GOBET Emmanuel

Dans le domaine médicale, l'usage de caractéristiques extraites d'images est de plus en plus répandu. Ces mesures peuvent être des nombres réels (volume, score cognitifs), des maillages d'organes ou l'image elle-même. Dans ces deux derniers cas, un espace Euclidien ne peut décrire l'espace de mesures et il est nécessaire de se placer sur une variété Riemanienne. En utilisant ce cadre Riemannien et des modèles à effets mixtes, il est alors possible d'estimer un objet représentatif de la population ainsi que la variabilité inter-individuelle.Dans le cas longitudinal (sujets observés de manière répétée au cours du temps), ces modèles permettent de créer une trajectoire moyenne représentative de l’évolution globale de la population. Dans cette thèse, nous proposons de généraliser ces modèles dans le cas d'un mélange de population. Chaque sous-population peut suivre différentes dynamiques au cours du temps et leur trajectoire représentative peut être la même ou différer d'un intervalle temporel à l'autre. Ce nouveau modèle permet par exemple de modéliser l'apparition d'une maladie comme une déviation par rapport à un vieillissement normal.Nous nous intéressons également à la détection d'anomalies (par exemple de tumeurs) dans une population. En disposant d'un objet représentant une population contrôle, nous définissons une anomalie comme ce qui ne peut être reconstruit par déformation difféomorphique de cet objet représentatif. Notre méthode à l'avantage de ne nécessiter ni grand jeu de donnée, ni annotation par des médecins et peut être facilement appliquée à tout organe.Finalement, nous nous intéressons à différentes propriétés théoriques des algorithmes d'estimation utilisés. Dans le cadre des modèles à effets mixtes non linéaires, l'algorithme MCMC-SAEM est utilisé. Nous discuterons de deux limitations théoriques. Premièrement, nous lèverons l'hypothèse d'ergodicité géométrique en la remplaçant par une hypothèse d'ergodicité sous-géométrique. De plus, nous nous intéresserons à une méthode permettant d'appliquer l'algorithme SAEM quand la distribution jointe n'est pas courbe exponentielle. Nous montrerons que cette méthode introduit un biais dans l'estimation que nous mesurerons. Nous proposerons également un nouvel algorithme permettant de le réduire.

Au cours des dernières années, un nouveau paradigme de modèles génératifs basés sur les réseaux neuronaux a montré des résultats impressionnants pour simuler - avec une grande fidélité - des objets en haute dimension, tout en étant rapide dans la phase de simulation. Dans ce travail, nous nous concentrons sur la simulation de processus à temps continu (objets de dimension infinie) basée sur le cadre des réseaux génératifs adversariaux (GANs). Plus précisément, nous nous concentrons sur le mouvement brownien fractionnel, qui est un processus gaussien centré avec une fonction de covariance spécifique. Comme sa simulation stochastique est connue pour être assez délicate, disposer d'un modèle génératif pour le chemin complet est vraiment intéressant pour une utilisation pratique. Cependant, la conception de l'architecture de tels modèles de réseaux neuronaux est une question très difficile et donc souvent laissée à la recherche empirique. Nous fournissons une limite de confiance élevée sur l'approximation uniforme du mouvement brownien fractionnel B^H(t), avec le paramètre de Hurst H, par un réseau neuronal ReLU à anticipation profonde alimenté par un vecteur gaussien de dimension Z, avec des limites sur la construction du réseau (nombre de couches cachées et nombre total de neurones). Notre analyse s'appuie, dans le cas du mouvement brownien standard (H=1/2), sur la construction de Levy de B^H et dans le cas général du mouvement brownien fractionnaire ( H ≠ 1/2 ), sur la représentation en ondelettes de Lemarié-Meyer de B^H. Ce travail fournit un support théorique pour utiliser, et des lignes directrices pour construire, de nouveaux modèles génératifs basés sur les réseaux de neurones pour simuler des processus stochastiques. Il pourrait bien ouvrir la voie à la manipulation de modèles stochastiques plus compliqués écrits comme une équation différentielle stochastique pilotée par un mouvement brownien fractionnaire.

Dans cet article, nous présentons une série de résultats qui permettent d'étendre de manière directe les inégalités de déviation uniformes du processus empirique du cas indépendant au cas dépendant caractérisant l'erreur supplémentaire en termes de coefficients de mélange bêta associés à l'échantillon d'apprentissage. Nous appliquons ensuite ces résultats à certaines inégalités obtenues précédemment pour les échantillons indépendants associés à la déviation de l'erreur des moindres carrés dans la régression non paramétrique afin de dériver des limites de généralisation correspondantes pour les schémas de régression dans lesquels l'échantillon d'apprentissage peut ne pas être indépendant. Ces résultats fournissent un cadre pour analyser l'erreur associée aux schémas de régression dont l'échantillon d'entraînement provient d'une grande classe de séquences β-mixtes, y compris les échantillons de Markov géométriquement ergodiques, en utilisant uniquement le cas indépendant. Plus généralement, ils permettent une extension significative de la théorie de Vapnik-Chervonenkis et des théories similaires pour les échantillons d'entraînement indépendants à cette classe d'échantillons β-mixtes.

Les réseaux de neurones à action directe basés sur les unités linéaires rectifiées (ReLU) ne peuvent pas approximer efficacement les fonctions quantiles qui ne sont pas bornées, en particulier dans le cas de distributions à queue lourde. Nous proposons donc une nouvelle paramétrisation pour le générateur d'un réseau adversarial génératif (GAN) adapté à ce cadre, basée sur la théorie des valeurs extrêmes. Nous fournissons une analyse de l'erreur uniforme entre le quantile extrême et son approximation GAN. Il apparaît que le taux de convergence de l'erreur est principalement déterminé par le paramètre de second ordre de la distribution des données. Les résultats ci-dessus sont illustrés sur des données simulées et des données financières réelles.

Dans cette étude, nous proposons une nouvelle paramétrisation pour le générateur d'un réseau adversarial génératif (GAN) adapté aux données issues de distributions à queue lourde. Nous fournissons une analyse de l'erreur uniforme entre un quantile extrême et son approximation GAN. Des expériences numériques sont menées sur des données réelles et simulées.

Nous fournissons une grande limite de probabilité sur l'approximation uniforme du mouvement brownien fractionnaire $(B^H(t) : t ∈ [0,1])$ avec le paramètre de Hurst $H$, par un réseau neuronal ReLU à anticipation profonde alimenté par un vecteur gaussien de dimension $N$, avec des limites sur la construction du réseau (nombre de couches cachées et nombre total de neurones). Essentiellement, jusqu'aux termes logarithmiques, il est possible d'obtenir une erreur uniforme de $\mathcal{O}(N^{-H})$ avec log$(N)$ de couches cachées et $\mathcal{O} (N )$ de paramètres. Notre analyse s'appuie, dans le cas du mouvement brownien standard $(H = 1/2)$, sur la construction de Levy de $B^H$ et dans le cas général du mouvement brownien fractionnaire $(H \ne 1/2)$, sur la représentation en ondelettes de Lemarié-Meyer de $B^H$. Ce travail donne un support théorique à de nouveaux modèles génératifs basés sur les réseaux de neurones pour la simulation de processus à temps continu.

Nous établissons une nouvelle inégalité de concentration de mesure pour la somme de variables aléatoires indépendantes à queue β-lourde. Ceci inclut les distributions exponentielles des distributions gaussiennes (alias distributions log-normales), ou exponentielles des distributions de Weibull, entre autres. Ces distributions ont des moments polynomiaux finis à tout ordre mais beaucoup n'ont pas de moments α-exponentiels finis. Nous exposons une nouvelle norme d'Orlicz adaptée à ce contexte de queues β-lourdes, nous prouvons une nouvelle inégalité de Talagrand pour la somme et une nouvelle inégalité maximale. En conséquence, on obtient une probabilité de déviation de la somme par rapport à sa moyenne.

Nous développons une nouvelle méthode itérative basée sur le principe de Pontryagin pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique. Cette méthode n'est rien d'autre que la méthode de Newton étendue au cadre des commandes stochastiques, où la dynamique de l'état est donnée par une ODE à coefficients stochastiques. Chaque itération de la méthode est composée de deux ingrédients : le calcul de la direction de Newton, et la recherche d'une longueur de pas adaptée. La direction de Newton est obtenue en résolvant une équation différentielle stochastique affine-linéaire avant-arrière (FBSDE) avec des coefficients aléatoires. Ceci est fait dans le cadre d'une filtration générale. Nous prouvons que la résolution d'une telle FBSDE se réduit à la résolution d'une équation différentielle stochastique inverse (BSDE) de Riccati et d'une BSDE affine-linéaire, comme prévu dans le cadre des FBSDE linéaires ou des problèmes de contrôle stochastique linéaire-quadratique. Nous établissons ensuite des résultats de convergence pour cette méthode de Newton. En particulier, une régularité suffisante de la dérivée de second ordre de la fonction de coût est requise pour obtenir une convergence quadratique (locale). Une restriction à l'espace des processus stochastiques essentiellement bornés est nécessaire pour obtenir une telle régularité. Pour choisir une longueur de pas appropriée tout en s'adaptant à notre choix d'espace de processus, nous développons une méthode adaptée de recherche linéaire par backtracking. Nous prouvons ensuite la convergence globale de la méthode de Newton avec la procédure de recherche linéaire proposée, qui se produit à un taux quadratique après un nombre fini d'itérations. Une implémentation avec des techniques de régression pour résoudre les BSDEs survenant dans le calcul de l'étape de Newton est développée. Nous l'appliquons au problème de contrôle d'un grand nombre de batteries fournissant des services auxiliaires à un réseau électrique.

Dans cette thèse, nous utilisons des outils provenant du contrôle optimal stochastique et de l'optimisation stochastique et convexe afin de développer des mécanismes pour piloter des moyens de stockage énergétique permettant de gérer l'incertitude de production des sources d'énergie intermittentes (solaire et éolien).Tout d'abord, nous introduisons un mécanisme dans lequel un consommateur s'engage à suivre un profil de consommation sur le réseau, et contrôle ensuite ses systèmes de stockage pour suivre ce profil en temps réel. Nous modélisons cette situation par un problème de contrôle à champ moyen, pour lequel nous obtenons des résultats théoriques et numériques. Puis, nous introduisons un problème de contrôle d'un grand nombre d'unités de stockage thermique soumises à un bruit commun et fournissant des services au réseau. Nous montrons que ce problème de contrôle peut être remplacé par un problème de jeu différentiel stochastique de Stackelberg. Ceci permet un schéma de contrôle décentralisé avec des garanties de performance, tout en préservant la confidentialité des données des consommateurs et en limitant les besoins en télécommunication. Ensuite, nous développons une méthode de Newton pour des problèmes de contrôle stochastique. Nous montrons que le pas de Newton peut être calculé en résolvant des Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades, puis nous proposons une méthode de recherche linéaire appropriée, et prouvons la convergence globale de la methode de Newton obtenue dans un espace adéquat. Sa performance numérique est illustrée sur un problème de contrôle d'un grand nombre de batteries fournissant des services au réseau. Enfin, nous étudions l'extension au cas stochastique multi-étapes du problème "Alternating Current Optimal Power Flow" afin de piloter un réseau électrique équipé de systèmes de stockage. Pour ce problème, nous donnons des conditions réalistes et vérifiables a priori garantissant l'absence de saut de relaxation, ainsi qu'une borne a posteriori sur celui-ci. Dans le cadre plus large de problèmes multi-étapes non-convexes avec une structure générique, nous établissons également des bornes a priori sur le saut de dualité, en nous basant sur des résultats liés au Théorème de Shapley-Folkman.

Dans un portefeuille dynamique à variance minimale, nous étudions l'impact de la séquence des matrices de covariance prises en entrée, sur la variance réalisée du portefeuille calculée le long d'une trajectoire de marché échantillon. L'allocation du portefeuille est ajustée sur une base régulière (tous les H jours) en utilisant un estimateur de matrice de covariance mis à jour. Dans un cadre de modélisation où la matrice de covariance des rendements des actifs évolue comme un processus ergodique, nous quantifions la probabilité d'observer une sous-performance de la matrice de covariance dynamique optimale par rapport à tout autre choix. Les limites dépendent des queues des rendements, de la période d'ajustement H, et du nombre total de temps de rééquilibrage N. Ces résultats fournissent aux gestionnaires d'actifs de nouvelles perspectives sur l'optimalité de leur choix d'estimateurs de matrice de covariance, en fonction de la profondeur du backtest N H et de la période d'investissement H. Des expériences basées sur la modélisation GARCH soutiennent nos résultats théoriques.

Les réseaux de neurones à action directe basés sur des unités linéaires rectifiées (ReLU) ne peuvent pas approximer efficacement les fonctions quantiles qui ne sont pas limitées dans le domaine d'attraction du maximum de Fréchet. Nous proposons donc une nouvelle paramétrisation pour le générateur d'un réseau adversarial génératif (GAN) adapté à ce cadre de distributions à queue lourde. Nous fournissons une analyse de l'erreur uniforme entre le quantile extrême et son approximation GAN. Il apparaît que le taux de convergence de l'erreur est principalement déterminé par le paramètre de second ordre de la distribution des données. Les résultats ci-dessus sont illustrés sur des données simulées et des données financières réelles.

