ELIE Romuald

L'intelligence artificielle est devenue de plus en plus populaire en finance quantitative avec l'augmentation des capacités de calcul ainsi que de la complexité des modèles et a conduit à de nombreuses applications financières. Dans cette thèse, nous explorons trois applications différentes pour résoudre des défis concernant le domaine des dérivés financiers allant de la sélection de modèle, à la calibration de modèle ainsi que la valorisation des dérivés. Dans la Partie I, nous nous intéressons à un modèle avec changement de régime de volatilité afin de valoriser des dérivés sur actions. Les paramètres du modèle sont estimés à l'aide de l'algorithme d'Espérance-Maximisation (EM) et une composante de volatilité locale est ajoutée afin que le modèle soit calibré sur les prix d'options vanilles à l'aide de la méthode particulaire. Dans la Partie II, nous utilisons ensuite des réseaux de neurones profonds afin de calibrer un modèle à volatilité stochastique, dans lequel la volatilité est représentée par l'exponentielle d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck, afin d'approximer la fonction qui lie les paramètres du modèle aux volatilités implicites correspondantes hors ligne. Une fois l'approximation couteuse réalisée hors ligne, la calibration se réduit à un problème d'optimisation standard et rapide. Dans la Partie III, nous utilisons enfin des réseaux de neurones profonds afin de valorisation des options américaines sur de grands paniers d'actions pour surmonter la malédiction de la dimension. Différentes méthodes sont étudiées avec une approche de type Longstaff-Schwartz, où nous approximons les valeurs de continuation, et une approche de type contrôle stochastique, où nous résolvons l'équation différentielle partielle de valorisation en la reformulant en problème de contrôle stochastique à l'aide de la formule de Feynman-Kac non linéaire.

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Le traitement des incertitudes est un problème fondamental dans le contexte financier. Les variables étudiées sont souvent dépendantes du temps, avec des queues de distribution épaisses. Dans cette thèse, on s'intéresse à des outils permettant de prendre en compte les incertitudes sous ses formes principales: incertitudes statistiques, paramétriques et erreur de modèle, tout en gardant en tête qu’on souhaite les appliquer à ce contexte.La première partie est consacrée à l’établissement d’inégalités de concentration dans le cadre de variables à queues épaisses. L’objectif de ces inégalités est de quantifier quelle confiance on peut donner à un estimateur basé sur une taille finie d'observations. Dans cette thèse, nous établissons de nouvelles inégalités de concentration, qui couvrent notamment le cas d'estimateur à distribution log-normale.Dans la seconde partie, on traite de l'impact de l'erreur de modèle pour l'estimation de la matrice de covariance sur des rendements boursiers, sous hypothèse qu’il existe un processus de covariance instantanée entre les rendements dont la valeur présente dépend de sa valeur passée. On peut alors construire explicitement la meilleure estimée de la matrice de covariance pour un instant et un horizon d'investissement donnés, et montrer qu'elle fournie la variance réalisée la plus faible avec grande probabilité dans le cadre du portefeuille minimum variance.Dans la troisième partie, on propose une approche pour estimer le ratio de Sharpe et l'allocation de portefeuille lorsqu'ils dépendent de paramètres jugés incertains. Notre approche passe par l'adaptation d'une technique d'approximation stochastique pour le calcul de la décomposition en polynômes du chaos de la quantité d'intérêt.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, on s'intéresse à l'optimisation de portefeuille avec distribution cible. Cette technique peut être formalisée sans avoir recours à aucune hypothèse de modèle sur les rendements. Nous proposons de trouver ces portefeuilles en minimisant des mesures de divergence basées sur les fonctions noyau et la théorie du transport optimal.

Dans cette thèse, nous nous intéressons principalement à trois thèmes de recherche, relativement indépendants, mais néanmoins connexes au travers du fil conducteur des interactions et incitations, comme souligné dans l'introduction constituant le premier chapitre.Dans la première partie, nous présentons des extensions de la théorie des contrats, permettant notamment de considérer une multitude de joueurs dans des modèles principal-agent, avec contrôle du drift et de la volatilité, en présence d'aléa moral. En particulier, le chapitre 2 présente un problème d'incitations optimales en temps continu au sein d'une hiérarchie, inspiré du modèle à une période de Sung (2015) et éclairant à deux égards : d'une part, il présente un cadre où le contrôle de la volatilité intervient de manière parfaitement naturelle, et, d'autre part, il souligne l'importance de considérer des modèles en temps continu. En ce sens, cet exemple motive l'étude complète et générale des modèles hiérarchiques effectuée dans le troisième chapitre, qui va de pair avec la théorie récente des équations différentielles stochastiques du second ordre (2EDSR). Enfin, dans le chapitre 4, nous proposons une extension du modèle principal-agent développé par Aïd, Possamaï et Touzi (2019) à un continuum d'agents, dont les performances sont en particulier impactées par un aléa commun. Ces études nous guident notamment vers une généralisation des contrats dits révélateurs, proposés initialement par Cvitanić, Possamaï et Touzi (2018) dans un modèle à un seul agent.Dans la deuxième partie, nous présentons deux applications des problèmes principal-agent au domaine de l'énergie. La première, développée dans le chapitre 5, utilise le formalisme et les résultats théoriques introduits dans le chapitre précédent pour améliorer les programmes de réponse à la demande en électricité, déjà considérés par Aïd, Possamaï et Touzi (2019). En effet, en prenant en compte l'infinité de consommateurs que doit fournir en électricité un producteur, il est possible d'utiliser cette information supplémentaire pour construire les incitations optimales, afin notamment de mieux gérer le risque résiduel impliqué par les aléas climatiques. Dans un second temps, le chapitre 6 propose, à travers un modèle principal-agent avec sélection adverse, une assurance susceptible de prévenir certaines formes de précarité, en particulier la précarité énergétique.Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude dans la dernière partie d'un second domaine d'application, celui de l'épidémiologie, et plus précisément le contrôle de la diffusion d'une maladie contagieuse au sein d'une population. Nous considérons en premier lieu dans le chapitre 7 le point de vue des individus, à travers un jeu à champs moyen : chaque individu peut choisir son taux d'interaction avec les autres, en conciliant d'un côté son besoin d'interactions sociales et de l'autre sa peur d'être à son tour contaminé, et de contribuer à la diffusion plus large de la maladie. Nous prouvons l'existence d'un équilibre de Nash entre les individus, et l'exhibons numériquement. Dans le dernier chapitre, nous prenons le point de vue du gouvernement, souhaitant inciter la population, représentée maintenant dans son ensemble, à diminuer ses interactions de manière à contenir l'épidémie. Nous montrons que la mise en place de sanctions en cas de non-respect du confinement peut s'avérer efficace, mais que, pour une maîtrise totale de l'épidémie, il est nécessaire de développer une politique de dépistage consciencieuse, accompagnée d'un isolement scrupuleux des individus testés positifs.

