Quantification de l'incertitude pour les limites d'approximation stochastique en utilisant l'expansion du chaos.

Résumé Nous analysons la quantification de l'incertitude pour la limite d'un algorithme d'approximation stochastique (SA). Dans notre configuration, cette limite $\targetfn$ est définie comme un zéro d'une fonction intraitable et est modélisée comme incertaine par un paramètre $\param$. Nous cherchons à dériver la fonction $\targetfn$, ainsi que la distribution probabiliste de $\targetfn(\param)$ étant donné une distribution de probabilité $\pi$ pour $\param$. Nous introduisons l'algorithme appelé Uncertainty Quantification for SA (UQSA), un algorithme SA en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'une expansion de chaos de $\param \mapsto \targetfn(\param)$ sur une base orthogonale d'un espace de Hilbert approprié. UQSA, exécuté avec un nombre fini d'itérations $K$, retourne un ensemble fini de coefficients, fournissant une approximation $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ de $\targetfn(\cdot)$. Nous établissons les convergences presque sûres et $L^p$ dans l'espace de Hilbert de la séquence de fonctions $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ lorsque le nombre d'itérations $K$ tend vers l'infini. Ceci est fait dans des conditions douces et faciles, découvertes par la littérature existante pour l'analyse de convergence des algorithmes de SA de dimension infinie. Pour un choix approprié de la base de Hilbert, l'algorithme fournit également une approximation de l'espérance, de la matrice de variance-covariance et des moments d'ordre supérieur de la quantité $\widehat{\targetfn_K}(\param)$ lorsque $\param$ est aléatoire avec la distribution $\pi$. UQSA est illustré et le rôle de ses paramètres de conception est discuté numériquement.