Le traitement des incertitudes est un problème fondamental dans le contexte financier. Les variables étudiées sont souvent dépendantes du temps, avec des queues de distribution épaisses. Dans cette thèse, on s'intéresse à des outils permettant de prendre en compte les incertitudes sous ses formes principales: incertitudes statistiques, paramétriques et erreur de modèle, tout en gardant en tête qu’on souhaite les appliquer à ce contexte.La première partie est consacrée à l’établissement d’inégalités de concentration dans le cadre de variables à queues épaisses. L’objectif de ces inégalités est de quantifier quelle confiance on peut donner à un estimateur basé sur une taille finie d'observations. Dans cette thèse, nous établissons de nouvelles inégalités de concentration, qui couvrent notamment le cas d'estimateur à distribution log-normale.Dans la seconde partie, on traite de l'impact de l'erreur de modèle pour l'estimation de la matrice de covariance sur des rendements boursiers, sous hypothèse qu’il existe un processus de covariance instantanée entre les rendements dont la valeur présente dépend de sa valeur passée. On peut alors construire explicitement la meilleure estimée de la matrice de covariance pour un instant et un horizon d'investissement donnés, et montrer qu'elle fournie la variance réalisée la plus faible avec grande probabilité dans le cadre du portefeuille minimum variance.Dans la troisième partie, on propose une approche pour estimer le ratio de Sharpe et l'allocation de portefeuille lorsqu'ils dépendent de paramètres jugés incertains. Notre approche passe par l'adaptation d'une technique d'approximation stochastique pour le calcul de la décomposition en polynômes du chaos de la quantité d'intérêt.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, on s'intéresse à l'optimisation de portefeuille avec distribution cible. Cette technique peut être formalisée sans avoir recours à aucune hypothèse de modèle sur les rendements. Nous proposons de trouver ces portefeuilles en minimisant des mesures de divergence basées sur les fonctions noyau et la théorie du transport optimal.

L'estimation des quantiles extrêmes nécessite des méthodes adaptées pour extrapoler au-delà de la plus grande observation de l'échantillon. La théorie des valeurs extrêmes fournit un cadre mathématique pour aborder ce problème ainsi que des procédures statistiques basées sur l'estimation de l'indice de queue décrivant la queue de la distribution. Nous nous concentrons sur les distributions à queue lourde et considérons le cas où la forme de la queue de distribution dépend de variables auxiliaires inconnues. Par conséquent, on doit traiter des observations provenant d'un mélange de distributions à queue lourde, et on montre que, dans une telle situation, les estimateurs de valeurs extrêmes habituels souffrent d'un fort biais. Nous proposons plusieurs méthodes pour atténuer ce biais. Leurs propriétés asymptotiques sont établies et leur performance en échantillon fini est illustrée à la fois sur des données financières simulées et réelles. Il s'agit d'un travail conjoint avec Emmanuel Gobet.

Nous proposons un problème de contrôle stochastique pour contrôler de manière coopérative les charges thermostatiques (TCL) afin de promouvoir l'équilibre de puissance dans les réseaux électriques. Nous développons une méthode pour résoudre ce problème de contrôle stochastique avec une architecture décentralisée, afin de respecter la vie privée des utilisateurs individuels et de réduire à la fois les télécommunications et la charge de calcul par rapport à la configuration d'un planificateur central omniscient. Ce paradigme est appelé apprentissage fédéré dans la communauté de l'apprentissage automatique, voir [YFY20], par conséquent nous nous référons à ce problème comme un problème de contrôle stochastique fédéré. Les conditions d'optimalité sont exprimées sous la forme d'une équation différentielle stochastique avant-arrière (FBSDE) de haute dimension, qui est décomposée en FBSDE plus petites modélisant les comportements optimaux de la population agrégée des TCL des agents individuels. En particulier, nous montrons que ces FBSDEs caractérisent entièrement l'équilibre de Nash d'un jeu différentiel stochastique de Stackelberg. Dans ce jeu, un coordinateur (le leader) vise à contrôler le comportement agrégé de la population, en envoyant des signaux appropriés, et les agents (les suiveurs) répondent à ce signal en optimisant localement leur système de stockage. Une approximation de type champ moyen est proposée pour contourner les contraintes de télécommunication et les problèmes de confidentialité. Des résultats de convergence et des limites d'erreur sont obtenus pour cette approximation en fonction de la taille de la population de TCL. Une illustration numérique est fournie pour montrer l'intérêt du schéma de contrôle et pour montrer la convergence de l'approximation. Une implémentation qui répond aux défis industriels pratiques pour déployer un tel schéma est présentée et discutée.

Dans la gestion du risque financier, la modélisation de la dépendance au sein d'un vecteur aléatoire X est cruciale, une approche standard est l'utilisation d'un modèle de copule. On dit que le modèle copule peut être échantillonné par des réalisations de Y ayant la fonction copule C : si les marginales de Y étaient connues, l'échantillonnage de X^(i) , la i-ième composante de X, suivrait directement en composant Y^(i) avec sa fonction de distribution cumulative (f.d.c.) et la f.d.c. inverse de X^(i). Dans ce travail, les marginaux de Y ne sont pas explicites, comme dans un modèle de copule factorielle. Nous concevons un algorithme qui échantillonne X par le biais d'une approximation empirique de la f.c.d. des marginales de Y. Pour pouvoir traiter des distributions complexes pour Y ou des calculs d'événements rares, nous autorisons des échantillonneurs de type Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Nous établissons des résultats de convergence dont les taux dépendent des queues de X, Y et de la fonction de Lyapunov de l'échantillonneur MCMC. Nous présentons des expériences numériques confirmant les taux de convergence et revisitons également une analyse de données réelles provenant de la gestion des risques financiers.

La couverture en temps discret produit un risque résiduel, à savoir la tracking error. Le problème majeur est d'obtenir des politiques de valorisation/couverture minimisant cette erreur. Nous évaluons le risque entre les dates de négociation au moyen d'une fonction pénalisant de manière asymétrique les profits et les pertes. Après avoir dérivé l'asymptotique dans le cadre d'une mesure du risque en temps discret pour un grand nombre de dates de négociation, nous dérivons les stratégies optimales minimisant le risque asymptotique dans le cadre du temps continu. Nous caractérisons l'optimalité par une classe d'équations différentielles partielles (EDP) entièrement non linéaires. Des expériences numériques montrent que les stratégies optimales associées à l'approche discrète et asymptotique coïncident asymptotiquement.

Dans cette thèse, nous examinons plusieurs méthodes d'approximations stochastiques à la fois pour le calcul de mesures de risques financiers et pour le pricing de produits dérivés.Comme les formules explicites sont rarement disponibles pour de telles quantités, le besoin d'approximations analytiques rapides,efficaces et fiables est d'une importance capitale pour les institutions financières.Nous visons ainsi à donner un large aperçu de ces méthodes d'approximation et nous nous concentrons sur trois approches distinctes.Dans la première partie, nous étudions plusieurs méthodes d'approximation Monte Carlo multi-niveaux et les appliquons à deux problèmes pratiques :l'estimation de quantités impliquant des espérances imbriquées (comme la marge initiale) ainsi que la discrétisation des intégrales apparaissant dans les modèles rough pour la variance forward pour le pricing d'options sur le VIX.Dans les deux cas, nous analysons les propriétés d'optimalité asymptotique des estimateurs multi-niveaux correspondants et démontrons numériquement leur supériorité par rapport à une méthode de Monte Carlo classique.Dans la deuxième partie, motivés par les nombreux exemples issus de la modélisation en risque de crédit, nous proposons un cadre général de métamodélisation pour de grandes sommes de variables aléatoires de Bernoulli pondérées, qui sont conditionnellement indépendantes par rapport à un facteur commun X. Notre approche générique est basée sur la décomposition en polynômes du chaos du facteur commun et sur une approximation gaussienne. Les estimations d'erreur L2 sont données lorsque le facteur X est associé à des polynômes orthogonaux classiques.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons aux asymptotiques en temps court de la volatilité implicite américaine et les prix d'options américaines dans les modèles à volatilité locale. Nous proposons également une approximation en loi de l'indice VIX dans des modèles rough pour la variance forward, exprimée en termes de proxys log-normaux et dérivons des résultats d'expansion pour les options sur le VIX dont les coefficients sont explicites.

La méthode de Monte-Carlo multi-niveaux (MLMC) développée par Giles [Gil08] a une application naturelle à l'évaluation des espérances imbriquées de la forme E [g(E [f (X, Y)|X])], où f, g sont des fonctions et (X, Y) un couple de variables aléatoires indépendantes. En dehors de l'évaluation des produits dérivés de type américain, de tels calculs apparaissent dans une grande variété d'évaluations de risque (VaR ou CVaR d'un portefeuille, CVA), et dans l'évaluation des coûts de marge pour les portefeuilles compensés centralement. Dans ce travail, nous nous concentrons sur le calcul de la marge initiale. Nous analysons les propriétés des estimateurs MLMC correspondants, pour lesquels nous fournissons des résultats d'optimalité asymptotique. Au niveau technique, nous devons faire face à la régularité limitée de la fonction externe g (qui peut ne pas être partout différentiable). Parallèlement à cela, nous étudions les limites supérieures et inférieures des attentes imbriquées comme ci-dessus, dans l'esprit des algorithmes primaires/duaux pour les problèmes de contrôle stochastique.

La méthode de Monte-Carlo multi-niveaux (MLMC) développée par Giles [Gil08] a une application naturelle à l'évaluation des espérances imbriquées de la forme E [g(E [f (X, Y)|X])], où f, g sont des fonctions et (X, Y) un couple de variables aléatoires indépendantes. En dehors de l'évaluation des produits dérivés de type américain, de tels calculs apparaissent dans une grande variété d'évaluations de risque (VaR ou CVaR d'un portefeuille, CVA), et dans l'évaluation des coûts de marge pour les portefeuilles compensés centralement. Dans ce travail, nous nous concentrons sur le calcul de la marge initiale. Nous analysons les propriétés des estimateurs MLMC correspondants, pour lesquels nous fournissons des résultats d'optimalité asymptotique. Au niveau technique, nous devons faire face à la régularité limitée de la fonction externe g (qui peut ne pas être partout différentiable). Parallèlement à cela, nous étudions les limites supérieures et inférieures des attentes imbriquées comme ci-dessus, dans l'esprit des algorithmes primaires/duaux pour les problèmes de contrôle stochastique.

La thèse porte sur les schémas numériques pour les problèmes de décisions Markoviennes (MDPs), les équations aux dérivées partielles (EDPs), les équations différentielles stochastiques rétrogrades (ED- SRs), ainsi que les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDSRs réfléchies). La thèse se divise en trois parties.La première partie porte sur des méthodes numériques pour résoudre les MDPs, à base de quan- tification et de régression locale ou globale. Un problème de market-making est proposé: il est résolu théoriquement en le réécrivant comme un MDP. et numériquement en utilisant le nouvel algorithme. Dans un second temps, une méthode de Markovian embedding est proposée pour réduire des prob- lèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle à des MDPs. Cette méthode est mise en œuvre sur trois différents problèmes de type McKean-Vlasov avec information partielle, qui sont par la suite numériquement résolus en utilisant des méthodes numériques à base de régression et de quantification.Dans la seconde partie, on propose de nouveaux algorithmes pour résoudre les MDPs en grande dimension. Ces derniers reposent sur les réseaux de neurones, qui ont prouvé en pratique être les meilleurs pour apprendre des fonctions en grande dimension. La consistance des algorithmes proposés est prouvée, et ces derniers sont testés sur de nombreux problèmes de contrôle stochastique, ce qui permet d’illustrer leurs performances.Dans la troisième partie, on s’intéresse à des méthodes basées sur les réseaux de neurones pour résoudre les EDPs, EDSRs et EDSRs réfléchies. La convergence des algorithmes proposés est prouvée. et ces derniers sont comparés à d’autres algorithmes récents de la littérature sur quelques exemples, ce qui permet d’illustrer leurs très bonnes performances.

Les producteurs d'électricité sont intéressés par la valorisation de la production de leur centrale. En négociant des contrats à terme, nous proposons de réduire la contingence du revenu associé en considérant les coûts fixes et en utilisant un critère de risque asymétrique. Dans un cadre asymptotique, nous fournissons une stratégie de couverture optimale à travers la solution d'une équation différentielle partielle non linéaire. Comme expérience numérique, nous analysons l'impact de la structure des coûts fixes sur la politique de couverture et la valeur des actifs.

Nous apportons dans cette thèse quelques contributions à l’étude théorique et numérique de certains problèmes de contrôle stochastique, ainsi que leurs applications aux mathématiques financières et à la gestion des risques financiers. Ces applications portent sur des problématiques de valorisation et de couverture faibles de produits financiers, ainsi que sur des problématiques réglementaires. Nous proposons des méthodes numériques afin de calculer efficacement ces quantités pour lesquelles il n’existe pas de formule explicite. Enfin, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades liées à de nouveaux problèmes de switching, avec incertitude sur les coûts.

Les techniques de noyau sont parmi les outils les plus largement utilisés et les plus influents en apprentissage automatique, avec des applications dans pratiquement tous les domaines du domaine. Pour combiner ce pouvoir expressif avec l'efficacité de calcul, de nombreux schémas aléatoires ont été proposés dans la littérature, parmi lesquels les caractéristiques de Fourier aléatoires (RFF) sont probablement les plus simples et les plus populaires. Si les RFF ont été conçus à l'origine pour l'approximation des valeurs de noyaux, ils ont récemment été adaptés aux dérivées de noyaux, et donc à la résolution de tâches à grande échelle impliquant des dérivées de fonctions. Malheureusement, la compréhension du schéma RFF pour l'approximation des dérivées de noyaux d'ordre supérieur est assez limitée en raison de la nature difficile de la croissance polynomiale de la classe de fonctions sous-jacente dans le processus empirique. Pour résoudre cette difficulté, nous établissons une limite de déviation en échantillon fini pour une classe générale de fonctions à croissance polynomiale sous condition α-exponentielle d'Orlicz sur la distribution de l'échantillon. En instanciant ce résultat pour les RFF, notre garantie uniforme en échantillon fini implique une convergence a.s. avec un taux serré pour un noyau arbitraire avec un spectre d'Orlicz α-exponentiel et tout ordre de dérivée.