Nous considérons le contrôle de la pandémie COVID-19, modélisée par un modèle départemental SIR standard. Le contrôle de l'épidémie est induit par l'agrégation des décisions des individus de limiter leurs interactions sociales : d'un côté, lorsque l'épidémie est en cours, un individu est encouragé à diminuer son taux de contact afin d'éviter d'être infecté, mais, de l'autre côté, cet effort a un coût social. Si chaque individu diminue son taux de contact, l'épidémie disparaît plus rapidement mais le coût de l'effort peut être élevé. Il se forme un équilibre de Nash de type champ moyen au niveau de la population, qui se traduit par un taux de transmission effectif du virus plus faible. Cependant, il n'est pas évident que l'intérêt de l'individu s'aligne sur celui de la société. Nous prouvons que l'équilibre existe et le calculons numériquement. L'équilibre sélectionne une solution sous-optimale par rapport à l'optimum sociétal (une décision centralisée entièrement respectée par tous les individus), ce qui signifie que le coût de l'anarchie est strictement positif. Nous fournissons des exemples numériques et une analyse de sensibilité. Nous montrons que la divergence entre les stratégies individuelles et sociétales se produit après le pic épidémique mais alors que la propagation est encore importante.

L’usage des grandeurs statistiques pour éclairer la décision en situation de risque, apparu au 18ème siècle puis disqualifié au 19ème siècle, a été réintroduit au milieu du 20ème siècle et s’est depuis progressivement imposé dans l’industrie financière, percolant dans l’assurance jusqu’à s’y généraliser via Solvabilité 2. Pourtant, de nombreux dysfonctionnements liés à la mobilisation de ces outils pour la gestion et la régulation des risques ont été mis en lumière par la littérature économique, actuarielle, et en sciences de gestion. Par conséquent, cette extension du champ d’application de tels outils à la régulation des assurances interpelle. Cette thèse (i) étend empiriquement au secteur de l’assurance la littérature produite dans d’autres secteurs afin d’y identifier les limites de l’utilisation des statistiques pour la gestion des risques et la régulation prudentielle, (ii) propose un cadre théorique unifié pour les dysfonctionnements liés à ces usages, et (ii) éclaire les ressorts de l’adoption de ces outils au sein du secteur de l’assurance.

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Nous considérons ici un modèle $SIR$ étendu, incluant plusieurs caractéristiques de la récente épidémie COVID-19 : en particulier, les individus infectés et guéris peuvent être soit détectés (+) soit non détectés (-) et nous intégrons également une capacité d'unité de soins intensifs (USI). Notre modèle permet une analyse quantitative réalisable de la politique optimale pour le contrôle de la dynamique épidémique en utilisant les leviers d'intervention de verrouillage et de détection. Grâce à une spécification paramétrique basée sur la littérature relative à COVID-19, nous étudions la sensibilité de diverses quantités sur les stratégies optimales, en tenant compte du compromis subtil entre le coût sanitaire et socio-économique de la pandémie, ainsi que du niveau de capacité limité de l'USI. Nous identifions la politique optimale de confinement comme une intervention structurée en 4 phases successives : Premièrement, une intervention de confinement rapide et forte pour arrêter la croissance exponentielle de la contagion. Deuxièmement, une courte phase de transition pour réduire la prévalence du virus. Troisièmement, une longue période avec une capacité maximale des USI et une prévalence stable du virus. Enfin, un retour à des interactions sociales normales avec la disparition du virus. Le scénario optimal permet d'éviter la deuxième vague d'infection, à condition que le verrouillage soit libéré suffisamment lentement. Nous fournissons également des mesures d'intervention optimales avec une capacité croissante des unités de soins intensifs, ainsi qu'une optimisation de l'effort de détection des individus infectieux et immunisés. Lorsque des ressources massives sont introduites pour détecter les individus infectés, la pression sur la distanciation sociale peut être relâchée, tandis que l'impact de la détection des individus immunisés s'avère plus modéré.

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Dans cet article, nous approfondissons l'analyse de l'algorithme d'apprentissage du jeu fictif en temps continu afin de prendre en compte différents paramètres du jeu de champ moyen à états finis (horizon fini, $\gamma$-discounted), permettant en particulier l'introduction d'un bruit commun supplémentaire. Nous présentons d'abord une analyse théorique de convergence du processus de jeu fictif en temps continu et prouvons que l'exploitabilité induite diminue à un taux de $O(\frac{1}{t})$. Cette analyse souligne l'utilisation de l'exploitabilité comme une métrique pertinente pour évaluer la convergence vers un équilibre de Nash dans le contexte des jeux à champ moyen. Ces contributions théoriques sont soutenues par des expériences numériques fournies dans des contextes basés ou non sur des modèles. Nous fournissons ici pour la première fois une dynamique d'apprentissage convergente pour les jeux de champ moyen en présence d'un bruit commun.

