BSDEs avec condition terminale faible.

Résumé Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques à rebours dans laquelle la valeur terminale $Y_{T}$ de la solution $(Y,Z)$ n'est pas fixée comme une variable aléatoire, mais satisfait seulement une contrainte faible de la forme $E[\Psi(Y_{T})]\ge m$, pour une certaine carte non décroissante (éventuellement aléatoire) $\Psi$ et un certain seuil $m$. Nous les nommons \textit{BSDEs avec condition terminale faible} et obtenons une représentation des valeurs minimales du temps $t$ $Y_{t}$ telles que $(Y,Z)$ est une supersolution de la BSDE avec condition terminale faible. Elle fournit une formulation BSDE non-markovienne de la caractérisation PDE obtenue pour les problèmes de cibles stochastiques markoviennes sous perte contrôlée dans Bouchard, Elie et Touzi \cite{BoElTo09}. Nous étudions ensuite les principales propriétés de cette valeur minimale. En particulier, nous analysons sa continuité et sa convexité par rapport au paramètre $m$ apparaissant dans la condition terminale faible, et montrons comment elle peut être reliée à un problème dual de contrôle optimal sous forme de Meyer. Ces dernières propriétés généralisent à un cadre non markovien des résultats précédents sur la couverture quantile et la couverture sous contraintes de pertes obtenus dans F\"{o}llmer et Leukert \cite{FoLe99,FoLe00}, et dans Bouchard, Elie et Touzi \cite{BoElTo09}.