L'Approximation Stochastique est une procédure itérative pour le calcul d'un zero θ d'une fonction non explicite mais définie comme une espérance. C'est par exemple un outil numérique pour le calcul du maximum de vraisemblance dans des modèlesà données latentes "réguliers". Si la définition du modèle statistique est entachée d'une incertitude τ , dont on ne connaît qu'un a priori dπ(τ), alors les zeros dépendent de τ et la question naturelle est d'explorer leur distribution lorsque τ ∼ dπ. Dans ce papier, nous proposons un algorithme itératif basé sur un schéma d'Approximation Stochastique qui,à la limite, calcule θ (τ) pour tout τ et produit une caractérisation de sa distribution. et nousénonçons des conditions suffisantes pour la convergence de cet algorithme.

Pas de résumé disponible.

Cet article est consacré à l'étude de l'écart de l'erreur moyenne (aléatoire) $L^{2}-$ associée au régresseur des moindres carrés sur une famille de fonctions ${\cal F}_{n}$ (à complexité contrôlée) obtenues à partir de $n$ échantillons indépendants, mais pas nécessairement identiquement distribués, de variables explicatives et de variables de réponse, par rapport à l'erreur moyenne minimale (déterministe) $L^{2}-$ associée à cette famille de fonctions, et à certaines des conséquences correspondantes pour le problème de cohérence. Dans le cas i.i.d., ceci se spécialise comme des questions classiques sur les problèmes de régression des moindres carrés, mais dans des cas plus généraux, ce cadre permet une investigation précise dans la direction de l'étude des erreurs nonasymptotiques pour les schémas de régression des moindres carrés dans des cadres non stationnaires, que nous motivons en fournissant un contexte et des exemples. Plus précisément, nous prouvons d'abord deux inégalités de déviation nonasymptotiques qui généralisent et affinent les résultats correspondants connus dans le cas i.i.d.. Nous explorons ensuite certaines conséquences pour les limites nonasymptotiques de l'erreur au sens faible et au sens fort. Enfin, nous exploitons ces estimations pour jeter un nouvel éclairage sur les questions de cohérence des schémas de régression des moindres carrés dans le cadre non paramétrique sans distribution. Comme application à la théorie classique, nous fournissons en particulier un résultat qui généralise le lien entre le problème de cohérence et la propriété de Glivenko-Cantelli, qui s'appliquait à la régression dans le cadre i.i.d. sur des familles non décroissantes $({\cal F}_{n})_{n}$ de fonctions permet de créer un schéma qui est fortement consistant dans $L^{2}$ sous la seule hypothèse (nécessaire) de l'existence de fonctions dans $\cup_{n}{\cal F}_{n}$ qui sont arbitrairement proches dans $L^{2}$ du régresseur correspondant.

Nous considérons le problème du calcul numérique de son capital économique par une assurance ou une banque, sous la forme d'une valeur en risque ou d'un manque à gagner attendu de sa perte sur un horizon temporel donné. Cette perte comprend l'appréciation du mark-to-model du passif de l'entreprise, que nous prenons en compte par Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja (2010) ou par régression à la Broadie, Du, et Moallemi (2015). En utilisant un point de vue d'approximation stochastique sur la valeur en risque et le manque à gagner attendu, nous établissons la convergence des schémas de simulation du capital économique qui en résultent, sous des hypothèses légères qui ne portent que sur le problème théorique limitatif en question, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d'approximation de Gordy-Juneja (2010) et Broadie-Du-Moallemi (2015). Nos estimations de capital économique peuvent alors être rendues conditionnelles dans un cadre de Markov et intégrées dans une simulation de Monte Carlo externe pour donner la marge de risque de l'entreprise, correspondant à une marge de valeur de marché (MVM) dans l'assurance ou à un ajustement de l'évaluation du capital (KVA) dans la par- lance bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas de KVA implémentée sur GPUs.

Ce travail conçoit une méthodologie pour quantifier l'incertitude d'un paramètre de volatilité dans un problème de contrôle stochastique survenant dans la gestion de l'énergie. La difficulté réside dans la non-linéarité de l'équation scalaire de Hamilton-Jacobi-Bellman sous-jacente. Nous procédons en décomposant la solution inconnue sur une base polynomiale d'Hermite (de la volatilité inconnue), dont les différents coefficients sont des solutions à un système d'EDP non linéaires du même type. Les tests numériques montrent que le calcul des premiers éléments de base peut être suffisant pour obtenir une approximation précise par rapport au paramètre de volatilité incertain. Nous expérimentons la méthodologie dans le contexte d'un contrat swing (contrat d'énergie avec flexibilité dans l'achat du pouvoir énergétique), ce qui permet d'introduire le concept d'ajustement de la valeur de l'incertitude (UVA), dont le but est de valoriser le risque de mauvaise spécification du modèle de volatilité.

Dans cet article, nous concevons un nouvel algorithme de Monte Carlo quasi-régressif afin d'approximer la solution des équations différentielles stochastiques rétroactives en temps discret (BSDE), et nous analysons la convergence de la méthode proposée. L'algorithme permet également d'approcher la solution de l'équation différentielle partielle (EDP) parabolique semi-linéaire connexe obtenue par la représentation bien connue de Feynman-Kac. Afin d'enrichir l'algorithme avec une convergence d'ordre élevé, une approximation pondérée de la solution est calculée et des conditions appropriées sur les paramètres de la méthode sont déduites. Face au défi que représente le traitement de problèmes en haute dimension, nous proposons des projections appropriées de la solution et des parallélisations efficaces de l'algorithme en tirant parti de puissants processeurs à plusieurs cœurs tels que les processeurs graphiques (GPU).

Nous étudions la modélisation mathématique du système de gestion de l'énergie d'un réseau intelligent, lié à un consommateur agrégé équipé d'une production d'énergie renouvelable (panneaux PV par exemple), d'installations de stockage (batteries), et connecté au réseau électrique public. Il contrôle l'utilisation des installations de stockage afin de diminuer les fluctuations aléatoires de sa charge résiduelle sur le réseau public, de sorte que l'énergie renouvelable intermittente soit mieux utilisée, ce qui conduit globalement à une empreinte carbone beaucoup plus verte. Le problème d'optimisation est décrit en termes de problème de contrôle stochastique McKean-Vlasov étendu. En utilisant le principe de Pontryagin, nous caractérisons le contrôle optimal du stockage comme la solution d'une certaine équation différentielle stochastique McKean-Vlasov Forward Backward (éventuellement avec des sauts), pour laquelle nous prouvons l'existence et l'unicité. Des solutions quasi-explicites sont dérivées lorsque les fonctions de coût peuvent ne pas être linéaires-quadratiques, en utilisant une approche de perturbation. Des expériences numériques soutiennent l'étude.

Nous considérons le problème du calcul numérique de son capital économique par une assurance ou une banque, sous la forme d'une valeur en risque ou d'un manque à gagner attendu de sa perte sur un horizon temporel donné. Cette perte comprend l'appréciation du mark-to-model du passif de l'entreprise, que nous prenons en compte par Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja (2010) ou par régression à la Broadie, Du, et Moallemi (2015). En utilisant un point de vue d'approximation stochastique sur la valeur en risque et le manque à gagner attendu, nous établissons la convergence des schémas de simulation du capital économique qui en résultent, sous des hypothèses légères qui ne portent que sur le problème théorique limitatif en question, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d'approximation de Gordy-Juneja (2010) et Broadie-Du-Moallemi (2015). Nos estimations de capital économique peuvent alors être rendues conditionnelles dans un cadre de Markov et intégrées dans une simulation de Monte Carlo externe pour donner la marge de risque de l'entreprise, correspondant à une marge de valeur de marché (MVM) dans l'assurance ou à un ajustement de l'évaluation du capital (KVA) dans la par- lance bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas KVA implémentée sur GPUs.

Cet article est consacré à l'étude de l'écart de l'erreur moyenne (aléatoire) $L^{2}-$ associée au régresseur des moindres carrés sur une famille de fonctions ${\cal F}_{n}$ (à complexité contrôlée) obtenues à partir de $n$ échantillons indépendants, mais pas nécessairement identiquement distribués, de variables explicatives et de variables de réponse, par rapport à l'erreur moyenne minimale (déterministe) $L^{2}-$ associée à cette famille de fonctions, et à certaines des conséquences correspondantes pour le problème de cohérence. Dans le cas i.i.d., ceci se spécialise comme des questions classiques sur les problèmes de régression des moindres carrés, mais dans des cas plus généraux, ce cadre permet une investigation précise dans la direction de l'étude des erreurs nonasymptotiques pour les schémas de régression des moindres carrés dans des cadres non stationnaires, que nous motivons en fournissant un contexte et des exemples. Plus précisément, nous prouvons d'abord deux inégalités de déviation nonasymptotiques qui généralisent et affinent les résultats correspondants connus dans le cas i.i.d.. Nous explorons ensuite certaines conséquences pour les limites nonasymptotiques de l'erreur au sens faible et au sens fort. Enfin, nous exploitons ces estimations pour jeter un nouvel éclairage sur les questions de cohérence des schémas de régression des moindres carrés dans le cadre non paramétrique sans distribution. En tant qu'application de la théorie classique, nous fournissons en particulier un résultat qui généralise le lien entre le problème de cohérence et la propriété de Glivenko-Cantelli, qui s'appliquait à la régression dans le cadre i.i.d. sur des familles non décroissantes $({\cal F}_{n})_{n}$ de fonctions permet de créer un schéma qui est fortement consistant dans $L^{2}$ sous la seule hypothèse (nécessaire) de l'existence de fonctions dans $\cup_{n}{\cal F}_{n}$ qui sont arbitrairement proches dans $L^{2}$ du régresseur correspondant.

Nous introduisons une nouvelle classe d'équations différentielles stochastiques rétroactives anticipatives avec une dépendance de type McKean sur la loi de la solution, que nous nommons MKABSDE. Nous fournissons des résultats d'existence et d'unicité dans un cadre général avec des hypothèses de régularité relativement générales sur les coefficients. Nous montrons comment de telles équations stochastiques apparaissent dans le paradigme moderne de la tarification des produits dérivés où une contrepartie centrale (CCP) exige que les membres déposent des marges de variation et initiales pour couvrir leur exposition. Dans le cas où la marge initiale est proportionnelle à la valeur à risque conditionnelle (CVaR) du prix du contrat, nous appliquons notre résultat général pour définir le prix comme une solution d'une MKABSDE. Nous fournissons plusieurs approximations linéaires et non linéaires plus simples, que nous résolvons en utilisant différentes méthodes numériques (déterministes et Monte-Carlo).

Nous concevons un méta-modèle pour la distribution des pertes d'un grand portefeuille de crédit dans le modèle de copule gaussienne. En utilisant à la fois l'expansion du chaos de Wiener sur le facteur économique systémique et une approximation gaussienne sur la perte tronquée associée, nous réduisons significativement le temps de calcul nécessaire à l'échantillonnage de la perte et donc à l'estimation des mesures de risque sur la distribution des pertes. La précision de notre méthode est confirmée par de nombreux exemples numériques.

