Processus à sauts et risque de défaut.

Résumé Cette thèse est constituée de deux parties : dans la première partie, nous étudions un marché complet dont l'actif risqué est un processus discontinu. La seconde est consacrée à une modélisation du risque de défaut. Nous insistons sur la différence entre l'information liée au défaut de celle du marché sans défaut. Les chapitres quatre et cinq traitent respectivement du cas où l'information est grossière et du cas où le temps du défaut est un temps d'arrêt pour la filtration engendrée par l'information disponible sur le marché sans défaut. Dans le chapitre suivant, nous étudions la propriété de conservation des martingales (hypothèse (H)). Nous établissons dans ce cadre un théorème de représentation prévisible et faisons le lien entre hypothèse (H) et absence d'arbitrage. Les deux chapitres qui suivent généralisent ces résultats à la présence de plusieurs instants de défaut et dans le cas où l'hypothèse (H) n'est pas vérifiée. Le neuvième chapitre étudie l'incomplétion qu'engendre le défaut. En particulier, nous caractérisons l'ensemble des martingales mesures équivalentes. Nous déterminons la fourchette des prix pour certains actifs contingents. A l'aide des théorèmes de représentation prévisible, nous montrons que le marché peut être complété par un zéro-coupon avec défaut et nous explicitons la couverture des actifs. Le dernier chapitre est consacré dans un premier temps au problème d'optimisation de l'utilité de la richesse espérée en présence d'un défaut. Nous montrons que l'utilisation d'une fonction d'utilité permet à l'agent de fixer une unique martingale mesure équivalente. Ensuite, nous résolvons un problème de maximisation avec un horizon aléatoire.