Nous considérons le contrôle de la pandémie COVID-19, modélisée par un modèle départemental SIR standard. Le contrôle de l'épidémie est induit par l'agrégation des décisions des individus de limiter leurs interactions sociales : d'un côté, lorsque l'épidémie est en cours, un individu est encouragé à diminuer son taux de contact afin d'éviter d'être infecté, mais, de l'autre côté, cet effort a un coût social. Si chaque individu diminue son taux de contact, l'épidémie disparaît plus rapidement mais le coût de l'effort peut être élevé. Il se forme un équilibre de Nash de type champ moyen au niveau de la population, qui se traduit par un taux de transmission effectif du virus plus faible. Cependant, il n'est pas évident que l'intérêt de l'individu s'aligne sur celui de la société. Nous prouvons que l'équilibre existe et le calculons numériquement. L'équilibre sélectionne une solution sous-optimale par rapport à l'optimum sociétal (une décision centralisée entièrement respectée par tous les individus), ce qui signifie que le coût de l'anarchie est strictement positif. Nous fournissons des exemples numériques et une analyse de sensibilité. Nous montrons que la divergence entre les stratégies individuelles et sociétales se produit après le pic épidémique mais alors que la propagation est encore importante.

Nous considérons ici un modèle SIR étendu, incluant plusieurs caractéristiques de la récente épidémie COVID-19 : en particulier, les individus infectés et guéris peuvent être soit détectés (+) soit non détectés (-) et nous intégrons également une capacité de soins intensifs. Notre modèle permet une analyse quantitative réalisable de la politique optimale pour le contrôle de la dynamique épidémique en utilisant les leviers d'intervention de verrouillage et de détection. Grâce à une spécification paramétrique basée sur la littérature relative à COVID-19, nous étudions la sensibilité de diverses quantités aux stratégies optimales, en tenant compte du compromis subtil entre le coût sanitaire et le coût économique de la pandémie, ainsi que du niveau de capacité limité de l'unité de soins intensifs. Nous identifions la politique optimale de confinement comme une intervention structurée en 4 phases successives : Premièrement, une intervention de verrouillage rapide et forte pour arrêter la croissance exponentielle de la contagion. Deuxièmement, une courte phase de transition pour réduire la prévalence du virus. Troisièmement, une longue période avec une capacité maximale des USI et une prévalence stable du virus. Enfin, un retour à des interactions sociales normales avec la disparition du virus. Nous fournissons également des mesures d'intervention optimales avec une capacité croissante des USI, ainsi qu'une optimisation de l'effort de détection des individus infectieux et immunisés.

La thèse porte sur les schémas numériques pour les problèmes de décisions Markoviennes (MDPs), les équations aux dérivées partielles (EDPs), les équations différentielles stochastiques rétrogrades (ED- SRs), ainsi que les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSRs réfléchies). La thèse se divise en trois parties.La première partie porte sur des méthodes numériques pour résoudre les MDPs, à base de quan- tification et de régression locale ou globale. Un problème de market-making est proposé: il est résolu théoriquement en le réécrivant comme un MDP. et numériquement en utilisant le nouvel algorithme. Dans un second temps, une méthode de Markovian embedding est proposée pour réduire des prob- lèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle à des MDPs. Cette méthode est mise en œuvre sur trois différents problèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle, qui sont par la suite numériquement résolus en utilisant des méthodes numériques à base de régression et de quantification.Dans la seconde partie, on propose de nouveaux algorithmes pour résoudre les MDPs en grande dimension. Ces derniers reposent sur les réseaux de neurones, qui ont prouvé en pratique être les meilleurs pour apprendre des fonctions en grande dimension. La consistance des algorithmes proposés est prouvée, et ces derniers sont testés sur de nombreux problèmes de contrôle stochastique, ce qui permet d’illustrer leurs performances.Dans la troisième partie, on s’intéresse à des méthodes basées sur les réseaux de neurones pour résoudre les EDPs, EDSRs et EDSRs réfléchies. La convergence des algorithmes proposés est prouvée. et ces derniers sont comparés à d’autres algorithmes récents de la littérature sur quelques exemples, ce qui permet d’illustrer leurs très bonnes performances.

Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Enfin, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades liées à de nouveaux problèmes de switching, avec incertitude sur les coûts.

Dans cet article, nous étudions un problème d'aléa moral en temps fini avec des paiements forfaitaires et continus, impliquant un nombre infini d'agents avec des interactions de type champ moyen, engagés par un principal. En réinterprétant le jeu de champ moyen auquel chaque agent est confronté en termes d'équation différentielle stochastique avant-arrière de champ moyen (FBSDE en abrégé), nous sommes en mesure de réécrire le problème du principal comme un problème de contrôle des SDE de McKean-Vlasov. Nous passons en revue deux approches générales pour le résoudre : la première introduite récemment dans [2, 66, 67, 68, 69] en utilisant la programmation dynamique et les équations de Hamilton-Jacobi- Bellman (HJB en abrégé), la seconde basée sur le principe du maximum stochastique de Pontryagin, qui suit [16]. Nous résolvons complètement et explicitement le problème dans des cas particuliers, en dépassant le cadre linéaire-quadratique habituel. Nous montrons finalement dans nos exemples que le contrat optimal dans le modèle à N joueurs converge vers le contrat optimal du champ moyen lorsque le nombre d'agents passe à +∞, illustrant ainsi dans notre cadre spécifique les résultats généraux de [12].

En été 2013, le terme de "Big Data" fait son apparition et suscite un fort intérêt auprès des entreprises. Cette thèse étudie ainsi l'apport de ces méthodes aux sciences actuarielles. Elle aborde aussi bien les enjeux théoriques que pratiques sur des thématiques à fort potentiel comme l'textit{Optical Character Recognition} (OCR), l'analyse de texte, l'anonymisation des données ou encore l'interprétabilité des modèles. Commençant par l'application des méthodes du machine learning dans le calcul du capital économique, nous tentons ensuite de mieux illustrer la frontrière qui peut exister entre l'apprentissage automatique et la statistique. Mettant ainsi en avant certains avantages et différentes techniques, nous étudions alors l'application des réseaux de neurones profonds dans l'analyse optique de documents et de texte, une fois extrait. L'utilisation de méthodes complexes et la mise en application du Réglement Général sur la Protection des Données (RGPD) en 2018 nous a amené à étudier les potentiels impacts sur les modèles tarifaires. En appliquant ainsi des méthodes d'anonymisation sur des modèles de calcul de prime pure en assurance non-vie, nous avons exploré différentes approches de généralisation basées sur l'apprentissage non-supervisé. Enfin, la réglementation imposant également des critères en terme d'explication des modèles, nous concluons par une étude générale des méthodes qui permettent aujourd'hui de mieux comprendre les méthodes complexes telles que les réseaux de neurones.