Cette thèse est constituée de deux parties qui peuvent être lues indépendamment. Dans la première partie de la thèse, nous étudions des problèmes de couverture et de valorisation d’options liés à une mesure de risque. Notre approche principale est l’utilisation d’une fonction de risque asymétrique et d’un cadre asymptotique dans lequel nous obtenons des solutions optimales à travers des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation et la couverture des options européennes. Nous considérons le problème de l’optimisation du risque résiduel généré par une couverture à temps discret en présence d’un critère asymétrique de risque. Au lieu d'analyser le comportement asymptotique de la solution du problème discret associé, nous avons étudié la mesure asymétrique du risque résiduel intégré dans un cadre Markovian. Dans ce contexte, nous montrons l’existence de cette mesure de risque asymptotique. Ainsi, nous décrivons une stratégie de couverture asymptotiquement optimale via la solution d’une EDP totalement non-linéaire.Le deuxième chapitre est une application de cette méthode de couverture au problème de valorisation de la production d’une centrale. Puisque la centrale génère de coûts de maintenance qu’elle soit allumée ou non, nous nous sommes intéressés à la réduction du risque associé aux revenus incertains de cette centrale en se couvrant avec des contrats à terme. Nous avons étudié l’impact d’un coût de maintenance dépendant du prix d’électricité dans la stratégie couverture.Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons plusieurs problèmes de contrôle liés à l'économie et la finance.Le troisième chapitre est dédié à l’étude d’une classe de problème du type McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV polynomiale conditionnelle. Nous réduisons cette classe polynomiale par plongement de Markov à des problèmes de contrôle en dimension finie.Nous comparons trois techniques probabilistes différentes pour la résolution numérique du problème réduit: la quantification, la régression par randomisation du contrôle et la régression différée. Nous fournissons de nombreux exemples numériques, comme par exemple, la sélection de portefeuille avec incertitude sur une tendance du sous-jacent.Dans le quatrième chapitre, nous résolvons des équations de programmation dynamique associées à des valorisations financières sur le marché de l’énergie. Nous considérons qu’un modèle calibré pour les sous-jacents n’est pas disponible et qu’un petit échantillon obtenu des données historiques est accessible.En plus, dans ce contexte, nous supposons que les contrats à terme sont souvent gouvernés par des facteurs cachés modélisés par des processus de Markov. Nous proposons une méthode nonintrusive pour résoudre ces équations à travers les techniques de régression empirique en utilisant seulement l’historique du log du prix des contrats à terme observables.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de deux problèmes non linéaires au sens de McKean en finance. Nous abordons dans la première partie le problème de calibration d'un modèle à volatilité locale et stochastique pour tenir compte des prix d'options Européennes vanilles observés sur le marché. Ce problème se traduit par l'étude d'une équation différentielle stochastique (EDS) non linéaire au sens de McKean à cause de la présence dans le coefficient de diffusion d'une espérance conditionnelle du facteur de volatilité stochastique par rapport à la solution de l'EDS. Nous obtenons l'existence du processus dans le cas particulier où le facteur de volatilité stochastique est un processus de sauts ayant un nombre fini d'états. Nous obtenons de plus la convergence faible à l'ordre 1 de la discrétisation en temps de l'EDS non linéaire au sens de McKean pour des facteurs de volatilité stochastique généraux. Dans l'industrie, la calibration est effectuée efficacement à l'aide d'une régularisation de l'espérance conditionnelle par un estimateur à noyau de type Nadaraya-Watson, comme proposé par Guyon et Henry-Labordère dans [JGPHL]. Nous proposons également un schéma numérique demi-pas de temps et étudions le système de particules associé que nous comparons à l'algorithme proposé par [JGPHL]. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons à un problème de valorisation de contrat avec appels de marge, une problématique apparue avec l'application de nouvelles régulations depuis la crise financière de 2008. Ce problème peut être modélisé par une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) anticipative avec dépendance en la loi de la solution dans le générateur. Nous montrons que cette équation est bien posée et proposons une approximation de sa solution à l'aide d'EDSR standards linéaires lorsque la durée de liquidation de l'option en cas de défaut est petite. Enfin, nous montrons que le calcul des solutions de ces EDSR standards peut être amélioré à l'aide de la méthode de Monte-Carlo multiniveaux introduite par Giles dans [G].

L'augmentation de la part des énergies renouvelables intermittentes dans le mix énergétique génère des problématiques liées à la prévisibilité de la production d'électricité. Notamment,à l'échelle saisonnière, les gestionnaires du réseau de transport d'électricité sont contraints de projeter la disponibilité des moyens de production ainsi que de prévoir la demande. Cela permet de garantir l'approvisionnement pour le prochain hiver ou été. Néanmoins, les projections actuelles sont principalement basées sur des données historiques (climatologie) de températures (consommation), vents (production éolienne), ou encore de rayonnement solaire (production photovoltaïque). La thèse présente 4 travaux : trois dans le cadre de la prévision saisonnière, et une étude sur le réalisme du vent de surface tel qu'il est modélisé. par le modèle de prévision du temps du Centre Européen.Si la prévisions de l'énergie éolienne aux échelles de temps courtes allant de la minute à quelques jours ainsi que la tendance des vents aux échelles climatiques ont été largement étudiées, la prévision de la production éolienne l'échelle de temps intermédiaire allant d'une quinzaine de jours à la saison n'a reçu que peu d'attention. La prévisibilité. du temps aux moyennes latitudes à ces horizons lointains est en effet encore une question ouverte. Cependant, plusieurs études ont montré que les modèles numériques de prévision saisonnières étaient capable d'apporter de l'information sur la variabilité de la circulation atmosphérique de grande échelle via la prévision des oscillations de la circulation grande échelle, comme ENSO dans le Pacifique, ou encore la NAO en Atlantique Nord. Il a aussi été démontré que ces oscillations ont un impact fort sur les précipitations, les températures, et les vents de surface.Construire la relation entre ces indicateurs de la circulation atmosphérique grande échelle et le vent de surface en France permet donc de prendre en compte la variabilité. interannuelle du vent de surface, ce dont n'est pas capable par définition la climatologie. C'est là l'idée développée dans les 3 études concernant la prévision saisonnière. Afin de prévoir la ressource et la production éolienne à l'échelle saisonnière, deux modèles probabilistes sont développés. L'un paramétrique, basée sur la prévision de la distribution saisonnière du vent de surface, à différents endroits en France . l'autre non paramétrique, basé sur l'estimation de la de la densité de probabilité du vent de surface journalier conditionnel à l'état de l'atmosphère. La troisième étude propose de reconstruire la probabilité jointe de la consommation et de la production nationale française, permettant ainsi de mesurer le risque de déséquilibre entre l'offre et la demande.

Cette thèse contient deux parties qui étudient deux sujets différents. Les Chapitres 1-4 sont consacrés aux problèmes de discrétisation de processus à des temps d’arrêt. Dans le Chapitre 1 on étudie l'erreur de discrétisation optimale pour des intégrales stochastiques par rapport à une semimartingale brownienne multidimensionnelle continue. Dans ce cadre on établit une borne inférieure trajectorielle pour la variation quadratique renormalisée de l'erreur. On fournit une suite de temps d’arrêt qui donne une discrétisation asymptotiquement optimale. Cette suite est définie comme temps de sortie d'ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale. Par rapport aux résultats précédents on permet une classe de semimartingales assez large. On démontre qui la borne inférieure est exacte. Dans le Chapitre 2 on étudie la version adaptative au modèle de la discrétisation optimale d’intégrales stochastique. Dans le Chapitre 1 la construction de la stratégie optimale utilise la connaissance du coefficient de diffusion de la semimartingale considérée. Dans ce travail on établit une stratégie de discrétisation asymptotiquement optimale qui est adaptative au modèle et n'utilise pas aucune information sur le modèle. On démontre l'optimalité pour une classe de grilles de discrétisation assez générale basée sur les technique de noyau pour l'estimation adaptative. Dans le Chapitre 3 on étudie la convergence en loi des erreurs de discrétisation renormalisées de processus d’Itô pour une classe concrète et assez générale de grilles de discrétisation données par des temps d’arrêt. Les travaux précédents sur le sujet considèrent seulement le cas de dimension 1. En plus ils concentrent sur des cas particuliers des grilles, ou démontrent des résultats sous des hypothèses abstraites. Dans notre travail on donne explicitement la distribution limite sous une forme claire et simple, les résultats sont démontré dans le cas multidimensionnel pour le processus et pour l'erreur de discrétisation. Dans le Chapitre 4 on étudie le problème d'estimation paramétrique pour des processus de diffusion basée sur des observations à temps d’arrêt. Les travaux précédents sur le sujet considèrent que des temps d'observation déterministes, fortement prévisibles ou aléatoires indépendants du processus. Sous des hypothèses faibles on construit une suite d'estimateurs consistante pour une classe large de grilles d'observation données par des temps d’arrêt. On effectue une analyse asymptotique de l'erreur d'estimation. En outre, dans le cas du paramètre de dimension 1, pour toute suite d'estimateurs qui vérifie un TCL sans biais, on démontre une borne inférieure uniforme pour la variance asymptotique. on montre que cette borne est exacte. Les Chapitres 5-6 sont consacrés au problème de quantification d'incertitude pour des limites d'approximation stochastique. Dans le Chapitre 5 on analyse la quantification d'incertitude pour des limites d'approximation stochastique (SA). Dans notre cadre la limite est définie comme un zéro d'une fonction donnée par une espérance. Cette espérance est prise par rapport à une variable aléatoire pour laquelle le modèle est supposé de dépendre d'un paramètre incertain. On considère la limite de SA comme une fonction de cette paramètre. On introduit un algorithme qui s'appelle USA (Uncertainty for SA). C'est une procédure en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'expansion de chaos de cette fonction dans une base d'un espace de Hilbert bien choisi. La convergence de USA dans cet espace de Hilbert est démontré. Dans le Chapitre 6 on analyse le taux de convergence dans L2 de l'algorithme USA développé dans le Chapitre 5. L'analyse est non trivial à cause de la dimension infinie de la procédure. Le taux obtenu dépend du modèle et des paramètres utilisés dans l'algorithme USA. Sa connaissance permet d'optimiser la vitesse de croissance de la dimension dans USA.

Dans ce travail, nous dérivons une prévision probabiliste de l'irradiance solaire pendant un jour à un endroit donné, en utilisant un modèle d'équation différentielle stochastique (SDE en abrégé). Nous proposons une procédure qui transforme une prévision déterministe en une prévision probabiliste : les paramètres d'entrée du modèle SDE sont la prévision déterministe d'Arome calculée au jour J-1 pour le jour J. Le modèle tient également compte de l'irradiance maximale du modèle de ciel clair. Le modèle SDE est réversible vers la prévision déterministe et l'amplitude instantanée du bruit dépend de l'indice de ciel clair, de sorte que les fluctuations disparaissent lorsque l'indice est proche de 0 (nuageux) ou de 1 (ensoleillé), comme observé en pratique. Nos tests montrent une bonne adéquation des intervalles de confiance du modèle avec la mesure.

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Dans cet article, nous concevons un nouvel algorithme de Monte Carlo quasi-régressif afin d'approximer la solution des équations différentielles stochastiques rétroactives en temps discret (BSDE), et nous analysons la convergence de la méthode proposée. L'algorithme permet également d'approcher la solution de l'équation différentielle partielle (EDP) parabolique semi-linéaire connexe obtenue par la représentation bien connue de Feynman-Kac. Afin d'enrichir l'algorithme avec une convergence d'ordre élevé, une approximation pondérée de la solution est calculée et des conditions appropriées sur les paramètres de la méthode sont déduites. Face au défi de s'attaquer à des problèmes en haute dimension, nous proposons des projections appropriées de la solution et des parallélisations efficaces de l'algorithme en tirant parti de puissants processeurs à plusieurs cœurs tels que les processeurs graphiques (GPU).

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Dans cet article, nous étudions le problème de l'inférence paramétrique pour des diffusions multidimensionnelles basées sur des observations à des temps d'arrêt aléatoires. Nous travaillons dans le cadre asymptotique de données à haute fréquence sur un horizon fixe. Les travaux précédents sur le sujet (tels que [Doh87, GJ93, Gob01, AM04] entre autres) ne considèrent que des temps d'observation déterministes, fortement prévisibles ou aléatoires, indépendants du processus, et ne couvrent pas notre cadre. Sous des hypothèses légères, nous construisons une séquence cohérente d'estimateurs, pour une grande classe de grilles d'observation à temps d'arrêt (étudiée dans [GL14, GS18]). En outre, nous effectuons l'analyse asymptotique de l'erreur d'estimation et établissons un théorème central limite (CLT) avec une limite gaussienne mixte. De plus, dans le cas d'un paramètre à une dimension, pour toute séquence d'estimateurs vérifiant les conditions du CLT sans biais, nous prouvons une borne inférieure uniforme a.s. sur la variance asymptotique, et montrons que cette borne est nette.

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Nous fournissons des approximations analytiques pour la loi des solutions d'une certaine classe d'équations différentielles stochastiques scalaires de McKean-Vlasov (MKV-SDEs) avec une donnée initiale aléatoire. Les résultats de " propagation du chaos " ([Szn91]) relient cette classe d'EDS au comportement limite macroscopique d'une particule, évoluant dans un système de particules à interaction de champ moyen, lorsque le nombre total de particules tend vers l'infini. Ici, nous supposons que l'interaction de champ moyen n'agit que sur la dérive de chaque particule, ce qui donne lieu à une MKV-SDE où le coefficient de dérive dépend de la loi de la solution inconnue. En perturbant l'équation de Kolmogorov directe non linéaire associée à la MKV-SDE, nous effectuons une procédure d'approximation en deux étapes qui découple l'interaction de McKean-Vlasov de la dépendance standard des variables d'état. La première étape produit une expansion pour la distribution marginale à un temps donné, tandis que la seconde produit une expansion pour la densité de transition. Les deux séries d'approximation s'avèrent asymptotiquement convergentes dans la limite des temps courts et du petit bruit, l'ordre de convergence pour la dernière expansion étant plus élevé que pour la première. Les formules d'approximation résultantes sont exprimées sous forme semi-fermée et peuvent donc être considérées comme une alternative viable à la simulation numérique du système à grandes particules, qui peut être très coûteuse en termes de calcul. De plus, ces résultats ouvrent la voie à d'autres extensions de cette approche à des dynamiques plus générales et à des paramètres de haute dimension.

La couverture en temps discret produit un risque résiduel, à savoir la tracking error. Le problème majeur est d'obtenir des politiques de valorisation/couverture minimisant cette erreur. Nous évaluons le risque entre les dates de négociation au moyen d'une fonction pénalisant de manière asymétrique les profits et les pertes. Après avoir dérivé l'asymptotique dans le cadre d'une mesure du risque en temps discret pour un grand nombre de dates de négociation, nous dérivons les stratégies optimales minimisant le risque asymptotique dans le cadre du temps continu. Nous caractérisons l'optimalité par une classe d'équations différentielles partielles (EDP) entièrement non linéaires. Des expériences numériques montrent que les stratégies optimales associées à l'approche discrète et asymptotique coïncident asymptotiquement.

