Modèle log-normal continu en cascade des rendements des actifs : propriétés d'agrégation et estimation.

Résumé Les modèles multifractaux et les cascades aléatoires ont été utilisés avec succès pour modéliser les rendements des actifs. En particulier, la cascade continue log-normale est un modèle parcimonieux qui s'est avéré reproduire la plupart des faits stylisés observés. Dans cet article, nous étudions plusieurs questions statistiques liées à ce modèle. Nous présentons d'abord une revue rapide, mais étendue, de ses principales propriétés et montrons que la plupart de ces propriétés peuvent être étudiées analytiquement. Nous développons ensuite une théorie de l'approximation dans la limite de petite intermittence λ-super-2 ≪ 1, c'est-à-dire lorsque le degré de multifractalité est petit. Cela nous permet de prouver que les distributions de probabilité associées à ces processus possèdent certaines propriétés d'agrégation très simples à travers les échelles de temps. Un tel contrôle des propriétés des processus à différentes échelles de temps nous permet d'aborder le problème de l'estimation des paramètres. Nous montrons qu'il faut distinguer deux régimes asymptotiques différents : le premier, appelé "asymptotique à basse fréquence", correspond à la prise d'un échantillon dont la taille globale augmente, tandis que le second, appelé "asymptotique à haute fréquence", correspond à l'échantillonnage du processus à un taux d'échantillonnage croissant. Le premier cas conduit à des estimateurs convergents, alors que dans l'asymptotique haute fréquence, la situation est beaucoup plus complexe : seul le coefficient d'intermittence λ-super-2 peut être estimé à l'aide d'un estimateur cohérent. Cependant, nous montrons que, dans des situations pratiques, on peut détecter la nature du régime asymptotique (basse fréquence versus haute fréquence) et par conséquent décider si les estimations des autres paramètres sont fiables ou non. Nous appliquons nos résultats aux séries de rendements quotidiens du marché des actions (actions individuelles et indices) et illustrons une application possible à la prédiction de la volatilité et de la valeur à risque conditionnelle.