défaut, en information partielle. La première partie constitue l’Introduction. La deuxième partie est dédiée au calcul de la probabilité de survie d’une firme, conditionnellement à l’information à disposition de l’investisseur, dans un modèle structurel en information partielle. On utilise une technique numérique hybride basée sur la méthode Monte Carlo et la quantification optimale. Dans la troisième partie on traite, avec l’approche Programmation Dynamique, un problème en temps discret de maximisation de l’utilité de la richesse terminale, dans un marché où des titres soumis au risque du défaut sont négociés. Le risque de contagion entre les défauts est modélisé, ainsi que la possible incertitude du modèle. Dans la quatrième partie on s’intéresse au problème de l’incertitude liée à l’horizon temporel d’investissement. Dans un marché complet soumis au risque du défaut, on résout, soit avec la méthode martingale, soit avec la Programmation Dynamique, trois problèmes de maximisation de l’utilité de la consommation: quand l’horizon temporel est fixe, fini mais incertain et infini. Enfin, dans la cinquième partie on traite un problème purement théorique. Dans le contexte du grossissement de filtrations, notre but est de redémontrer, dans un cadre spécifique, les résultats déjà connus sur la caractérisation des martingales, la décomposition des martingales par rapport à la filtration de référence comme semimartingales dans les filtrations progressivement et initialement grossies et le Théorème de Représentation Prévisible.

Cette thèse traite - en trois essais - de problèmes de choix de portefeuille en situation d’information partielle, thématique que nous présentons dans une courte introduction. Les essais développés abordent chacun une particularité de cette problématique. Le premier (coécrit avec M. Jeanblanc et V. Lacoste) traite la question du choix de la stratégie optimale pour un problème de maximisation d’utilité terminale lorsque l’évolution des prix est modélisée par un processus de Itô-Lévy dont la tendance et l’intensité des sauts ne sont pas observées. L’approche consiste à réécrire le problème initial comme un problème réduit dans la filtration engendrée par les prix. Cela nécessite la dérivation des équations de filtrage non-linéaire, que nous développons pour un processus de Lévy. Le problème est ensuite résolu en utilisant la programmation dynamique par les équations de Bellman et de HJB. Le second essai aborde dans un cadre gaussien la question du coût de l’incertitude, que nous définissons comme la différence entre les stratégies optimales (ou les richesses maximales) d’un agent parfaitement informé et d’un agent partiellement informé. Les propriétés de ce coût de l’information sont étudiées dans le cadre des trois formes standard de fonctions d’utilités et des exemples numériques sont présentés. Enfin, le troisième essai traite la question du choix de portefeuille quand l’information sur les prix de marché n’est disponible qu’à des dates discrètes et aléatoires. Cela revient à supposer que la dynamique des prix suit un processus marqué. Dans ce cadre, nous développons les équations de filtrage et réécrivons le problème initial dans sa forme réduite dans la filtration discrète des prix. Les stratégies optimales sont ensuite calculées en utilisant le calcul de Malliavin pour des mesures aléatoires et une extension de la formule de Clark-Ocone-Haussman est à cette fin présentée.

Cette thèse porte sur le calcul et l'allocation de capital réglementaire et économique pour risque de crédit en banque de détail. Pour le calcul des fonds propres réglementaires, nous proposons une approche qui s'appuie sur une modélisation de la perte sur le portefeuille à l'horizon d'une année. Ainsi, le modèle pour l'agrégation de portefeuilles est développé suivant deux méthodes : Bâle II et un modèle plus général dit Bâle II " étendu ". Les exigences en fonds propres sont calculées à l'aide d'indicateurs construits avec des quantiles de la distribution de perte. Nous insistons sur les bénéfices de notre structure de corrélation, cœur de l'approche Bâle II étendu, pour tenir compte des effets de diversification. Nous calculons un capital économique à partir d'une valorisation des portefeuilles de créances. Le capital économique est défini comme valeur moyenne du portefeuille à l'horizon, à laquelle on retranche l'Expected Shortfall de la distribution de valeur.