Ce travail conçoit une méthodologie pour quantifier l'incertitude d'un paramètre de volatilité dans un problème de contrôle stochastique survenant dans la gestion de l'énergie. La difficulté réside dans la non-linéarité de l'équation scalaire de Hamilton-Jacobi-Bellman sous-jacente. Nous procédons en décomposant la solution inconnue sur une base polynomiale d'Hermite (de la volatilité inconnue), dont les différents coefficients sont des solutions à un système d'EDP non linéaires du même type. Les tests numériques montrent que le calcul des premiers éléments de base peut être suffisant pour obtenir une approximation précise par rapport au paramètre de volatilité incertain. Nous expérimentons la méthodologie dans le contexte d'un contrat swing (contrat d'énergie avec flexibilité dans l'achat du pouvoir énergétique), ce qui permet d'introduire le concept d'ajustement de la valeur de l'incertitude (UVA), dont le but est de valoriser le risque de mauvaise spécification du modèle de volatilité.

Nous étudions la convergence dans la distribution de l'erreur renormalisée découlant de la discrétisation d'une semimartingale brownienne échantillonnée aux temps d'arrêt. Nos hypothèses légères sur la forme des temps d'arrêt permettent à la grille de temps d'être une combinaison de temps d'arrêt de domaines stochastiques et de temps aléatoires de type Poisson. De manière remarquable, un théorème central limite fonctionnel est valable dans une grande généralité sur la semimartingale et sur la forme des temps d'arrêt. De plus, les caractéristiques asymptotiques sont tout à fait explicites. Parallèlement à la dérivation de ces résultats, nous établissons également certaines estimations clés liées aux approximations et aux sensibilités du temps/de la position d'arrêt par rapport aux perturbations du modèle et du domaine.

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Le sujet de cette th?se est l'inf?rence statistique de processus d'Ornstein-Uhlenbeck multi-dimensionnels. Dans une premi?re partie, nous introduisons un mod?le de graphes stochastiques d?finis comme observations binaires de trajectoires. Nous montrons alors qu'il est possible de d?duire la dynamique de la trajectoire sous-jacente ? partir des observations binaires. Pour ceci, nous construisons des statistiques ? partir du graphe et montrons de nouvelles propri?t?s de convergence dans le cadre d'une observation en temps long et en haute fr?quence. Nous analysons aussi les propri?t?s des graphes stochastiques du point de vue des r?seaux ?volutifs. Dans une deuxi?me partie, nous travaillons sous l'hypoth?se d'information compl?te et en temps continu et ajoutons une hypoth?se de sparsit? concernant le param?tre de textit{drift} du processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous montrons alors des propri?t?s d'oracle pointues de l'estimateur Lasso, prouvons une borne inf?rieure sur l'erreur d'estimation au sens minimax et d?montrons des propri?t?s d'optimalit? asymptotique de l'estimateur Lasso Adaptatif. Nous appliquons ensuite ces m?thodes pour estimer la vitesse de retour ? la moyenne des retours journaliers d'actions am?ricaines ainsi que des prix de futures de dividendes pour l'indice EURO STOXX 50.

Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de contrôle et d’optimisation dont il n’existe à ce jour que des solutions approchées. D’une part nous nous intéressons à des techniques visant à réduire ou supprimer les approximations pour obtenir des solutions plus précises voire exactes. D’autre part nous développons de nouvelles méthodes d’approximation pour traiter plus rapidement des problèmes à plus grande échelle. Nous étudions des méthodes numériques de simulation d’équation différentielle stochastique et d’amélioration de calculs d’espérance. Nous mettons en œuvre des techniques de type quantification pour la construction de variables de contrôle ainsi que la méthode de gradient stochastique pour la résolution de problèmes de contrôle stochastique. Nous nous intéressons aussi aux méthodes de clustering liées à la quantification, ainsi qu’à la compression d’information par réseaux neuronaux. Les problèmes étudiés sont issus non seulement de motivations financières, comme le contrôle stochastique pour la couverture d’option en marché incomplet mais aussi du traitement des grandes bases de données de médias communément appelé Big data dans le chapitre 5. Théoriquement, nous proposons différentes majorations de la convergence des méthodes numériques d’une part pour la recherche d’une stratégie optimale de couverture en marché incomplet dans le chapitre 3, d’autre part pour l’extension la technique de Beskos-Roberts de simulation d’équation différentielle dans le chapitre 4. Nous présentons une utilisation originale de la décomposition de Karhunen-Loève pour une réduction de variance de l’estimateur d’espérance dans le chapitre 2.

Nous analysons la quantification de l'incertitude pour la limite d'un algorithme d'approximation stochastique (SA). Dans notre configuration, cette limite $\targetfn$ est définie comme un zéro d'une fonction intraitable et est modélisée comme incertaine par un paramètre $\param$. Nous cherchons à dériver la fonction $\targetfn$, ainsi que la distribution probabiliste de $\targetfn(\param)$ étant donné une distribution de probabilité $\pi$ pour $\param$. Nous introduisons l'algorithme appelé Uncertainty Quantification for SA (UQSA), un algorithme SA en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'une expansion de chaos de $\param \mapsto \targetfn(\param)$ sur une base orthogonale d'un espace de Hilbert approprié. UQSA, exécuté avec un nombre fini d'itérations $K$, retourne un ensemble fini de coefficients, fournissant une approximation $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ de $\targetfn(\cdot)$. Nous établissons les convergences presque sûres et $L^p$ dans l'espace de Hilbert de la séquence de fonctions $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ lorsque le nombre d'itérations $K$ tend vers l'infini. Ceci est fait dans des conditions douces et faciles, découvertes par la littérature existante pour l'analyse de convergence des algorithmes de SA de dimension infinie. Pour un choix approprié de la base de Hilbert, l'algorithme fournit également une approximation de l'espérance, de la matrice de variance-covariance et des moments d'ordre supérieur de la quantité $\widehat{\targetfn_K}(\param)$ lorsque $\param$ est aléatoire avec la distribution $\pi$. UQSA est illustré et le rôle de ses paramètres de conception est discuté numériquement.

Dans cet article, nous développons les méthodes réversibles de transformation d'agitation sur l'espace des chemins de Gobet et Liu [GL15] pour estimer les statistiques d'événements rares survenant dans différents contextes de risque financier qui sont intégrés dans un cadre unifié de processus gaussien isonormal. Plus précisément, nous combinons les méthodes de fractionnement avec la technique du système de particules interagissant (IPS) et les transformations ergodiques à l'aide d'estimateurs Parallel-One-Path (POP). Nous proposons également une version adaptative de la méthode POP et prouvons sa convergence. Nous démontrons l'application de nos méthodes dans divers exemples qui couvrent des modèles stochastiques semi-martingaux habituels (pas nécessairement markoviens) pilotés par le mouvement brownien et, également, des modèles pilotés par le mouvement brownien fractionnel (non semi-martingaux) pour traiter divers risques financiers. Il est intéressant de noter que, grâce au cadre des processus gaussiens, nos méthodes sont également capables de traiter efficacement le problème important de la sensibilité des statistiques d'événements rares par rapport aux paramètres du modèle.

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Nous concevons et analysons un algorithme d'estimation de la moyenne d'une fonction d'une espérance conditionnelle, lorsque l'espérance extérieure est liée à un événement rare. L'espérance externe est évaluée par la moyenne le long du chemin d'une chaîne de Markov ergodique générée par un échantillonneur de Monte Carlo à chaîne de Markov. L'espérance conditionnelle interne est calculée comme une régression non paramétrique, en utilisant une méthode des moindres carrés avec une base de fonction générale et un plan donné par la chaîne de Markov échantillonnée. Nous établissons des limites non asymptotiques pour les risques empiriques L2 associés à cette régression des moindres carrés. Ceci généralise les limites d'erreur habituellement obtenues dans le cas d'observations i.i.d.. Des bornes d'erreur globales sont également dérivées pour le problème de l'espérance imbriquée. Des résultats numériques dans le contexte de calculs de risques financiers illustrent la performance des algorithmes.

Les méthodes de Monte-Carlo sont largement utilisées par l'industrie financière pour fixer le prix des produits dérivés, estimer les risques ou calibrer/estimer les modèles. Elles peuvent également être utilisées pour traiter le big data, dans l'apprentissage automatique, pour effectuer une optimisation en ligne, pour étudier la propagation de l'incertitude en mécanique des fluides ou en géophysique. Sous la même étiquette Monte-Carlo, on trouve en fait des techniques et des communautés très différentes qui évoluent dans des directions différentes. Le cycle thématique que nous avons organisé d'octobre 2015 à juillet 2016 visait à confronter les différents points de vue de ces communautés et à contribuer à une réflexion générale sur l'utilisation de ces techniques par l'industrie financière et le monde économique en général. Il a bénéficié du soutien financier de l'Institut Louis Bachelier, de la Chaire Risques Financiers, de la Chaire Finance et D'eveloppement durable, de la Chaire Economie des nou- ' velles donn'ees, de la Chaire March'es en mutation, du programme ANR ISOTACE ANR-12-MONU-0013 et de l'Institut Henri Poincar'e. Trois thèmes ont été abordés par des conférences académiques suivies d'un atelier d'une journée : propagation de l'incertitude, méthodes particulaires pour la gestion des risques, algorithmes stochastiques et big data. Nous remercions Areski Cousin, Virginie Ehrlacher, Romuald Elie, Gersende Fort, St'ephane Gaiffas et Gilles Pag`es pour avoir coordonné ces ateliers. Le cycle s'est achevé par une conférence de clôture d'une semaine avec douze conférences plénières et seize minisymposiums : voir le site https://montecarlo16.sciencesconf.org. Bien sûr, les six articles de ces actes ne peuvent rendre compte de tous les sujets abordés pendant le cycle. Mais ils donnent un aperçu qualitatif de certains des domaines actifs de recherche sur les méthodes stochastiques en finance. Nous remercions leurs auteurs pour ces précieuses contributions.

Nous étudions l'erreur de discrétisation optimale des intégrales stochastiques, pilotées par une semimartingale brownienne continue multidimensionnelle. Dans ce cadre, nous établissons une borne inférieure pour la variation quadratique renormalisée de l'erreur et nous fournissons une séquence de temps d'arrêt de discrétisation, qui est asymptotiquement optimale. Cette dernière est définie comme les temps d'atteinte d'ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale en question. En comparaison avec les résultats précédents, nous autorisons une classe assez large de semimartingales (en relaxant en particulier les conditions de non dégénérescence habituellement demandées) et nous prouvons que la borne inférieure asymptotique est atteignable.

Nous établissons des estimations de moments généraux pour les temps de sortie discrets et continus d'un processus d'Itô général en termes de distance à la frontière. Ces estimations servent d'étapes intermédiaires pour obtenir des résultats de convergence forte pour l'approximation d'un temps de sortie continu par une contrepartie discrète, calculée sur une grille. En particulier, nous prouvons que le temps de sortie discret du schéma d'Euler d'une diffusion converge dans la norme L1 avec un ordre 1/2 par rapport à la taille de la maille.

Dans ce travail, nous dérivons une prévision probabiliste de l'irradiance solaire pendant un jour à un endroit donné, en utilisant un modèle d'équation différentielle stochastique (SDE en abrégé). Nous proposons une procédure qui transforme une prévision déterministe en une prévision probabiliste : les paramètres d'entrée du modèle SDE sont la prévision déterministe d'Arome calculée au jour J-1 pour le jour J. Le modèle tient également compte de l'irradiance maximale du modèle de ciel clair. Le modèle SDE est réversible vers la prévision déterministe et l'amplitude instantanée du bruit dépend de l'indice de ciel clair, de sorte que les fluctuations disparaissent lorsque l'indice est proche de 0 (nuageux) ou de 1 (ensoleillé), comme observé en pratique. Nos tests montrent une bonne adéquation des intervalles de confiance du modèle avec la mesure.

Pas de résumé disponible.

Nous présentons notre contribution sur la régulation et l’optimisation de la production d’électricité.La première partie concerne l’optimisation de la gestion d’un micro réseau. Nous formulons le programme de gestion comme un problème de commande optimal en temps continu, puis nous résolvons ce problème par programmation dynamique à l’aide d’un solveur développé dans ce but : BocopHJB. Nous montrons que ce type de formulation peut s’étendre à une modélisation stochastique. Nous terminons cette partie par l’algorithme de poids adaptatifs, qui permet une gestion de la batterie du micro réseau intégrant le vieillissement de celle-ci. L’algorithme exploite la structure à deux échelles de temps du problème de commande.La seconde partie concerne des modèles de marchés en réseaux, et en particulier ceux de l’électricité. Nous introduisons un mécanisme d’incitation permettant de diminuer le pouvoir de marché des producteurs d’énergie, au profit du consommateur. Nous étudions quelques propriétés mathématiques des problèmes d’optimisation rencontrés par les agents du marché (producteurs et régulateur). Le dernier chapitre étudie l’existence et l’unicité des équilibres de Nash en stratégies pures d’une classe de jeux Bayésiens à laquelle certains modèles de marchés en réseaux se rattachent. Pour certains cas simples, un algorithme de calcul d’équilibre est proposé.Une annexe rassemble une documentation sur le solveur numérique BocopHJB.

Nous fournissons des approximations analytiques pour la loi des solutions d'une certaine classe d'équations différentielles stochastiques scalaires de McKean-Vlasov (MKV-SDEs) avec une donnée initiale aléatoire. Les résultats de " propagation du chaos " ([Szn91]) relient cette classe d'EDS au comportement limite macroscopique d'une particule, évoluant dans un système de particules à interaction de champ moyen, lorsque le nombre total de particules tend vers l'infini. Ici, nous supposons que l'interaction de champ moyen n'agit que sur la dérive de chaque particule, ce qui donne lieu à une MKV-SDE où le coefficient de dérive dépend de la loi de la solution inconnue. En perturbant l'équation de Kolmogorov directe non linéaire associée à la MKV-SDE, nous effectuons une procédure d'approximation en deux étapes qui découple l'interaction de McKean-Vlasov de la dépendance standard des variables d'état. La première étape produit une expansion pour la distribution marginale à un temps donné, tandis que la seconde produit une expansion pour la densité de transition. Les deux séries d'approximation s'avèrent asymptotiquement convergentes dans la limite des temps courts et du petit bruit, l'ordre de convergence pour la dernière expansion étant plus élevé que pour la première. Les formules d'approximation résultantes sont exprimées sous forme semi-fermée et peuvent donc être considérées comme une alternative viable à la simulation numérique du système à grandes particules, qui peut être très coûteuse en termes de calcul. De plus, ces résultats ouvrent la voie à d'autres extensions de cette approche à des dynamiques plus générales et à des paramètres de haute dimension.