Nous entamons ce rapport de thèse par l’évaluation de l’espérance espérée qui représente une des composantes majeures des ajustements XVA. Sous l’hypothèse d’indépendance entre l’exposition et les coûts de financement et de crédit, nous dérivons dans le chapitre 3 une représentation nouvelle de l’exposition espérée comme la solution d’une équation différentielle ordinaire par rapport au temps d’observation du défaut. Nous nous basons, pour le cas unidimensionnel, sur des arguments similaires à ceux de la volatilité locale de Dupire. Et pour le cas multidimensionnel, nous nous référons à la formule de la Co-aire. Cette représentation permet d’expliciter l’impact de la volatilité sur l’exposition espérée : Cette valeur temps fait intervenir la volatilité des sous-jacents ainsi que la sensibilité au premier ordre du prix, évalués sur un ensemble fini de points. Malgré des limitations numériques, cette méthode est une approche précise et rapide pour la valorisation de la XVA unitaire en dimension 1 et 2.Les chapitres suivants sont dédiés aux aspects du risque de corrélations entre les enveloppes d’expositions et les coûts XVA. Nous présentons une modélisation du risque général de corrélation à travers une diffusion stochastique multivariée, comprenant à la fois les sous-jacents des dérivés et les intensités de défaut. Dans ce cadre, nous exposons une nouvelle approche de valorisation par développements asymptotiques, telle que le prix d’un ajustement XVA correspond au prix de l’ajustement à corrélation nulle, auquel s’ajoute une somme explicite de termes correctifs. Le chapitre 4 est consacré à la dérivation technique et à l’étude de l’erreur numérique dans le cadre de la valorisation de dérivés contingents au défaut. La qualité des approximations numériques dépend uniquement de la régularité du processus de diffusion de l’intensité de crédit, et elle est indépendante de la régularité de la fonction payoff. Les formules de valorisation pour CVA et FVA sont présentées dans le chapitre 5. Une généralisation des développements asymptotiques pour le cadre bilatéral de défaut est adressée dans le chapitre 6.Nous terminons ce mémoire en abordant un cas du risque spécifique de corrélation lié aux contrats de migration de rating. Au-delà des formules de valorisation, notre contribution consiste à présenter une approche robuste pour la construction et la calibration d’un modèle de transition de ratings consistant avec les probabilités de défaut implicites de marché.

Ce manuscrit a pour objectif de présenter plusieurs résultats de restauration d’unicité et de sélection d’équilibres dans les jeux à champ moyen. La théorie des jeux à champ moyen a été initiée dans les années 2000 par deux groupes de chercheurs, Lasry et Lions en France, et Huang, Caines et Malhamé au Canada. L’objectif de cette théorie est de décrire les équilibres de Nash dans des jeux différentiels stochastiques incluant un grand nombre de joueurs interagissant les uns avec les autres à travers leur mesure empirique commune et présentant suffisamment de symétrie. Si l’existence d’équilibres dans les jeux à champ moyen est maintenant bien comprise, l’unicité reste connue dans un nombre très limité de cas. A cet égard, la condition la plus connue est celle dite de monotonie, due à Lasry et Lions. Dans cette thèse, nous démontrons, que pour une certaine classe de jeux à champ moyen, l’unicité peut être rétablie à l’aide d’un forçage aléatoire des dynamiques, communs à tous les joueurs. Un tel forçage est appelé “bruit commun”. Nous montrons également que, dans certains cas, il est possible de sélectionner des équilibres en l’absence de bruit commun en faisant tendre le bruit commun vers zéro. Enfin, nous montrons comment ces résultats s’appliquent à des problèmes de type “principal-agents”, avec un grand nombre d’agents en interaction.

Dans cet article, nous étudions un nouveau type de BSDE, où la distribution de la composante Y de la solution doit satisfaire une contrainte supplémentaire, écrite en termes d'espérance d'une fonction de perte. Cette contrainte est imposée à tout moment déterministe t et est typiquement plus faible que la contrainte ponctuelle classique associée aux BSDE réfléchies. En nous concentrant sur les solutions (Y, Z, K) avec K déterministe, nous obtenons le caractère bien posé d'une telle équation, en présence d'une condition naturelle de type Skorokhod. Une telle condition assure en effet la minimalité de la solution améliorée, sous une condition structurelle supplémentaire sur le pilote. Nos résultats s'étendent au cadre plus général où la contrainte est écrite en termes d'une mesure de risque statique sur Y. En particulier, nous fournissons une application à la super couverture des réclamations sous contrainte de gestion du risque courant.

L'Intelligence Artificielle est présente dans tous les aspects de notre vie à l'ère du Big Data. Elle a entraîné des changements révolutionnaires dans divers secteurs, dont le commerce électronique et la finance. Dans cette thèse, nous présentons quatre applications de l'IA qui améliorent les biens et services existants, permettent l'automatisation et augmentent considérablement l'efficacité de nombreuses tâches dans les deux domaines. Tout d'abord, nous améliorons le service de recherche de produits offert par la plupart des sites de commerce électronique en utilisant un nouveau système de pondération des termes pour mieux évaluer l'importance des termes dans une requête de recherche. Ensuite, nous construisons un modèle prédictif sur les ventes quotidiennes en utilisant une approche de prévision des séries temporelles et tirons parti des résultats prévus pour classer les résultats de recherche de produits afin de maximiser les revenus d'une entreprise. Ensuite, nous proposons la difficulté de la classification des produits en ligne et analysons les solutions gagnantes, consistant en des algorithmes de classification à la pointe de la technologie, sur notre ensemble de données réelles. Enfin, nous combinons les compétences acquises précédemment à partir de la prédiction et de la classification des ventes basées sur les séries temporelles pour prédire l'une des séries temporelles les plus difficiles mais aussi les plus attrayantes : le stock. Nous effectuons une étude approfondie sur chaque titre de l'indice S&P 500 en utilisant quatre algorithmes de classification à la pointe de la technologie et nous publions des résultats très prometteurs.

