Règles de vente optimales pour les critères invariants monétaires : suivi du maximum d'un portefeuille à dérive négative.

Résumé En considérant une diffusion positive du portefeuille $X$ avec une dérive négative, nous étudions les problèmes d'arrêt optimal de la forme $$ \inf_\theta \Esp{f\left(\frac{X_\theta}{\Sup_{s\in[0,\tau]}{X_s}}\right)}\.,$$ où $f$ est une fonction non croissante, $\tau$ est le prochain instant aléatoire où le portefeuille $X$ passe par zéro et $\theta$ est tout instant d'arrêt inférieur à $\tau$. Ainsi, notre motivation est l'obtention d'une stratégie de vente optimale minimisant la distance relative entre la valeur de liquidation du portefeuille et sa plus haute valeur possible avant qu'il n'atteigne zéro. Cet article unifie les règles de vente optimales observées pour les critères de distance absolue quadratique avec celles de type bang-bang. Plus précisément, nous fournissons un résultat de vérification pour le problème d'arrêt général d'intérêt et dérivons la solution exacte pour deux critères classiques $f$ de la littérature. Pour le critère d'utilité de puissance $f:y \mapsto - {y^\la}$ avec $\la>0$, la vente instantanée est toujours optimale, ce qui est cohérent avec les observations de \cite{DaiJinZhoZho10} ou \cite{ShiXuZho08} pour le modèle Black-Scholes en horizon fini. Au contraire, pour un critère d'erreur quadratique relative, $f:y \mapsto {(1-y)^2}$, la vente est optimale dès que le processus $X$ franchit une fonction spécifiée $\varphi$ de son maximum courant $X^*$. Ces résultats renforcent l'idée que des problèmes d'arrêt optimal de type similaire conduisent facilement à des règles de vente de nature très différente. Néanmoins, nos expériences numériques suggèrent que la règle de vente optimale pratique pour le critère d'erreur quadratique relative est en fait très proche de la vente immédiate.