Cet article est un complément à notre précédent travail [ADGL15] sur les méthodes de simulation d'événements rares. Dans cet article, nous fournissons une preuve alternative pour l'ergodicité de la transformation d'ébranlement dans le cas gaussien et proposons deux variantes des méthodes existantes avec des comparaisons de performances numériques. Dans les tests numériques, nous illustrons également l'idée de la génération de scénarios extrêmes basée sur la convergence des distributions marginales des chaînes de Markov sous-jacentes et montrons l'impact de la discrétisation des modèles à temps continu sur l'estimation de la probabilité des événements rares.

Nous fournissons des approximations analytiques pour la loi des solutions d'une certaine classe d'équations différentielles stochastiques scalaires de McKean-Vlasov (MKV-SDEs) avec une donnée initiale aléatoire. Les résultats de " propagation du chaos " ([Szn91]) relient cette classe d'EDS au comportement limite macroscopique d'une particule, évoluant dans un système de particules à interaction de champ moyen, lorsque le nombre total de particules tend vers l'infini. Ici, nous supposons que l'interaction de champ moyen n'agit que sur la dérive de chaque particule, ce qui donne lieu à une MKV-SDE où le coefficient de dérive dépend de la loi de la solution inconnue. En perturbant l'équation de Kolmogorov directe non linéaire associée à la MKV-SDE, nous effectuons une procédure d'approximation en deux étapes qui découple l'interaction de McKean-Vlasov de la dépendance standard des variables d'état. La première étape produit une expansion pour la distribution marginale à un temps donné, tandis que la seconde produit une expansion pour la densité de transition. Les deux séries d'approximation s'avèrent asymptotiquement convergentes dans la limite des temps courts et du petit bruit, l'ordre de convergence pour la dernière expansion étant plus élevé que pour la première. Les formules d'approximation résultantes sont exprimées sous forme semi-fermée et peuvent donc être considérées comme une alternative viable à la simulation numérique du système à grandes particules, qui peut être très coûteuse en termes de calcul. De plus, ces résultats ouvrent la voie à d'autres extensions de cette approche à des dynamiques plus générales et à des paramètres de haute dimension.

Notre objectif est de résoudre certaines équations de programmation dynamique associées à une chaîne de Markov X donnée, en utilisant un algorithme de Monte Carlo basé sur la régression. Plus précisément, nous supposons que le modèle de X n'est pas connu dans tous ses détails et que seul un échantillon de base X1, . . . , XM d'un tel processus est disponible. Par une stratification de l'espace et un choix approprié d'une mesure de probabilité ν, nous concevons un nouveau schéma de rééchantillonnage qui permet de calculer des régressions locales (sur les fonctions de base) dans chaque strate. La combinaison de la stratification et du rééchantillonnage permet de calculer la solution de l'équation de programmation dynamique (éventuellement en grandes dimensions) en utilisant seulement un ensemble relativement petit de chemins de racines. Pour évaluer la précision de l'algorithme, nous établissons des estimations d'erreurs non-asymptotiques dans L2(ν). Nos expériences numériques illustrent la bonne performance, même avec M = 20 - 40 chemins de racines.

Pas de résumé disponible.

Nous considérons une carte aléatoire x → F (ω, x) et une variable aléatoire Θ(ω), et nous désignons par F^N (ω, x) et Θ^N (ω) leurs approximations : Nous établissons un résultat de convergence forte, en normes Lp, de l'approximation composée F^N (ω, Θ^N (ω)) vers la variable composée F (ω, Θ(ω)), en fonction des approximations de F et Θ. Nous appliquons ensuite ce résultat à la composition de deux équations différentielles stochastiques par leurs conditions initiales, ce qui peut donner un moyen de résoudre certaines équations différentielles partielles stochastiques.

Nous considérons une équation différentielle stochastique multidimensionnelle Y écrite comme une perturbation par dérive d'un processus ergodique Ornstein-Uhlenbeck X. Sous la condition de réversibilité temporelle de X, nous dérivons une expansion du premier et du second ordre de la distribution stationnaire µ^Y de Y en termes de X. Des estimations d'erreur sont établies. Ces approximations sont ensuite transformées en un schéma de simulation pour l'échantillonnage approximatif selon µ Y. Des expériences numériques confirment les estimations d'erreur théoriques.

Dans cette thèse, nous proposons une approche progressive (forward) pour la représentation probabiliste d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) nonlinéaires et nonconservatives, permettant ainsi de développer un algorithme particulaire afin d'en estimer numériquement les solutions. Les Equations Différentielles Stochastiques Nonlinéaires de type McKean (NLSDE) étudiées dans la littérature constituent une formulation microscopique d'un phénomène modélisé macroscopiquement par une EDP conservative. Une solution d'une telle NLSDE est la donnée d'un couple $(Y,u)$ où $Y$ est une solution d' équation différentielle stochastique (EDS) dont les coefficients dépendent de $u$ et de $t$ telle que $u(t,cdot)$ est la densité de $Y_t$. La principale contribution de cette thèse est de considérer des EDP nonconservatives, c'est-à- dire des EDP conservatives perturbées par un terme nonlinéaire de la forme $Lambda(u,nabla u)u$. Ceci implique qu'un couple $(Y,u)$ sera solution de la représentation probabiliste associée si $Y$ est un encore un processus stochastique et la relation entre $Y$ et la fonction $u$ sera alors plus complexe. Etant donnée la loi de $Y$, l'existence et l'unicité de $u$ sont démontrées par un argument de type point fixe via une formulation originale de type Feynmann-Kac.

Étant donné Y un processus graphique défini par une observation à information incomplète d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck multivarié X, nous cherchons à savoir si nous pouvons estimer les paramètres de X. Nous définissons deux statistiques de Y. Nous prouvons des propriétés de convergence et montrons comment celles-ci peuvent être utilisées pour l'inférence des paramètres. Enfin, des tests numériques illustrent nos résultats et indiquent les extensions et applications possibles.

Nous concevons et analysons un algorithme d'estimation de la moyenne d'une fonction d'une espérance conditionnelle, lorsque l'espérance extérieure est liée à un événement rare. L'espérance externe est évaluée par la moyenne le long du chemin d'une chaîne de Markov ergodique générée par un échantillonneur de Monte Carlo à chaîne de Markov. L'espérance conditionnelle interne est calculée comme une régression non paramétrique, en utilisant une méthode des moindres carrés avec une base de fonction générale et un plan donné par la chaîne de Markov échantillonnée. Nous établissons des limites non asymptotiques pour les risques empiriques L2 associés à cette régression des moindres carrés. Ceci généralise les limites d'erreur habituellement obtenues dans le cas d'observations i.i.d.. Des bornes d'erreur globales sont également dérivées pour le problème de l'espérance imbriquée. Des résultats numériques dans le contexte de calculs de risques financiers illustrent la performance des algorithmes.

Durant les dernières décennies, l'essor des moyens technologiques et particulièrement informatiques a permis l'émergence de la mise en œuvre de méthodes numériques pour l'approximation d'Equations Différentielles Stochastiques (EDS) ainsi que pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse aborde ces deux aspects et s'intéresse plus spécifiquement à l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation d'EDS par schéma numérique tandis que la deuxième partie traite l'estimation de paramètres. Dans un premier temps, nous étudions des schémas d'approximation pour les EDSs. On suppose que ces schémas sont définis sur une grille de temps de taille $n$. On dira que le schéma $X^n$ converge faiblement vers la diffusion $X$ avec ordre $h in mathbb{N}$ si pour tout $T>0$, $vert mathbb{E}[f(X_T)-f(X_T^n)] vertleqslant C_f /n^h$. Jusqu'à maintenant, sauf dans certains cas particulier (schémas d'Euler et de Ninomiya Victoir), les recherches sur le sujet imposent que $C_f$ dépende de la norme infini de $f$ mais aussi de ses dérivées. En d'autres termes $C_f =C sum_{vert alpha vert leqslant q} Vert partial_{alpha} f Vert_{ infty}$. Notre objectif est de montrer que si le schéma converge faiblement avec ordre $h$ pour un tel $C_f$, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité des coefficients, on peut obtenir le même résultat avec $C_f=C Vert f Vert_{infty}$. Ainsi, on prouve qu'il est possible d'estimer $mathbb{E}[f(X_T)]$ pour $f$ mesurable et bornée. On dit alors que le schéma converge en variation totale vers la diffusion avec ordre $h$. On prouve aussi qu'il est possible d'approximer la densité de $X_T$ et ses dérivées par celle $X_T^n$. Afin d'obtenir ce résultat, nous emploierons une méthode de calcul de Malliavin adaptatif basée sur les variables aléatoires utilisées dans le schéma. L'intérêt de notre approche repose sur le fait que l'on ne traite pas le cas d'un schéma particulier. Ainsi notre résultat s'applique aussi bien aux schémas d'Euler ($h=1$) que de Ninomiya Victoir ($h=2$) mais aussi à un ensemble générique de schémas. De plus les variables aléatoires utilisées dans le schéma n'ont pas de lois de probabilité imposées mais appartiennent à un ensemble de lois ce qui conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance. On illustrera également ce résultat dans le cas d'un schéma d'ordre 3 pour les EDSs unidimensionnelles. La deuxième partie de cette thèse traite le sujet de l'estimation des paramètres d'une EDS. Ici, on va se placer dans le cas particulier de l'Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multi-dimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) et a pour particularité la présence de la fonction racine carrée dans le coefficient de diffusion. Ainsi ce modèle permet de généraliser le modèle d'Heston au cas d'une covariance locale. Dans cette thèse nous construisons l'EMV des paramètres du Wishart. On donne également la vitesse de convergence et la loi limite pour le cas ergodique ainsi que pour certains cas non ergodiques. Afin de prouver ces convergences, nous emploierons diverses méthodes, en l'occurrence : les théorèmes ergodiques, des méthodes de changement de temps, ou l'étude de la transformée de Laplace jointe du Wishart et de sa moyenne. De plus, dans dernière cette étude, on étend le domaine de définition de cette transformée jointe.

Nous concevons un schéma numérique pour résoudre l'équation de programmation dynamique multi-pas (MDP) découlant de la discrétisation temporelle d'équations différentielles stochastiques à rebours. Le générateur est supposé être localement Lipschitz, ce qui inclut certains cas de conducteurs quadratiques. Lorsque la grande séquence d'espérances conditionnelles est calculée à l'aide de régressions empiriques des moindres carrés, dans des conditions générales, nous établissons une erreur de limite supérieure comme étant la moyenne, plutôt que la somme, des erreurs de régression locales seulement, ce qui suggère que notre estimation de l'erreur est serrée. Malgré les problèmes de régression imbriquée, les erreurs d'interdépendance sont justifiées pour être au plus de l'ordre des erreurs de régression statistique (jusqu'au facteur logarithmique). Enfin, nous optimisons les paramètres de l'algorithme, en fonction de la dimension et du lissage des fonctions de valeur, dans la limite où le maillage temporel devient nul et calculons la complexité nécessaire pour atteindre une précision donnée. Des expériences numériques sont présentées, illustrant les estimations théoriques de convergence.

Cette thèse traite de deux domaines d’analyse stochastique et de mathématiques financières: le calcul Malliavin pour chaînes de Markov (Partie I) et le risque de contrepartie (Partie II). La partie I a pour objectif l’étude du calcul Malliavin pour chaînes de Markov en temps continu. Il y est présenté deux points : démontrer l’existence de la densité pour les solutions d’une équation différentielle stochastique et calculer les sensibilités des produits dérivés. La partie II traite de sujets d’actualité dans le domaine du risque de marché, à savoir les XVA (ajustements de prix) et la modélisation multi-courbe.

Dans cet article, nous concevons un nouvel algorithme basé sur la méthode de Monte Carlo des moindres carrés (LSMC) afin d'approximer la solution d'équations différentielles stochastiques en temps discret (BSDE). Notre algorithme permet une parallélisation massive des calculs sur des dispositifs multicœurs tels que les processeurs graphiques (GPU). Notre approche consiste en une nouvelle méthode de stratification qui semble être cruciale pour la parallélisation à grande échelle.

Dans cet article, nous concevons un schéma numérique pour l'approximation des équations différentielles rétro-doublement stochastiques (BDSDE) qui représentent la solution des équations différentielles partielles stochastiques (SPDE). Nous utilisons d'abord une discrétisation temporelle, puis nous décomposons la fonction de valeur sur une base de fonctions. Les fonctions sont déterministes et ne dépendent que des variables spatio-temporelles, tandis que les coefficients de décomposition dépendent du mouvement brownien externe B. Les coefficients sont évalués par un schéma de régression empirique, qui est effectué conditionnellement à B. Nous établissons des estimations d'erreurs non asymptotiques, conditionnellement à B, et déduisons comment ajuster les paramètres pour obtenir une convergence conditionnelle et inconditionnelle à B. Nous fournissons également des expériences numériques.