Cette thèse se compose de trois chapitres qui portent sur des problématiques de contrôle impulsionnel. Dans le premier chapitre, nous introduisons un cadre général de contrôle impulsionnel avec incertitude. Sachant une loi a priori sur des paramètres inconnus, nous expliquons comment celle-ci doit évoluer et l'intégrons au problème de contrôle optimal. Nous caractérisons la solution à travers une équation parabolique quasivariationnelle qui se résout numériquement puis donnons des exemples d'application à la finance. Dans le deuxième chapitre, nous introduisons un problème de contrôle impulsionnel avec incertitude dans un cadre actuariel. Un (ré)assureur fait face à des catastrophes naturelles et peut émettre des CAT bonds afin de réduire le risque pris. Nous caractérisons à nouveau le problème de contrôle optimal à travers une équation parabolique quasi-variationnelle qui se résout numériquement et donnons des exemples d'application. Dans le dernier chapitre, nous proposons une modélisation du prix à travers un carnet d'ordre complètement endogène. Nous résolvons des problèmes de contrôle optimal impulsionnel (placement d'ordre) d'agents économiques rationnels que nous rassemblons sur un même marché.

Cette thèse se décompose en trois grandes parties, qui traitent des EDP quasi linéaires paraboliques sur une jonction, des diffusions stochastiques sur une jonction, et du contrôle optimal également sur une jonction, avec contrôle au point de jonction. Nous commençons au premier Chapitre par introduire une nouvelle classe d'EDP non dégénérée et quasi linéaire, satisfaisant une condition de Neumann (ou de Kirchoff) non linéaire et non dynamique au point de jonction. Nous prouvons l'existence d'une solution classique, ainsi que son unicité. L'une des motivations portant sur l'étude de ce type d'EDP, est de faire le lien avec la théorie du contrôle optimale sur les jonctions, et de caractériser la fonction valeur de ce type de problème à l'aide des équations d'Hamilton Jacobi Bellman. Ainsi, au Chapitre suivant, nous formulons une preuve donnant l'existence d'une diffusion sur une jonction. Ce processus admet un temps local, dont l'existence et la variation quadratique dépendent essentiellement de l'hypothèse d'ellipticité des termes du second ordre au point de jonction. Nous formulerons une formule d'Itô pour ce processus. Ainsi, grâce aux résultats de ces deux Chapitres, nous formulerons dont le dernier Chapitre un problème de contrôle stochastique sur les jonctions, avec contrôle au point de jonction. L'espace des contrôles est celui des mesures de Probabilités résolvant un problème martingale. Nous prouvons la compacité de l'espace des contrôles admissibles, ainsi que le principe de la programmation dynamique.

Dans cet article, nous étudions l'impact de la stratégie de déclaration des sinistres des conducteurs, dans le cadre d'un système de bonus malus. Nous montrons la modification induite de la matrice de transition de niveau de classe correspondante et nous déduisons la stratégie de déclaration optimale pour les conducteurs rationnels. L'appétit pour les bonus induit des seuils optimaux en dessous desquels les conducteurs ne déclarent pas leurs pertes. Un algorithme numérique est fourni pour calculer ces seuils et des applications numériques réalistes sont discutées.

Cet article étudie une classe de problèmes de contrôle stochastique singuliers non-markoviens, pour lesquels nous fournissons une nouvelle représentation probabiliste. Il est prouvé que la solution d'un tel problème de contrôle s'identifie à la solution d'un BSDE sous contrainte Z, avec une dynamique associée à un processus sous-jacent non singulier. En raison de l'environnement non-markovien, notre argumentation principale repose sur l'utilisation d'arguments de comparaison pour les EDPs dépendantes du chemin. Notre représentation permet en particulier de quantifier la régularité de la solution du problème de contrôle stochastique singulier en termes de données initiales spatiales et temporelles. Notre cadre s'étend également à la prise en compte des diffusions dégénérées, conduisant à la représentation de la solution comme l'infimum de solutions à des EDPS sous contrainte Z. Comme application, nous étudions le problème de maximisation de l'utilité avec des coûts de transaction pour une dynamique non-markovienne.

Dans cet article, nous étudions l'impact de la stratégie de déclaration des sinistres des conducteurs, dans le cadre d'un système de bonus malus. Nous montrons la modification induite de la matrice de transition de niveau de classe correspondante et nous déduisons la stratégie de déclaration optimale pour les conducteurs rationnels. L'appétit pour les bonus induit des seuils optimaux en dessous desquels les conducteurs ne déclarent pas leurs pertes. Un algorithme numérique est fourni pour calculer ces seuils et des applications numériques réalistes sont discutées.

Dans cet article, nous étudions un problème d'aléa moral en temps fini avec des paiements forfaitaires et continus, impliquant un nombre infini d'agents avec des interactions de type champ moyen, engagés par un principal. En réinterprétant le jeu de champ moyen auquel chaque agent est confronté en termes d'équation différentielle stochastique avant-arrière de champ moyen (FBSDE en abrégé), nous sommes en mesure de réécrire le problème du principal comme un problème de contrôle des SDE de McKean-Vlasov. Nous passons en revue deux approches générales pour le résoudre : la première introduite récemment dans [2, 66, 67, 68, 69] en utilisant la programmation dynamique et les équations de Hamilton-Jacobi- Bellman (HJB en abrégé), la seconde basée sur le principe du maximum stochastique de Pontryagin, qui suit [16]. Nous résolvons complètement et explicitement le problème dans des cas particuliers, en dépassant le cadre linéaire-quadratique habituel. Nous montrons finalement dans nos exemples que le contrat optimal dans le modèle à N joueurs converge vers le contrat optimal du champ moyen lorsque le nombre d'agents passe à +∞, illustrant ainsi dans notre cadre spécifique les résultats généraux de [12].

Dans cet article, nous étudions l'impact de la stratégie de déclaration des sinistres des conducteurs, dans le cadre d'un système de bonus malus. Nous montrons la modification induite de la matrice de transition de niveau de classe correspondante et nous déduisons la stratégie de déclaration optimale pour les conducteurs rationnels. L'appétit pour les bonus induit des seuils optimaux en dessous desquels les conducteurs ne déclarent pas leurs pertes. Un algorithme numérique est fourni pour calculer ces seuils et des applications numériques réalistes sont discutées.