Cette thèse est constituée de deux parties : dans la première partie, nous étudions un marché complet dont l'actif risqué est un processus discontinu. La seconde est consacrée à une modélisation du risque de défaut. Nous insistons sur la différence entre l'information liée au défaut de celle du marché sans défaut. Les chapitres quatre et cinq traitent respectivement du cas où l'information est grossière et du cas où le temps du défaut est un temps d'arrêt pour la filtration engendrée par l'information disponible sur le marché sans défaut. Dans le chapitre suivant, nous étudions la propriété de conservation des martingales (hypothèse (H)). Nous établissons dans ce cadre un théorème de représentation prévisible et faisons le lien entre hypothèse (H) et absence d'arbitrage. Les deux chapitres qui suivent généralisent ces résultats à la présence de plusieurs instants de défaut et dans le cas où l'hypothèse (H) n'est pas vérifiée. Le neuvième chapitre étudie l'incomplétion qu'engendre le défaut. En particulier, nous caractérisons l'ensemble des martingales mesures équivalentes. Nous déterminons la fourchette des prix pour certains actifs contingents. A l'aide des théorèmes de représentation prévisible, nous montrons que le marché peut être complété par un zéro-coupon avec défaut et nous explicitons la couverture des actifs. Le dernier chapitre est consacré dans un premier temps au problème d'optimisation de l'utilité de la richesse espérée en présence d'un défaut. Nous montrons que l'utilisation d'une fonction d'utilité permet à l'agent de fixer une unique martingale mesure équivalente. Ensuite, nous résolvons un problème de maximisation avec un horizon aléatoire.

Cette thèse contient deux parties : la première partie traite des méthodes numériques et la seconde étudie leurs applications en finance. Les premiers chapitres sont consacrés à une description des méthodes de Monte-Carlo, quasi Monte-Carlo et hybrides. Nous donnons une estimation de la variation d'une fonction et des techniques susceptibles de la réduire. Nous donnons aussi une estimation de la discrépance étendue des suites unidimensionnellles, en particulier celles dont les termes sont une somme de composantes d'une suite multidimensionnelle à discrépance faible. Puis, les derniers chapitres s'intéressent à l'évaluation et la couverture des options avec un ou plusieurs actifs risqués, comme un call européen dans un modèle de marché complet avec sauts, un call asiatique dans un modèle de marché incomplet avec sauts ou un call sur panier dans un modèle multidimensionnel de Black-Scholes. Nous obtenons de nombreux résultats numériques et prouvons que certaines fonctions issues de la finance ne sont pas à variable finie.

Cette these etudie des marches dont les actifs risques sont des processus discontinus. L'interet porte a de telles modelisations trouve sa justification dans de nombreuses etudes statistiques, mettant en evidence des discontinuites dans les trajectoires des prix observes. Les deux premiers chapitres sont consacres aux problemes d'evaluation dans un marche incomplet comportant un actif sans risque et un actif risque. Nous supposons que l'actif risque est une diffusion a sauts. Dans ce marche incomplet, nous determinons la fourchette des prix viables (c'est-a-dire ne creant pas d'opportunite d'arbitrage) d'actifs contingents europeens, et nous etudions quelques proprietes de ces prix. Nous analysons ensuite le cas d'options asiatiques et americaines a maturites finies, ainsi que celui d'options de vente americaines perpetuelles. Le troisieme chapitre examine la completion de tels marches d'une part, et d'autre part presente quelques exemples de marches complets diriges par un seul actif a sauts. Les chapitres suivants sont consacres au probleme de couverture. Nous considerons un agent dont la strategie est specifiee par une fonction d'utilite et nous etudions la maximisation de l'utilite esperee de sa richesse terminale. Lorsque le marche est incomplet et dirige par une diffusion mixte, nous etablissons l'existence d'une strategie optimale que nous caracterisons. Nous prouvons que l'emploi de fonctions d'utilite apporte une reduction significative de la fourchette des prix viables. Enfin nous considerons le defaut de couverture dans des marches diriges par des diffusions mixtes.

Cette these comporte cinq chapitres. Dans le premier chapitre, nous revenons sur la theorie des anticipations. Apres un rappel des notions de base, nous donnons deux nouvelles formulations des hypotheses d'anticipations. La premiere est celle obtenue dans le cadre du modele quadratique gaussien . la deuxieme est obtenue dans le cas d'un modele de diffusion avec sauts. Dans le deuxieme chapitre, deux problemes sont exposes : le probleme de taux long et celui des modeles factoriels affines en presence de sauts. D'abord, nous montrons que le taux long est un processus aleatoire . ensuite, nous obtenons de nouvelles contraintes sur la courbe des taux dans le cadre des modeles factoriels affines. Le troisieme chapitre est inspire d'un travail effectue par el karoui et cherif (1992) sur l'arbitrage multidevise. Apres un rappel de quelques resultats connus, nous donnons les nouvelles relations d'arbitrage dans le cadre d'un modele discontinu . ensuite, nous etudions quelques options quanto. La premiere partie du quatrieme chapitre est un complement au troisieme. Dans la deuxieme partie, nous etudions quelques options quanto-barrieres et barrieres a niveau. Dans la derniere partie, des exemples sur le probleme de maximisation de la richesse terminale sont presentes en details. Le dernier chapitre etudie le taux de change : les problemes d'intervention dans un regime de zone cible et le probleme de la monnaie unique sont evoques.