Nous concevons un schéma d'échantillonnage par importance pour les équations différentielles stochastiques rétroactives (BSDE) qui minimise la variance conditionnelle apparaissant dans les algorithmes de Monte-Carlo des moindres carrés (LSMC). La dérivée de Radon-Nikodym dépend de la solution de l'EDSB et est donc calculée de manière adaptative dans la procédure LSMC. Pour permettre des estimations d'erreur robustes par rapport au changement de mesure inconnu, nous randomisons correctement la valeur initiale du processus d'avancement. Nous introduisons de nouvelles méthodes pour analyser l'erreur : premièrement, nous établissons des résultats de stabilité de la norme en raison de l'initialisation aléatoire. Deuxièmement, nous développons des techniques de concentration de mesure raffinées pour capturer la variance de la réduction. Nos résultats théoriques sont étayés par des expériences numériques.

Cet article consiste à fournir et à analyser mathématiquement l'expansion du prix d'une option (avec un payoff Lipschitz borné) pour un modèle combinant une volatilité locale et stochastique. La partie volatilité locale a une forme générale, avec des hypothèses de croissance et de bornage appropriées. Pour la partie stochastique, nous choisissons un processus de racine carrée, qui est largement utilisé pour modéliser le comportement du processus de variance (modèle de Heston). Nous établissons rigoureusement des estimations d'erreur serrées de nos expansions, en utilisant le calcul de Malliavin, qui nécessite un traitement minutieux en raison de l'absence de différentiabilité faible du modèle. cette analyse d'erreur est intéressante en soi. De plus, dans le cas particulier des options Call-Put, nous fournissons également des expansions de la volatilité implicite de Black-Scholes qui permettent d'obtenir des formules très simples et rapides par rapport à l'approche Monte Carlo tout en maintenant une précision très compétitive.

Nous dérivons des résultats d'expansion afin d'approximer la loi de la moyenne des marginaux des processus de diffusion. La moyenne est calculée en fonction d'un paramètre général qui intervient dans la dynamique de diffusion. Notre approximation est basée sur l'utilisation de proxys avec une distribution normale ou log-normale, de sorte que les termes d'expansion sont explicites. Nous fournissons des limites d'erreur non asymptotiques, qui justifient la précision de l'expansion lorsque le temps ou les coefficients de diffusion sont petits dans un sens approprié.

Dans cette thèse nous appliquons le calcul de Malliavin afin d’obtenir la propriété de normalité asymptotique locale (LAN) à partir d’observations discrètes de certains processus de diffusion uniformément elliptique avec sauts. Dans le Chapitre 2 nous révisons la preuve de la propriété de normalité mixte asymptotique locale (LAMN) pour des processus de diffusion avec sauts à partir d’observations continues, et comme conséquence nous obtenons la propriété LAN en supposant l’ergodicité du processus. Dans le Chapitre 3 nous établissons la propriété LAN pour un processus de Lévy simple dont les paramètres de dérive et de diffusion ainsi que l’intensité sont inconnus. Dans le Chapitre 4, à l’aide du calcul de Malliavin et des estimées de densité de transition, nous démontrons que la propriété LAN est vérifiée pour un processus de diffusion à sauts dont le coefficient de dérive dépends d’un paramètre inconnu. Finalement, dans la même direction nous obtenons dans le Chapitre 5 la propriété LAN pour un processus de diffusion à sauts où les deux paramètres inconnus interviennent dans les coefficients de dérive et de diffusion.

Je donne une introduction pédagogique au mouvement brownien, calcul stochastique introduit par Ito dans les années cinquante, en suivant l'approche élémentaire (du moins pas trop technique) de Follmer [Seminar on Probability, XV (Univ. Strasbourg, Strasbourg, 1979/1980) (français), pp. 143-150. Springer, Berlin, 1981]. Sur cette base, je développe la connexion avec les EDP paraboliques linéaires et semi-linéaires. Ensuite, je propose et analyse quelques méthodes de Monte Carlo pour approximer la solution de ces EDP. Ce cours est destiné aux étudiants de master, aux doctorants et aux chercheurs intéressés par la connexion des processus stochastiques avec les EDP et leur contrepartie numérique. Le lecteur est supposé être familier avec les concepts de base des probabilités (par exemple les premiers chapitres du livre Probability essentials de Jacod et Protter [Probability Essentials, 2nd edn. Springer, Berlin, 2003]), mais aucune connaissance a priori sur les martingales et les processus stochastiques n'est requise.

Pas de résumé disponible.

Nous concevons un nouvel algorithme stochastique (appelé SALT) qui approxime séquentiellement une fonction donnée dans L2 par rapport à une mesure de probabilité, en utilisant un échantillon fini de la distribution. En augmentant les ensembles de fonctions d'approximation et l'effort de simulation, nous calculons une approximation L2 avec une précision de plus en plus grande. L'effort de simulation est réglé d'une manière robuste qui assure la convergence dans des conditions assez générales. Ensuite, nous appliquons SALT pour construire des variables de contrôle efficaces pour une intégration numérique précise. Des exemples et des expériences numériques soutiennent l'analyse mathématique.

Cette courte note corrige une erreur (un facteur manque) dans deux formules relatives aux L 2 -limites, établies dans "Discrete time hedging errors for options with irregular payoffs" par E. Gobet et E. Temam, Finance and Stochastics, 5, 357-367 ( 2001 ). Copyright Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014.

Nous dérivons des résultats d'expansion afin d'approximer la loi de la moyenne des marginaux des processus de diffusion. La moyenne est calculée en fonction d'un paramètre général qui intervient dans la dynamique de diffusion. Notre approximation est basée sur l'utilisation de proxys avec une distribution normale ou log-normale, de sorte que les termes d'expansion sont explicites. Nous fournissons des limites d'erreur non asymptotiques, qui justifient la précision de l'expansion lorsque le temps ou les coefficients de diffusion sont petits dans un sens approprié.

Nous introduisons des transformations aléatoires appelées transformations d'agitation réversibles que nous utilisons pour concevoir deux schémas d'estimation de la probabilité d'événements rares. L'un est basé sur les systèmes de particules en interaction (IPS) et l'autre sur la moyenne temporelle sur un chemin unique (POP) en utilisant le théorème ergodique. Nous discutons leurs taux de convergence et fournissons des expériences numériques incluant des processus stochastiques continus et des processus de saut. Nos exemples couvrent des situations assez importantes liées aux assurances, aux systèmes de files d'attente et aux graphes aléatoires par exemple. Les deux schémas ont une bonne performance, avec une performance apparemment meilleure pour le POP.

Nous fournissons et analysons des approximations analytiques des BSDE dans la limite de la petite non-linéarité {et du temps court}, dans le cas de conducteurs non lisses. Nous identifions les approximations du premier et du second ordre dans le cadre de cette asymptotique et considérons deux applications financières d'actualité : le problème des deux taux d'intérêt et l'ajustement de la valeur du financement. Dans un cadre de diffusion à haute dimension, nous montrons comment calculer explicitement la formule du premier ordre en tirant parti des récentes techniques de substitution. Des tests numériques jusqu'à la dimension 10 illustrent l'efficacité des schémas numériques.

Nous concevons un schéma numérique pour résoudre l'équation de programmation dynamique à plusieurs étapes (MDP) découlant de la discrétisation temporelle d'équations différentielles stochastiques à rebours. Le générateur est supposé être localement Lipschitz, ce qui inclut certains cas de conducteurs quadratiques. Lorsque la grande séquence d'espérances conditionnelles est calculée à l'aide de régressions empiriques des moindres carrés, dans des conditions générales, nous établissons une erreur de limite supérieure comme étant la moyenne, plutôt que la somme, des erreurs de régression locales seulement, ce qui suggère que notre estimation de l'erreur est serrée. Malgré les problèmes de régression imbriquée, les erreurs d'interdépendance sont justifiées pour être au plus de l'ordre des erreurs de régression statistique (jusqu'au facteur logarithmique). Enfin, nous optimisons les paramètres de l'algorithme, en fonction de la dimension et du lissage des fonctions de valeur, dans la limite où le maillage temporel devient nul et calculons la complexité nécessaire pour atteindre une précision donnée. Des expériences numériques sont présentées, illustrant les estimations théoriques de convergence.

Nous étudions l'optimisation des $(p^Y,p^Z)-$variations conjointes de deux semimartingales continues $(Y,Z)$ pilotées par le même processus d'Itô $X$. Les $p$-variations sont définies sur des grilles aléatoires constituées d'un nombre fini de temps d'arrêt. Nous établissons une borne inférieure asymptotique explicite pour notre critère, valable en assez grande généralité sur les grilles, et nous exhibons des séquences minimisantes de forme temps d'arrêt. L'asymptotique est telle que les incréments spatiaux de $X$ et le nombre de points de grille convergent convenablement vers 0 et $+\infty$ respectivement.

Dans ce travail, nous étudions l'erreur de discrétisation optimale des intégrales stochastiques, dans le contexte de l'erreur de couverture.

Nous concevons un schéma numérique pour la résolution d'une équation de programmation dynamique avec des poids de Malliavin découlant de la discrétisation temporelle d'équations différentielles stochastiques rétroactives avec intégration par parties-représentation de la composante Z par [Ma-Zhang 2002]. Lorsque la séquence d'espérances conditionnelles est calculée à l'aide de régressions empiriques des moindres carrés, nous établissons, dans des conditions générales, des limites d'erreur serrées en tant que moyenne temporelle des erreurs de régression locales uniquement (jusqu'à des facteurs logarithmiques). Nous calculons la complexité de l'algorithme par une optimisation appropriée des paramètres, dépendant de la dimension et de la régularité des fonctions de valeur, dans la limite où le nombre de temps de grille va à l'infini. Les estimations tiennent compte de la régularité de la fonction terminale.

Nous fournissons et analysons des approximations analytiques des BSDE dans la limite de la petite non-linéarité {et du temps court}, dans le cas de conducteurs non lisses. Nous identifions les approximations du premier et du second ordre dans le cadre de cette asymptotique et considérons deux applications financières d'actualité : le problème des deux taux d'intérêt et l'ajustement de la valeur du financement. Dans un cadre de diffusion à haute dimension, nous montrons comment calculer explicitement la formule du premier ordre en tirant parti des récentes techniques de substitution. Des tests numériques jusqu'à la dimension 10 illustrent l'efficacité des schémas numériques.

Cette thèse comporte 8 chapitres. Le chapitre 1 est une introduction aux problématiques rencontrées sur les marchés énergétiques : fréquence d'intervention faible, coûts de transaction élevés, évaluation des options spread. Le chapitre 2 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option call dans le modèle de Bachelier, pour des coûts de transaction proportionnels (modèle de Leland-Lott) et lorsque la fréquence d'intervention devient infinie. Il est prouvé que cette erreur est bornée par une variable aléatoire proportionnelle au taux de transaction. Cependant, les démonstrations de convergence en probabilité demandent des régularités sur les sensibilités assez restrictives en pratique. Les chapitres suivants contournent ces obstacles en étudiant des convergences presque sûres. Le chapitre 3 développe tout d'abord de nouveaux outils de convergence presque sûre. Ces résultats ont de nombreuses conséquences sur le contrôle presque sûr de martingales et de leur variation quadratique, ainsi que de leurs incréments entre deux temps d'arrêt généraux. Ces résultats de convergence trajectorielle sont connus pour être difficiles à obtenir sans information sur les lois. Par la suite, nous appliquons ces résultats à la minimisation presque sûre de la variation quadratique renormalisée de l'erreur de couverture d'une option de payoff général (cadre multidimensionnel, payoff asiatique, lookback) sur une large classe de temps d'intervention. Une borne inférieure à notre critère est trouvée et une suite minimisante de temps d'arrêt optimale est exhibée : il s'agit de temps d'atteinte d'ellipsoïde aléatoire, dépendant du gamma de l'option. Le chapitre 4 étudie la convergence de l'erreur de couverture d'une option de payoff convexe (dimension 1) en prenant en compte des coûts de transaction à la Leland-Lott. Nous décomposons l'erreur de couverture en une partie martingale et une partie négligeable, puis nous minimisons la variation quadratique de cette martingale sur une classe de temps d'atteintes générales pour des Deltas vérifiant une certaine EDP non-linéaire sur les dérivées secondes. Nous exhibons aussi une suite de temps d'arrêt atteignant cette borne. Des tests numériques illustrent notre approche par rapport à une série de stratégies connues de la littérature. Le chapitre 5 étend le chapitre 3 en considérant une fonctionnelle des variations discrètes d'ordre Y et de Z de deux processus d'Itô Y et Z à valeurs réelles, la minimisation étant sur une large classe de temps d'arrêt servant au calcul des variations discrètes. Borne inférieure et suite minimisant sont obtenues. Une étude numérique sur les coûts de transaction est faite. Le chapitre 6 étudie la discrétisation d'Euler d'un processus multidimensionnel X dirigé par une semi-martingale d'Itô Y. Nous minimisons sur les temps de la grille de discrétisation un critère quadratique sur l'erreur du schéma. Nous trouvons une borne inférieure et une grille optimale, ne dépendant que des données observables. Le chapitre 7 donne un théorème limite centrale pour des discrétisations d'intégrale stochastique sur des grilles de temps d'atteinte d'ellipsoïdes adaptées quelconque. La corrélation limite est conséquence d'asymptotiques fins sur les problèmes de Dirichlet. Dans le chapitre 8, nous nous intéressons aux formules d'expansion pour les options sur spread, pour des modèles à volatilité locale. La clé de l'approche consiste à conserver la propriété de martingale de la moyenne arithmétique et à exploiter la structure du payoff call. Les tests numériques montrent la pertinence de l'approche.