Dans un cadre proche de celui développé par Holmström et Milgrom [44], nous étudions le schéma contractuel optimal entre un Principal et plusieurs Agents. Chaque agent engagé est en charge d'un projet, et peut faire des efforts pour gérer son propre projet, ainsi qu'impacter (positivement ou négativement) les projets des autres agents. En considérant des agents économiques en compétition avec des préoccupations de performance relative, nous dérivons les contrats optimaux à la fois dans le cadre du first best et du risque moral. La méthodologie de résolution améliorée s'appuie fortement sur la connexion entre les équilibres de Nash et les BSDE quadratiques multidimensionnels. Les contrats optimaux sont linéaires et chaque agent reçoit une proportion fixe de la valeur finale de tous les projets de l'entreprise. En outre, chaque agent reçoit son utilité de réservation, et ceux qui ont une forte appétence pour la compétition se voient attribuer des projets moins volatils, et peuvent même recevoir de l'aide des autres agents. Du point de vue du principal, il est dans l'intérêt de l'entreprise dans notre modèle de diversifier fortement l'appétence concurrentielle des agents.

Cet article est consacré à la réplication d'une créance contingente convexe h(S 1) dans un marché financier avec des frictions, dues à des carnets d'ordres déterministes ou à des contraintes réglementaires. Les coûts de transaction correspondants peuvent être réécrits comme une fonction non linéaire G du volume d'actifs échangés, avec G′(0)>0. Pour une action avec une dynamique de prix intermédiaire de Black-Scholes, nous exposons un portefeuille de réplication asymptotiquement convergent, défini sur une grille temporelle régulière avec n dates de transaction. Jusqu'à une régularisation h n bien choisie de la fonction de gain, nous introduisons d'abord le portefeuille répliqué sans friction de hn(Sn1), où S n est une action fictive avec une dynamique de volatilité locale élargie. Sur le marché avec frictions, une modification appropriée de cette stratégie de portefeuille fournit une richesse terminale qui converge en L2 vers la créance h(S 1) lorsque n va vers l'infini. En termes de formes du carnet d'ordres, la stratégie de réplication exposée ne dépend que de la taille 2G′(0) du spread bid-ask. La principale innovation du papier est l'introduction d'une stratégie de type "Leland" pour des coûts de transaction non-vanents (non linéaires) sur le volume d'actions échangées, au lieu du montant d'argent échangé communément considéré. Ceci induit beaucoup de technicités, que nous surmontons en utilisant une approche innovante basée sur la représentation des Grecs par le calcul de Malliavin.

Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques à rebours dans laquelle la valeur terminale $Y_{T}$ de la solution $(Y,Z)$ n'est pas fixée comme une variable aléatoire, mais satisfait seulement une contrainte faible de la forme $E[\Psi(Y_{T})]\ge m$, pour une certaine carte non décroissante (éventuellement aléatoire) $\Psi$ et un certain seuil $m$. Nous les nommons \textit{BSDEs avec condition terminale faible} et obtenons une représentation des valeurs minimales du temps $t$ $Y_{t}$ telles que $(Y,Z)$ est une supersolution de la BSDE avec condition terminale faible. Elle fournit une formulation BSDE non-markovienne de la caractérisation PDE obtenue pour les problèmes de cibles stochastiques markoviennes sous perte contrôlée dans Bouchard, Elie et Touzi \cite{BoElTo09}. Nous étudions ensuite les principales propriétés de cette valeur minimale. En particulier, nous analysons sa continuité et sa convexité par rapport au paramètre $m$ apparaissant dans la condition terminale faible, et montrons comment elle peut être reliée à un problème dual de contrôle optimal sous forme de Meyer. Ces dernières propriétés généralisent à un cadre non markovien des résultats précédents sur la couverture quantile et la couverture sous contraintes de pertes obtenus dans F\"{o}llmer et Leukert \cite{FoLe99,FoLe00}, et dans Bouchard, Elie et Touzi \cite{BoElTo09}.

Cet article traite de la superréplication des créances européennes non dépendantes du chemin sous des contraintes convexes supplémentaires sur le nombre d'actions détenues dans le portefeuille. Le prix de superréplication correspondant d'une créance donnée a été largement étudié dans la littérature, et sa valeur terminale, qui domine la créance d'intérêt, est ce qu'on appelle la transformation de facelift de la créance. Nous étudions sous quelles conditions le prix et la stratégie de superréplication d'une grande classe de revendications coïncident avec le prix et la stratégie de réplication exacts de la transformation de facelift de cette revendication. Dans une dimension, nous observons que cette propriété est satisfaite pour tout modèle de volatilité locale. Dans une dimension quelconque, nous exposons une condition analytique nécessaire et suffisante pour cette propriété, qui combine la dynamique de l'action avec les caractéristiques de l'ensemble convexe fermé de contraintes. Pour obtenir cette condition, nous introduisons la notion de propriété de viabilité au premier ordre pour les EDP paraboliques linéaires. Nous étudions en détail plusieurs cas pratiques d'intérêt : modèle multidimensionnel de Black et Scholes, actifs non négociables et restrictions de vente à découvert.

Nous considérons la super-solution minimale d'une équation différentielle stochastique inverse avec une contrainte sur le processus des gains. La condition terminale est donnée par une fonction de la valeur terminale d'une équation différentielle stochastique en avant. Sous des hypothèses de bornage sur les coefficients, nous montrons que la première composante de la solution est Lipschitz en espace et 1/2-Hölder en temps par rapport aux données initiales du processus avant. Son chemin est continu avant l'horizon temporel auquel sa limite gauche est donnée par une version liftée de sa condition limite naturelle. Cette première composante est en fait égale à son propre lifting. Nous n'utilisons que des arguments probabilistes. En particulier, nos résultats peuvent être étendus à certains contextes non-markoviens.

Pas de résumé disponible.

Cette thèse traite de deux domaines d’analyse stochastique et de mathématiques financières: le calcul Malliavin pour chaînes de Markov (Partie I) et le risque de contrepartie (Partie II). La partie I a pour objectif l’étude du calcul Malliavin pour chaînes de Markov en temps continu. Il y est présenté deux points : démontrer l’existence de la densité pour les solutions d’une équation différentielle stochastique et calculer les sensibilités des produits dérivés. La partie II traite de sujets d’actualité dans le domaine du risque de marché, à savoir les XVA (ajustements de prix) et la modélisation multi-courbe.

