Approximations analytiques des EDS non linéaires de type McKean-Vlasov.

Résumé Nous fournissons des approximations analytiques pour la loi des solutions d'une certaine classe d'équations différentielles stochastiques scalaires de McKean-Vlasov (MKV-SDEs) avec une donnée initiale aléatoire. Les résultats de " propagation du chaos " ([Szn91]) relient cette classe d'EDS au comportement limite macroscopique d'une particule, évoluant dans un système de particules à interaction de champ moyen, lorsque le nombre total de particules tend vers l'infini. Ici, nous supposons que l'interaction de champ moyen n'agit que sur la dérive de chaque particule, ce qui donne lieu à une MKV-SDE où le coefficient de dérive dépend de la loi de la solution inconnue. En perturbant l'équation de Kolmogorov directe non linéaire associée à la MKV-SDE, nous effectuons une procédure d'approximation en deux étapes qui découple l'interaction de McKean-Vlasov de la dépendance standard des variables d'état. La première étape produit une expansion pour la distribution marginale à un temps donné, tandis que la seconde produit une expansion pour la densité de transition. Les deux séries d'approximation s'avèrent asymptotiquement convergentes dans la limite des temps courts et du petit bruit, l'ordre de convergence pour la dernière expansion étant plus élevé que pour la première. Les formules d'approximation résultantes sont exprimées sous forme semi-fermée et peuvent donc être considérées comme une alternative viable à la simulation numérique du système à grandes particules, qui peut être très coûteuse en termes de calcul. De plus, ces résultats ouvrent la voie à d'autres extensions de cette approche à des dynamiques plus générales et à des paramètres de haute dimension.