Cette thèse est consacrée à l'approximation de l'espérance d'une fonctionnelle (pouvant dépendre de toute la trajectoire) appliquée à un processus de diffusion (pouvant être multidimensionnel). La motivation de ce travail vient des mathématiques financières où la valorisation d'options se réduit au calcul de telles espérances. La rapidité des calculs de prix et des procédures de calibration est une contrainte opérationnelle très forte et nous apportons des outils temps-réel (ou du moins plus compétitifs que les simulations de Monte Carlo dans le cas multidimensionnel) afin de combler ces besoins. Pour obtenir des formules d'approximation, on choisit un modèle proxy dans lequel les calculs analytiques sont possibles, puis nous utilisons des développements stochastiques autour de ce modèle proxy et le calcul de Malliavin afin d'approcher les quantités d'intérêt. Dans le cas où le calcul de Malliavin ne peut pas être appliqué, nous développons une méthodologie alternative combinant calcul d'Itô et arguments d'EDP. Toutes les approches (allant des EDPs à l'analyse stochastique) permettent d'obtenir des formules explicites et des estimations d'erreur précises en fonction des paramètres du modèle. Bien que le résultat final soit souvent le même, la dérivation explicite du développement peut être très différente et nous comparons les approches, tant du point de vue de la manière dont les termes correctifs sont rendus explicites que des hypothèses requises pour obtenir les estimées d'erreur. Nous considérons différentes classes de modèles et fonctionnelles lors des quatre Parties de la thèse. Dans la Partie I, nous nous concentrons sur les modèles à volatilité locale et nous obtenons des nouvelles formules d'approximation pour les prix, les sensibilités (delta) et les volatilités implicites des produits vanilles surpassant en précision les formules connues jusque-là. Nous présentons aussi des nouveaux résultats concernant la valorisation des options à départ différé. La Partie II traite de l'approximation analytique des prix vanilles dans les modèles combinant volatilité locale et stochastique (type Heston). Ce modèle est très délicat à analyser car ses moments ne sont pas tous finis et qu'il n'est pas régulier au sens de Malliavin. L'analyse d'erreur est originale et l'idée est de travailler sur une régularisation appropriée du payoff et sur un modèle habilement modifié, régulier au sens de Malliavin et à partir duquel on peut contrôler la distance par rapport au modèle initial. La Partie III porte sur la valorisation des options barrières régulières dans le cadre des modèles à volatilité locale. C'est un cas non considéré dans la littérature, difficile à cause de l'indicatrice des temps de sorties. Nous mélangeons calcul d'Itô, arguments d'EDP, propriétés de martingales et de convolutions temporelles de densités afin de décomposer l'erreur d'approximation et d'expliciter les termes correctifs. Nous obtenons des formules d'approximation explicites et très précises sous une hypothèse martingale. La Partie IV présente une nouvelle méthodologie (dénotée SAFE) pour l'approximation en loi efficace des diffusions multidimensionnelles dans un cadre assez général. Nous combinons l'utilisation d'un proxy Gaussien pour approcher la loi de la diffusion multidimensionnelle et une interpolation locale de la fonction terminale par éléments finis. Nous donnons une estimation de la complexité de notre méthodologie. Nous montrons une efficacité améliorée par rapport aux simulations de Monte Carlo dans les dimensions petites et moyennes (jusqu'à 10).

Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons l’existence d’une densité et des estimées gaussiennes pour la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde. C’est une application du calcul de Malliavin et plus particulièrement d’une formule d’I. Nourdin et de F. Viens. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la simulation d’une équation aux dérivées partielles stochastique par une méthode probabiliste qui repose sur la représentation de l’équation aux dérivées partielles stochastique en terme d’équation différentielle doublement stochastique rétrograde, introduite par E. Pardoux et S. Peng. On étend dans ce cadre les idées de F. Zhang et E. Gobet et al. sur la simulation d’une équation différentielle stochastique rétrograde. Dans la dernière partie, nous étudions l’erreur faible du schéma d’Euler implicite pour les processus de diffusion et l’équation de la chaleur stochastique. Dans le premier cas, nous étendons les résultats de D. Talay et L. Tubaro. Dans le second cas, nous étendons les travaux de A. Debussche.

Nous concevons une méthode de réduction de la variance pour réduire l'erreur d'estimation dans les problèmes de régression. Elle est basée sur une utilisation appropriée d'autres fonctions de régression connues. Des estimations théoriques soutiennent cette amélioration et des expériences numériques illustrent l'efficacité de la méthode.

Nous concevons une méthode de réduction de la variance pour réduire l'erreur d'estimation dans les problèmes de régression. Elle est basée sur une utilisation appropriée d'autres fonctions de régression connues. Des estimations théoriques soutiennent cette amélioration et des expériences numériques illustrent l'efficacité de la méthode.

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Pour les modèles généraux de volatilité locale dépendant du temps, nous proposons de nouvelles formules d'approximation pour le prix des options d'achat. Ceci étend les résultats précédents de [BGM10b] où des expansions stochastiques combinées avec le calcul de Malliavin ont été réalisées pour obtenir des formules d'approximation basées sur la volatilité locale At The Money. Ici, nous dérivons des expansions alternatives impliquant la volatilité locale à la grève. La moyenne des deux expansions donne des résultats encore plus précis. Des approximations de la volatilité implicite sont également fournies.

Nous dérivons une approximation analytique faible d'un processus de diffusion multidimensionnel lorsque les coefficients ou le temps sont petits. Notre méthode combine l'utilisation de proxys gaussiens pour approximer la loi de la diffusion et une interpolation par éléments finis de la fonction terminale appliquée à la diffusion. Nous appelons cette méthode la méthode d'approximation stochastique par éléments finis (SAFE en abrégé). Nous fournissons des limites d'erreur de notre approximation globale en fonction des coefficients du processus de diffusion, de l'horizon temporel et de la régularité de la fonction terminale. Nous donnons ensuite des estimations du coût de calcul de notre algorithme. Nous montrons une efficacité améliorée par rapport aux méthodes de Monte-Carlo en petites et moyennes dimensions (jusqu'à 10), ce qui est confirmé par des expériences numériques.

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Des travaux récents dans le domaine des mathématiques financières ont fait émerger l'importance de l'étude de la régularité et du comportement fin des queues de distribution pour certaines classes de diffusions à coefficients non globalement réguliers. Dans cette thèse, nous traitons des problèmes issus de ce contexte. Nous étudions d'abord l'existence, la régularité et l'asymptotique en espace de densités pour les solutions d'équations différentielles stochastiques en n'imposant que des conditions locales sur les coefficients de l'équation. Notre analyse se base sur les outils du calcul de Malliavin et sur des estimations pour les processus d'Ito confinés dans un tube autour d'une courbe déterministe. Nous obtenons des estimations significatives de la fonction de répartition et de la densité dans des classes de modèles comprenant des généralisations du CIR et du CEV et des modèles à volatilité locale-stochastique : dans ce deuxième cas, les estimations entraînent l'explosion des moments du sous-jacent et ont ainsi un impact sur le comportement asymptotique en strike de la volatilité implicite. La modélisation paramétrique de la surface de volatilité, à son tour, fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons le modèle SVI de J. Gatheral, en proposant une nouvelle stratégie de calibration quasi-explicite, dont nous illustrons les performances sur des données de marché. Ensuite, nous analysons la capacité du SVI à générer des approximations pour les smiles symétriques, en le généralisant à un modèle dépendant du temps. Nous en testons l'application à un modèle de Heston (sans et avec déplacement), en générant des approximations semi-fermées pour le smile de volatilité.

Cette thèse développe une nouvelle méthodologie permettant d'établir des approximations analytiques pour les prix des options européennes. Notre approche combine astucieusement des développements stochastiques et le calcul de Malliavin afin d'obtenir des formules explicites et des évaluations d'erreur précises. L'intérêt de ces formules réside dans leur temps de calcul qui est aussi rapide que celui de la formule de Black et Scholes. Notre motivation vient du besoin croissant de calculs et de procédures de calibration en temps réel, tout en contrôlant les erreurs numériques reliées aux paramètres du modèle. On traite ainsi quatre catégories de modèles, en réalisant des paramétrisations spécifiques pour chaque modèle afin de mieux cibler le bon modèle proxy et obtenir ainsi des termes correctifs faciles à évaluer. Les quatre parties traitées sont : les diffusions avec sauts, les volatilités locales ou modèles à la Dupire, les volatilités stochastiques et finalement les modèles hybrides (taux-action). Il faut signaler aussi que notre erreur d'approximation est exprimée en fonction de tous les paramètres du modèle en question et est analysée aussi en fonction de la régularité du payoff.

Cette thèse concerne trois sujets de probabilités numériques et de mathématiques financières. D'abord, nous étudions le module de régularité L2 en temps de la composante Z d'une EDSR markovienne à coefficients lipschitziens, mais dont la fonction terminale g est irrégulière. Ce module est lié à l'erreur d'approximation par schéma d'Euler. Nous montrons, de façon optimale, que l'ordre de convergence est explicitement lié à la régularité fractionnaire de g. Ensuite, nous proposons une méthode de Monte-Carlo séquentielle pour le calcul efficace du prix d'une tranche de CDO, basée sur des variables de contrôle séquentielles, dans un cadre où les taux de recouvrement sont aléatoires et i. I. D. Enfin, nous analysons l'erreur de couverture associée à la stratégie en Delta-Gamma. La régularité fractionnaire de la fonction payoff joue un rôle crucial dans le choix des dates de rebalancement, afin d'atteindre des vitesses de convergence optimales.

Deux thématiques différentes des probabilités numériques et de leurs applications financières sont abordées dans ma thèse: l'une traite de l'approximation et de la simulation d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), l'autre est liée aux options américaines et les aborde du point de vue de l'optimisation de domaine et des perturbations de frontière. La première partie de ma thèse revisite la question d'analyse de convergence dans la discrétisation en temps d' EDSR markoviennes (Y,Z) en une équation de programmation dynamique de n pas de temps. Nous établissons un développement limité à l'ordre 1 de l'erreur sur (Y,Z) : précisément, l'erreur trajectorielle sur X se transfère intégralement sur l'EDSR et montre ainsi que si X est approché avec précision ou simulé exactement, de meilleurs vitesses sont possibles (en 1/n). La seconde partie de ma thèse s'intéresse à la résolution des EDSR via le procédé de Picard et les méthodes de Monte Carlo séquentielles. Nous avons montré que la convergence de notre algorithme a lieu à vitesse géométrique et avec une précision indépendante au 1er ordre du nombre de simulations. La dernière partie de ma thèse regroupe des premiers résultats sur la valorisation d'options américaines par optimisation de la frontière d'exercice. La clé de voûte de ce type d'approche est la capacité à évaluer un gradient par rapport à la frontière. Le temps continu a été traité par Costantini et al (2006) et cette thèse couvre le cas discret des options Bermuda.

Nous présentons quelques contributions à la simulation et à l'analyse de discrétisation de processus, avec leurs applications notamment en finance. Nous avons regroupé nos travaux selon 4 thèmes: 1. statistique des processus avec observations discrètes. 2. couverture en temps discret en finance. 3. sensibilités d'espérances. 4. analyses d'erreurs de discrétisation. Le premier chapitre sur la statistique des processus est assez indépendant du reste. En revanche, les trois autres chapitres correspondent à une cohérence et une progression dans les questions soulevées. Néanmoins au fil de la lecture, on remarquera des liens entre les quatre parties: différentiation par rapport à des domaines et amélioration de simulation de temps de sortie, sensibilités d'espérances et statistique asymptotique avec le calcul de Malliavin, sensibilités d'espérances et analyse d'erreur etc. Les preuves des résultats s'appuient notamment sur les outils du calcul de Malliavin, des martingales, des Équations aux Dérivées Partielles et de leurs liens avec les Équations Différentielles Stochastiques.

Cette these est constituee de deux chapitres, consacres a l'approximation par schemas d'euler de l'esperance d'une certaine fonctionnelle de la trajectoire d'un processus de diffusion multidimensionnel entre les instants 0 et t. Nous nous interessons a la loi en t de la diffusion tuee a sa sortie d'un ouvert d : la fonctionnelle en question est egale a une fonction f de la valeur du processus en t si le processus est reste dans d entre les temps 0 et t, et vaut 0 si le processus en est sorti. La motivation de ce travail provient des mathematiques financieres, ou l'evaluation du prix d'options barriere se ramene au calcul de ce type d'esperance. Pour obtenir une valeur approchee de cette esperance, on discretise la diffusion avec un schema d'approximation et on evalue l'esperance de la fonctionnelle pour le schema par une methode de monte-carlo. Dans le premier chapitre, nous considerons le schema d'euler en temps continu, obtenu a partir d'une subdivision reguliere de l'intervalle de temps, et nous analysons l'erreur d'approximation en fonction du pas de discretisation. L'utilisation du calcul de malliavin permet d'atteindre le cas ou la fonction f est seulement mesurable. La simulation par methode de monte-carlo est aisee dans le cas unidimensionnel, mais devient plus delicate en dimension superieure. Dans le second chapitre, nous considerons le schema d'euler en temps discret. Dans ce cas, la simulation est facile independamment de la dimension, mais l'erreur d'approximation est plus importante que dans le cas continu. L'analyse de l'erreur nous amene en particulier a expliciter une decomposition semimartingale de la projection orthogonale sur la fermeture de d d'une semimartingale continue.