Cet article fournit deux représentations BSDE fortes différentes pour les problèmes de commutation optimale dans le cas où la dynamique du processus de diffusion sous-jacent dépend de la valeur actuelle du mode de commutation. Ces nouvelles représentations sont valables dans un cadre non-markovien et utilisent soit des BSDE contraints unidimensionnels avec sauts, soit des BSDE multidimensionnels avec réflexions obliques, étendant ainsi le cadre considéré par Hu et Tang [12]. En particulier, la résolution numérique du problème de commutation correspondant peut donc être traitée via les schémas entièrement probabilistes présentés dans [4] ou [8].

Soit B un mouvement brownien et T1 son temps de première atteinte du niveau 1. Pour U une variable aléatoire uniforme indépendante de B, nous étudions en profondeur la distribution de B UT1/√T1, c'est-à-dire le mouvement brownien rééchelonné échantillonné à temps uniforme. En particulier, nous montrons que cette variable est centrée.

Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques à rebours dans laquelle la valeur terminale $Y_{T}$ de la solution $(Y,Z)$ n'est pas fixée comme une variable aléatoire, mais satisfait seulement une contrainte faible de la forme $E[\Psi(Y_{T})]\ge m$, pour une certaine carte non décroissante (éventuellement aléatoire) $\Psi$ et un certain seuil $m$. Nous les nommons \textit{BSDEs avec condition terminale faible} et obtenons une représentation des valeurs minimales du temps $t$ $Y_{t}$ telles que $(Y,Z)$ est une supersolution de la BSDE avec condition terminale faible. Elle fournit une formulation BSDE non-markovienne de la caractérisation PDE obtenue pour les problèmes de cibles stochastiques markoviennes sous perte contrôlée dans Bouchard, Elie et Touzi \cite{BoElTo09}. Nous étudions ensuite les principales propriétés de cette valeur minimale. En particulier, nous analysons sa continuité et sa convexité par rapport au paramètre $m$ apparaissant dans la condition terminale faible, et montrons comment elle peut être reliée à un problème dual de contrôle optimal sous forme de Meyer. Ces dernières propriétés généralisent à un cadre non markovien des résultats précédents sur la couverture quantile et la couverture sous contraintes de pertes obtenus dans F\"{o}llmer et Leukert \cite{FoLe99,FoLe00}, et dans Bouchard, Elie et Touzi \cite{BoElTo09}.

Cet article est consacré à l'analyse des équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) avec sauts, soumises à une contrainte globale supplémentaire impliquant toutes les composantes de la solution. Nous étudions l'existence et l'unicité d'une solution minimale pour ces BSDEs contraints avec sauts via une procédure de pénalisation. Ce nouveau type de BSDE offre un cadre unificateur agréable et pratique aux notions de BSDE contraints présentées dans [22] et de BSDE avec sauts contraints introduites dans [17]. Plus remarquablement, la solution d'une BSDE multidimensionnelle à réflexion brownienne étudiée dans [16] et [14] peut aussi être représentée par une BSDE unidimensionnelle bien choisie avec sauts contraints. Ce dernier résultat est très prometteur d'un point de vue numérique pour la résolution de problèmes de commutation optimale de haute dimension et plus généralement pour les systèmes d'inégalités variationnelles couplées.

Le développement des marchés électroniques organisés induit une pression constante sur la recherche académique en finance. L'impact sur le prix d'une transaction boursière portant sur une grande quantité d'actions sur une période courte est un sujet central. Contrôler et surveiller l'impact sur le prix est d'un grand intérêt pour les praticiens, sa modélisation est ainsi devenue un point central de la recherche quantitative de la finance. Historiquement, le calcul stochastique s'est progressivement imposé en finance, sous l'hypothèse implicite que les prix des actifs satisfont à des dynamiques diffusives. Mais ces hypothèses ne tiennent pas au niveau de la ``formation des prix'', c'est-à-dire lorsque l'on se place dans les échelles fines des participants de marché. Des nouvelles techniques mathématiques issues de la statistique des processus ponctuels s'imposent donc progressivement. Les observables (prix traité, prix milieu) apparaissent comme des événements se réalisant sur un réseau discret, le carnet d'ordre, et ceci à des échelles de temps très courtes (quelques dizaines de millisecondes). L'approche des prix vus comme des diffusions browniennes satisfaisant à des conditions d'équilibre devient plutôt une description macroscopique de phénomènes complexes issus de la formation des prix. Dans un premier chapitre, nous passons en revue les propriétés des marchés électroniques. Nous rappelons la limite des modèles diffusifs et introduisons les processus de Hawkes. En particulier, nous faisons un compte rendu de la recherche concernant le maket impact et nous présentons les avancées de cette thèse. Dans une seconde partie, nous introduisons un nouveau modèle d'impact à temps continu et espace discret en utilisant les processus de Hawkes. Nous montrons que ce modèle tient compte de la microstructure des marchés et est capable de reproduire des résultats empiriques récents comme la concavité de l'impact temporaire. Dans le troisième chapitre, nous étudions l'impact d'un grand volume d'action sur le processus de formation des prix à l'échelle journalière et à une plus grande échelle (plusieurs jours après l'exécution). Par ailleurs, nous utilisons notre modèle pour mettre en avant des nouveaux faits stylisés découverts dans notre base de données. Dans une quatrième partie, nous nous intéressons à une méthode non-paramétrique d'estimation pour un processus de Hawkes unidimensionnel. Cette méthode repose sur le lien entre la fonction d'auto-covariance et le noyau du processus de Hawkes. En particulier, nous étudions les performances de cet estimateur dans le sens de l'erreur quadratique sur les espaces de Sobolev et sur une certaine classe contenant des fonctions « très » lisses.

Pas de résumé disponible.

Soit B un mouvement brownien et T son temps de première frappe du niveau 1. Pour U une variable aléatoire uniforme indépendante de B, nous étudions en profondeur la distribution de T^{-1/2}B_{UT}, c'est-à-dire le mouvement brownien rééchelonné échantillonné à temps uniforme. En particulier, nous montrons que cette variable est centrée.

Cet article fournit une approche simple pour la considération des BSDE quadratiques avec des conditions terminales bornées. En utilisant uniquement des arguments probabilistes, nous retrouvons le résultat d'existence et d'unicité obtenu par des méthodes basées sur les EDP par Kobylanski (2000) [14]. Cette approche est liée à l'étude des BSDE quadratiques présentée par Tevzadze (2008) [19]. Notre argumentation, comme dans Tevzadze (2008) [19], s'appuie fortement sur la théorie des martingales BMO qui a été utilisée pour la première fois pour les BSDE par Hu et al. (2005) [12]. Cependant, nous évitons dans notre méthode tout argument de point fixe et utilisons le calcul de Malliavin pour surmonter cette difficulté. Notre nouveau schéma de preuve permet également d'étendre la classe des BSDE quadratiques, pour lesquels il existe une solution unique : nous incorporons des BSDE quadratiques retardés, dont le pilote dépend du passé récent de la composante Y de la solution. Lorsque le retard disparaît, nous vérifions que la solution d'une BSDE quadratique retardée converge vers la solution de la BSDE quadratique classique non retardée correspondante.

En considérant une diffusion positive du portefeuille $X$ avec une dérive négative, nous étudions les problèmes d'arrêt optimal de la forme $$\underset{\theta }{inf}\text{Esp}f\left(\frac{X_{\theta }}{{\text{Sup}}_{s\in [0,\tau ]}{X}_s}\right)\text{.},$$ où $f$ est une fonction non croissante, $\tau$ est le prochain instant aléatoire où le portefeuille $X$ passe par zéro et $\theta$ est tout instant d'arrêt inférieur à $\tau$. Ainsi, notre motivation est l'obtention d'une stratégie de vente optimale minimisant la distance relative entre la valeur de liquidation du portefeuille et sa plus haute valeur possible avant qu'il n'atteigne zéro. Cet article unifie les règles de vente optimales observées pour les critères de distance absolue quadratique avec celles de type bang-bang. Plus précisément, nous fournissons un résultat de vérification pour le problème d'arrêt général d'intérêt et dérivons la solution exacte pour deux critères classiques $f$ de la littérature. Pour le critère d'utilité de puissance $f:y \mapsto - {y^\la}$ avec $\la>0$, la vente instantanée est toujours optimale, ce qui est cohérent avec les observations de \cite{DaiJinZhoZho10} ou \cite{ShiXuZho08} pour le modèle Black-Scholes en horizon fini. Au contraire, pour un critère d'erreur quadratique relative, $f:y \mapsto {(1-y)^2}$, la vente est optimale dès que le processus $X$ franchit une fonction spécifiée $\varphi$ de son maximum courant $X^*$. Ces résultats renforcent l'idée que des problèmes d'arrêt optimal de type similaire conduisent facilement à des règles de vente de nature très différente. Néanmoins, nos expériences numériques suggèrent que la règle de vente optimale pratique pour le critère d'erreur quadratique relative est en fait très proche de la vente immédiate.

Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l’apparition de produits dérivés divers et variés. Les plus utilisés parmi ces produits dérivés sont les options américaines.

Nous présentons dans la 1ère partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités de prix d'options par perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, simulations Monte Carlo et régression par noyaux. Pour une fonction irrégulière, l’estimateur converge plus vite que les estimateurs à différences finies, ce qui est vérifié numériquement. La 2ème partie propose un algorithme de résolution de systèmes découplés d’EDSPR avec sauts. L’erreur de discrétisation en temps est paramétrique. Et l’erreur statistique est contrôlée . et nous présentons des exemples numérique sur systèmes couplés d'EDP semi-linéaires. La 3ème partie étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous une contrainte drawdown. Nous obtenons sous forme explicite la stratégie optimale en horizon infini, et nous caractérisons la fonction valeur en horizon fini comme unique solution de viscosité de l'équation d'HJB correspondante.

Cette thèse présente trois sujets de recherche indépendants appartenant au domaine des méthodes numériques et du contrôle stochastique avec des applications en mathématiques financières. Nous présentons dans la première partie une méthode non-paramétrique d'estimation des sensibilités des prix d'options. A l'aide d'une perturbation aléatoire du paramètre d'intérêt, nous représentons ces sensibilités sous forme d'espérance conditionnelle, que nous estimons à l'aide de simulations Monte Carlo et de régression par noyaux. Par des arguments d'intégration par parties, nous proposons plusieurs estimateurs à noyaux de ces sensibilités, qui ne nécessitent pas la connaissance de la densité du sous-jacent, et nous obtenons leurs propriétés asymptotiques. Lorsque la fonction payoff est irrégulière, ils convergent plus vite que les estimateurs par différences finies, ce que l'on vérifie numériquement. La deuxième partie s'intéresse à la résolution numérique de systèmes découplés d'équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades. Pour des coefficients Lipschitz, nous proposons un schéma de discrétisation qui converge plus vite que $n^{-1/2+e}$, pour tout $e>0$, lorsque le pas de temps $1/n$ tends vers $0$, et sous des hypothèses plus fortes de régularité, le schéma atteint la vitesse de convergence paramétrique. L'erreur statistique de l'algorithme dûe a l'approximation non-paramétrique d'espérances conditionnelles est également controlée et nous présentons des exemples de résolution numérique de systèmes couplés d'EDP semi-linéaires. Enfin, la dernière partie de cette thèse étudie le comportement d'un gestionnaire de fond, maximisant l'utilité intertemporelle de sa consommation, sous la contrainte que la valeur de son portefeuille ne descende pas en dessous d'une fraction fixée de son maximum courant. Nous considérons une classe générale de fonctions d'utilité, et un marché financier composé d'un actif risqué de dynamique black-Scholes. Lorsque le gestionnaire se fixe un horizon de temps infini, nous obtenons sous forme explicite sa stratégie optimale d'investissement et de consommation, ainsi que la fonction valeur du problème. En horizon fini, nous caractérisons la fonction valeur comme unique solution de viscosité de l'équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante.