CREPEY Stephane

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Cette thèse traite du calcul des X-valorisation d'ajustement, où X englobe C pour le crédit, F pour le financement, M pour la marge et K pour le capital. Nous étudions différentes approches basées sur la simulation imbriquée et implémentées sur des unités de traitement graphique (GPU). Nous examinons d'abord le problème, pour une assurance ou une banque, du calcul numérique de son capital économique sous la forme d'une "value-at-risk" ou d'une "expected shortfall" de sa perte sur un horizon de temps donné. En utilisant une approche d'approximation stochastique sur la value-at-risk, ou l'expected shortfall nous établissons la convergence des schémas résultants de la simulation du capital économique. Ensuite, nous présentons une approche de Monte Carlo imbriquée (NMC) pour le calcul des XVA. Nous montrons que le calcul global des XVA implique cinq niveaux de dépendance. Les couches les plus hautes sont d'abord lancées et déclenchent des simulations imbriquées à la volée si nécessaire pour calculer un élément à partir d'une couche inférieure. Enfin, nous présentons un algorithme basé sur un Monte Carlo imbriqué à une couche (1NMC) pour simuler les fonctions U d'un processus de Markov X. La principale originalité de la méthode proposée provient du fait qu'elle fournit une recette pour simuler U_{t>=s} conditionnellement à X_s. La généralité, la stabilité et le caractère itératif de cet algorithme, même en haute dimension, en font la force.

L'Approximation Stochastique est une procédure itérative pour le calcul d'un zero θ d'une fonction non explicite mais définie comme une espérance. C'est par exemple un outil numérique pour le calcul du maximum de vraisemblance dans des modèlesà données latentes "réguliers". Si la définition du modèle statistique est entachée d'une incertitude τ , dont on ne connaît qu'un a priori dπ(τ), alors les zeros dépendent de τ et la question naturelle est d'explorer leur distribution lorsque τ ∼ dπ. Dans ce papier, nous proposons un algorithme itératif basé sur un schéma d'Approximation Stochastique qui,à la limite, calcule θ (τ) pour tout τ et produit une caractérisation de sa distribution. et nousénonçons des conditions suffisantes pour la convergence de cet algorithme.

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Nous considérons le problème du calcul numérique de son capital économique par une assurance ou une banque, sous la forme d'une valeur en risque ou d'un manque à gagner attendu de sa perte sur un horizon temporel donné. Cette perte comprend l'appréciation du mark-to-model du passif de l'entreprise, que nous prenons en compte par Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja (2010) ou par régression à la Broadie, Du, et Moallemi (2015). En utilisant un point de vue d'approximation stochastique sur la valeur en risque et le manque à gagner attendu, nous établissons la convergence des schémas de simulation du capital économique qui en résultent, sous des hypothèses légères qui ne portent que sur le problème théorique limitatif en question, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d'approximation de Gordy-Juneja (2010) et Broadie-Du-Moallemi (2015). Nos estimations de capital économique peuvent alors être rendues conditionnelles dans un cadre de Markov et intégrées dans une simulation de Monte Carlo externe pour donner la marge de risque de l'entreprise, correspondant à une marge de valeur de marché (MVM) dans l'assurance ou à un ajustement de l'évaluation du capital (KVA) dans la par- lance bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas de KVA implémentée sur GPUs.

Nous considérons le problème du calcul numérique de son capital économique par une assurance ou une banque, sous la forme d'une valeur en risque ou d'un manque à gagner attendu de sa perte sur un horizon temporel donné. Cette perte comprend l'appréciation du mark-to-model du passif de l'entreprise, que nous prenons en compte par Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja (2010) ou par régression à la Broadie, Du, et Moallemi (2015). En utilisant un point de vue d'approximation stochastique sur la valeur en risque et le manque à gagner attendu, nous établissons la convergence des schémas de simulation du capital économique qui en résultent, sous des hypothèses légères qui ne portent que sur le problème théorique limitatif en question, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d'approximation de Gordy-Juneja (2010) et Broadie-Du-Moallemi (2015). Nos estimations de capital économique peuvent alors être rendues conditionnelles dans un cadre de Markov et intégrées dans une simulation de Monte Carlo externe pour donner la marge de risque de l'entreprise, correspondant à une marge de valeur de marché (MVM) dans l'assurance ou à un ajustement de l'évaluation du capital (KVA) dans la par- lance bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas KVA implémentée sur GPUs.

Nous entamons ce rapport de thèse par l’évaluation de l’espérance espérée qui représente une des composantes majeures des ajustements XVA. Sous l’hypothèse d’indépendance entre l’exposition et les coûts de financement et de crédit, nous dérivons dans le chapitre 3 une représentation nouvelle de l’exposition espérée comme la solution d’une équation différentielle ordinaire par rapport au temps d’observation du défaut. Nous nous basons, pour le cas unidimensionnel, sur des arguments similaires à ceux de la volatilité locale de Dupire. Et pour le cas multidimensionnel, nous nous référons à la formule de la Co-aire. Cette représentation permet d’expliciter l’impact de la volatilité sur l’exposition espérée : Cette valeur temps fait intervenir la volatilité des sous-jacents ainsi que la sensibilité au premier ordre du prix, évalués sur un ensemble fini de points. Malgré des limitations numériques, cette méthode est une approche précise et rapide pour la valorisation de la XVA unitaire en dimension 1 et 2.Les chapitres suivants sont dédiés aux aspects du risque de corrélations entre les enveloppes d’expositions et les coûts XVA. Nous présentons une modélisation du risque général de corrélation à travers une diffusion stochastique multivariée, comprenant à la fois les sous-jacents des dérivés et les intensités de défaut. Dans ce cadre, nous exposons une nouvelle approche de valorisation par développements asymptotiques, telle que le prix d’un ajustement XVA correspond au prix de l’ajustement à corrélation nulle, auquel s’ajoute une somme explicite de termes correctifs. Le chapitre 4 est consacré à la dérivation technique et à l’étude de l’erreur numérique dans le cadre de la valorisation de dérivés contingents au défaut. La qualité des approximations numériques dépend uniquement de la régularité du processus de diffusion de l’intensité de crédit, et elle est indépendante de la régularité de la fonction payoff. Les formules de valorisation pour CVA et FVA sont présentées dans le chapitre 5. Une généralisation des développements asymptotiques pour le cadre bilatéral de défaut est adressée dans le chapitre 6.Nous terminons ce mémoire en abordant un cas du risque spécifique de corrélation lié aux contrats de migration de rating. Au-delà des formules de valorisation, notre contribution consiste à présenter une approche robuste pour la construction et la calibration d’un modèle de transition de ratings consistant avec les probabilités de défaut implicites de marché.

Nous présentons une approche de Monte Carlo imbriquée (NMC) mise en œuvre sur des unités de traitement graphique (GPU) pour les ajustements X-valuation (XVA), où X varie entre C pour le crédit, F pour le financement, M pour la marge et K pour le capital. L'ensemble de la suite XVA comprend cinq couches de dépendance composées. Les couches supérieures sont lancées en premier et déclenchent des simulations imbriquées à la volée lorsque cela est nécessaire pour calculer un élément d'une couche inférieure. Si l'utilisateur n'est intéressé que par certains des composants de la XVA, seul le sous-arbre correspondant à la XVA la plus externe doit être traité informatiquement. Les couches internes ne nécessitent qu'une racine carrée de simulation par rapport à la couche la plus externe. Certaines des couches présentent une variance plus faible. Par conséquent, avec les GPU au moins, les calculs NMC XVA avec contrôle des erreurs sont réalisables. Mais, bien que NMC soit naïvement adapté à la parallélisation, une implémentation GPU des calculs NMC XVA nécessite diverses optimisations. Ceci est illustré par des calculs XVA impliquant des actions, des taux d'intérêt et des dérivés de crédit, pour des mesures XVA de compensation bilatérale et centrale.

La préoccupation constante concernant le risque systémique depuis l'éclatement de la crise financière mondiale a mis en évidence la nécessité de mesurer le risque au niveau d'ensembles de composants financiers interconnectés, tels que les portefeuilles, les institutions ou les membres de chambres de compensation. Les deux principaux problèmes de la mesure du risque systémique sont le calcul d'un niveau de réserve global et son allocation aux différentes composantes en fonction de leur pertinence systémique. Nous développons ici une approche pragmatique de la mesure et de l'allocation du risque systémique basée sur des mesures multivariées du risque d'insuffisance, où les allocations acceptables sont d'abord calculées, puis agrégées de manière à minimiser les coûts. Nous analysons la sensibilité des allocations de risque à divers facteurs et soulignons sa pertinence en tant qu'indicateur du risque systémique. En particulier, nous étudions l'interaction entre la fonction de perte et la structure de dépendance des composants. De plus, nous abordons les aspects computationnels de la répartition des risques. Enfin, nous appliquons cette méthodologie à l'allocation du fonds de défaut d'une CCP sur des données réelles.

Deux schémas de Monte Carlo non linéaires, à savoir l'expansion de Monte Carlo linéaire avec randomisation de Fujii et Takahashi (2012a, 2012b) et le schéma de diffusion à branchement marqué de Henry-Labordère (2012), sont comparés en termes d'applicabilité et de comportement numérique concernant les calculs de risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Ceci est fait dans deux modèles de copule dynamique du risque de crédit de portefeuille : le modèle de copule dynamique gaussien et le modèle dans lequel la dépendance au défaut provient de défauts conjoints. Pour de tels problèmes de prix non linéaires et de haute dimension, les schémas déterministes ou de simulation/régression plus standards sont exclus par la " malédiction de la dimensionnalité " de Bellman et seuls des schémas de Monte Carlo purement prospectifs peuvent être utilisés.

Les opérations bancaires sont en train d'être réorganisées autour des mesures de la XVA qui quantifient l'incomplétude du marché. Ce document se concentre sur le coût de financement de la marge de variation et le coût du capital, c'est-à-dire la FVA et la KVA. Les deux métriques sont liées puisque le capital économique est lui-même une source de financement. Des évaluations exactes nécessitent des simulations des coûts de capital et de financement. Motivés par le pilier II de Bâle, Solvabilité II et la phase II de l'IFRS 4, nous proposons une approche de principe pour les traitements réglementaires comptables de la FVA et de la KVA.

Dans Crépey [9], une approche de modélisation du risque de contrepartie de forme réduite de base a été introduite sous une hypothèse d'immersion standard entre une filtration de référence et la filtration progressivement élargie par les temps de défaut des deux parties. Cette configuration de base, avec une hypothèse de continuité connexe sur certaines des données au premier temps de défaut des deux parties, est trop restrictive pour les applications de risque de fausse route et d'écart, comme le risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Cet article présente une extension de l'approche de base, la met en œuvre à travers des temps de défaut marqués et l'applique au risque de contrepartie sur les dérivés de crédit.

Sur les marchés incomplets, la perspective de base de Black et Scholes doit être complétée par l'évaluation des imperfections du marché. Sinon, on aboutit à des schémas de Ponzi de Black et Scholes, comme ceux qui ont été au cœur de la dernière crise financière mondiale, où il faut émettre toujours plus de produits dérivés pour rémunérer le capital attiré par les positions déjà ouvertes. Dans cet article, nous considérons les équations durables de Black-Scholes qui apparaissent pour un portefeuille d'options si l'on ajoute à leur prix additif de Black-Scholes, en plus d'un coût de financement non linéaire, le coût de rémunération à un taux de rendement minimal (hurdle rate) du risque résiduel laissé par une couverture imparfaite. Nous évaluons l'impact de l'incertitude du modèle dans cette configuration.

Nous présentons une approche de Monte Carlo imbriquée (NMC) mise en œuvre sur des unités de traitement graphique (GPU) pour les ajustements X-valuation (XVA), où X varie entre C pour le crédit, F pour le financement, M pour la marge et K pour le capital. L'ensemble de la suite XVA comprend cinq couches de dépendance composées. Les couches supérieures sont lancées en premier et déclenchent des simulations imbriquées à la volée lorsque cela est nécessaire pour calculer un élément d'une couche inférieure. Si l'utilisateur n'est intéressé que par certains des composants de la XVA, seul le sous-arbre correspondant à la XVA la plus externe doit être traité informatiquement. Les couches internes ne nécessitent qu'une racine carrée de simulation par rapport à la couche la plus externe. Certaines des couches présentent une variance plus faible. Par conséquent, avec les GPU au moins, les calculs NMC XVA avec contrôle des erreurs sont réalisables. Mais, bien que NMC soit naïvement adapté à la parallélisation, une implémentation GPU des calculs NMC XVA nécessite diverses optimisations. Ceci est illustré par des calculs XVA impliquant des actions, des taux d'intérêt et des dérivés de crédit, pour des mesures XVA de compensation bilatérale et centrale.

Cet article développe une analyse XVA (coûts) des transactions compensées centralement, parallèle à celle qui a été développée ces dernières années pour les transactions bilatérales. Nous introduisons un cadre dynamique qui incorpore la séquence des flux de trésorerie impliqués dans la cascade de ressources d'une chambre de compensation. Le coût total du cadre de compensation pour un membre, appelé CCVA (Central Clearing Valuation Adjustment), est décomposé en une CVA correspondant au coût de ses pertes sur le fonds de défaut en cas de défaut d'un autre membre, une MVA correspondant au coût de financement de ses marges et une KVA correspondant au coût du capital réglementaire ainsi que du capital à risque que le membre fournit implicitement à la CCP par sa contribution au fonds de défaut. Au final, la structure des équations XVA pour les portefeuilles bilatéraux et compensés est similaire, mais les données d'entrée de ces équations ne sont pas les mêmes, reflétant des structures de réseaux financiers différentes. Les chiffres de XVA qui en résultent diffèrent, mais, fait intéressant, ils deviennent comparables après avoir été mis à l'échelle par un ratio de compensation approprié.

Nous prouvons que les temps de défaut (ou n'importe lequel de leurs minima) dans le modèle de copule gaussienne dynamique de Crépey, Jeanblanc et Wu (2013) sont des temps d'invariance au sens de Crépey et Song (2017), avec des mesures de probabilité d'invariance connexes différentes de la mesure de tarification. Cela reflète un écart par rapport à la propriété d'immersion, selon laquelle les intensités de défaut des noms survivants et donc la valeur de la protection du crédit connaissent un pic aux temps de défaut. Ces propriétés sont conformes à la caractéristique de risque de fausse route du risque de contrepartie intégré dans les dérivés de crédit, c'est-à-dire la dépendance négative entre le risque de défaut d'une contrepartie et une exposition sous-jacente aux dérivés de crédit.

Nous prouvons que les temps de défaut (ou n'importe lequel de leurs minima) dans le modèle de copule gaussienne dynamique de Crépey, Jeanblanc et Wu (2013) sont des temps d'invariance au sens de Crépey et Song (2017), avec des mesures de probabilité d'invariance connexes différentes de la mesure de tarification. Cela reflète un écart par rapport à la propriété d'immersion, selon laquelle les intensités de défaut des noms survivants et donc la valeur de la protection du crédit connaissent un pic aux temps de défaut. Ces propriétés sont conformes à la caractéristique de risque de fausse route du risque de contrepartie intégré dans les dérivés de crédit, c'est-à-dire la dépendance négative entre le risque de défaut d'une contrepartie et une exposition sous-jacente aux dérivés de crédit.

Nous analysons la quantification de l'incertitude pour la limite d'un algorithme d'approximation stochastique (SA). Dans notre configuration, cette limite $\targetfn$ est définie comme un zéro d'une fonction intraitable et est modélisée comme incertaine par un paramètre $\param$. Nous cherchons à dériver la fonction $\targetfn$, ainsi que la distribution probabiliste de $\targetfn(\param)$ étant donné une distribution de probabilité $\pi$ pour $\param$. Nous introduisons l'algorithme appelé Uncertainty Quantification for SA (UQSA), un algorithme SA en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'une expansion de chaos de $\param \mapsto \targetfn(\param)$ sur une base orthogonale d'un espace de Hilbert approprié. UQSA, exécuté avec un nombre fini d'itérations $K$, retourne un ensemble fini de coefficients, fournissant une approximation $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ de $\targetfn(\cdot)$. Nous établissons les convergences presque sûres et $L^p$ dans l'espace de Hilbert de la séquence de fonctions $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ lorsque le nombre d'itérations $K$ tend vers l'infini. Ceci est fait dans des conditions douces et faciles, découvertes par la littérature existante pour l'analyse de convergence des algorithmes de SA de dimension infinie. Pour un choix approprié de la base de Hilbert, l'algorithme fournit également une approximation de l'espérance, de la matrice de variance-covariance et des moments d'ordre supérieur de la quantité $\widehat{\targetfn_K}(\param)$ lorsque $\param$ est aléatoire avec la distribution $\pi$. UQSA est illustré et le rôle de ses paramètres de conception est discuté numériquement.

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Sur les marchés incomplets, la perspective de base de Black et Scholes doit être complétée par l'évaluation des imperfections du marché. Sinon, on aboutit à des schémas de Ponzi de Black et Scholes, comme ceux qui ont été au cœur de la dernière crise financière mondiale, où il faut émettre toujours plus de produits dérivés pour rémunérer le capital attiré par les positions déjà ouvertes. Dans cet article, nous considérons les équations durables de Black-Scholes qui apparaissent pour un portefeuille d'options si l'on ajoute à leur prix additif de Black-Scholes, en plus d'un coût de financement non linéaire, le coût de rémunération à un taux de rendement minimal (hurdle rate) du risque résiduel laissé par une couverture imparfaite. Nous évaluons l'impact de l'incertitude du modèle dans cette configuration.

Sur un espace de probabilité $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{Q})$ on considère deux filtrations $\mathbb{F}\sous-ensemble \mathbb{G}$ et un temps d'arrêt $\mathbb{G}$ tel que les processus prévisibles $\mathbb{G}$ coïncident avec les processus prévisibles $\mathbb{F}$ sur $(0,\theta]$. Dans cette configuration, il est bien connu que, pour toute semimartingale $X$, le processus $X^{\theta-}$ ($X$ s'est arrêté "juste avant $\theta$") est une semimartingale $\mathbb{G}$. Étant donné une constante positive $T$, on appelle $\theta$ un temps d'invariance s'il existe une mesure de probabilité $\mathbb{P}$ équivalente à $\mathbb{Q}$ sur $\mathcal{F}_T$ telle que, pour toute $(\mathbb{F},\mathbb{P})$ martingale locale $X$, $X^{\theta-}$ est une $(\mathbb{G},\mathbb{Q})$ martingale locale. Nous caractérisons les temps d'invariance en termes de supermartingale d'Az\'ema de $\theta$ et nous dérivons une condition de suffisance de temps d'invariance douce et traçable. Nous discutons des temps d'invariance en finance mathématique et des applications BSDE.

Cette thèse traite de diverses problématiques ayant trait à la gestion du collatéral dans le contexte du trading centralisé au travers des chambres de compensation. Préliminairement, nous présentons les notions de coûts de capital et coût de financement pour une banque, en les replaçant dans un cadre Black–Scholes élémentaire où le payoff d’un call standard tient lieu d’exposition au défaut d’une contrepartie. On suppose que la banque ne couvre qu’imparfaitement ce call et doit faire face à un coût de financement supérieur au taux sans risque, d’où des corrections de pricing de type FVA et KVA par rapport au prix Black–Scholes. Nous nous intéressons ensuite aux coûts auxquels une banque doit faire face lorsqu’elle trade dans le cadre d’une CCP. A cette fin, nous transposons au trading centralisé le cadre d’analyse XVA du trading bilatéral. Le coût total pour un membre de trader au travers d’une CCP est ainsi décomposé en une CVA correspondant au coût pour le membre de renflouer sa contribution au fonds de garantie en cas de pertes consécutives aux défauts d’autres membres, une MVA correspondant au coût de financement de sa marge initiale et une KVA correspondant au coût du capital mis à risque par le membre sous la forme de sa contribution au fonds de garantie. Nous remettons ensuite en cause les hypothèses réglementaires précédemment utilisées, nous intéressant à des alternatives dans lesquelles les membres auraient recours pour leur marge initiale à une tierce partie, qui posterait la marge à la place du membre en échange d’une rémunération. Nous considérons également un mode de calcul du fonds de garantie et de son allocation qui prennent en compte le risque de la chambre au sens des fluctuations de son P&L sur l’année suivante, tel qu’il résulte de la combinaison des risque de marché et des risques de défaut des membres. Enfin, nous proposons l’application de méthodologies de type mesures de risque multivariées pour le calcul des marges et/ou du fonds de garantie des membres. Nous introduisons une notion de mesures de risque systémiques au sens où elles présentent une sensibilité non seulement aux risques marginaux des composantes d’un système financier (par exemple, mais non nécessairement, les positions des membres d’une CCP), mais aussi à leur dépendance.

En finance, le risque de modèle est le risque de pertes financières résultant de l'utilisation de modèles. Il s'agit d'un risque complexe à appréhender qui recouvre plusieurs situations très différentes, et tout particulièrement le risque d'estimation (on utilise en général dans un modèle un paramètre estimé) et le risque d'erreur de spécification de modèle (qui consiste à utiliser un modèle inadéquat). Cette thèse s'intéresse d'une part à la quantification du risque de modèle dans la construction de courbes de taux ou de crédit et d'autre part à l'étude de la compatibilité des indices de Sobol avec la théorie des ordres stochastiques. Elle est divisée en trois chapitres. Le Chapitre 1 s'intéresse à l'étude du risque de modèle dans la construction de courbes de taux ou de crédit. Nous analysons en particulier l'incertitude associée à la construction de courbes de taux ou de crédit. Dans ce contexte, nous avons obtenus des bornes de non-arbitrage associées à des courbes de taux ou de défaut implicite parfaitement compatibles avec les cotations des produits de référence associés. Dans le Chapitre 2 de la thèse, nous faisons le lien entre l'analyse de sensibilité globale et la théorie des ordres stochastiques. Nous analysons en particulier comment les indices de Sobol se transforment suite à une augmentation de l'incertitude d'un paramètre au sens de l'ordre stochastique dispersif ou excess wealth. Le Chapitre 3 de la thèse s'intéresse à l'indice de contraste quantile. Nous faisons d'une part le lien entre cet indice et la mesure de risque CTE puis nous analysons, d'autre part, dans quelles mesures une augmentation de l'incertitude d'un paramètre au sens de l'ordre stochastique dispersif ou excess wealth entraine une augmentation de l'indice de contraste quantile. Nous proposons enfin une méthode d'estimation de cet indice. Nous montrons, sous des hypothèses adéquates, que l'estimateur que nous proposons est consistant et asymptotiquement normal.

À la suite de la crise financière mondiale de 2007, les banques ont commencé à prendre en compte dans la tarification des produits dérivés le coût du capital et du financement des garanties par le biais de la mesure XVA. XVA est un acronyme fourre-tout dans lequel X est remplacé par une lettre telle que C pour crédit, D pour dette, F pour financement, K pour capital, etc. et VA pour ajustement de la valorisation. Ce comportement va à l'encontre des économies où les marchés des créances contingentes sont complets, où les transactions sont compensées à leur juste valeur et où les coûts du capital et des garanties ne sont pas pertinents pour les décisions d'investissement. Dans cet article, nous présentons un formalisme mathématique pour la gestion des portefeuilles de produits dérivés sur des marchés incomplets pour les banques. Un accent particulier est mis sur le problème de la recherche de stratégies optimales pour les bénéfices non distribués qui garantissent une politique de dividendes durable.

Dans Crépey [9], une approche de modélisation du risque de contrepartie de forme réduite de base a été introduite sous une hypothèse d'immersion standard entre une filtration de référence et la filtration progressivement élargie par les temps de défaut des deux parties. Cette configuration de base, avec une hypothèse de continuité connexe sur certaines des données au premier temps de défaut des deux parties, est trop restrictive pour les applications de risque de fausse route et d'écart, comme le risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Cet article présente une extension de l'approche de base, la met en œuvre à travers des temps de défaut marqués et l'applique au risque de contrepartie sur les dérivés de crédit.

Nous considérons le problème de l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt dans la configuration post-crise. Nous développons un modèle à courbes multiples, établi dans le cadre du HJM et piloté par un processus de L ́evy. Nous procédons à une calibration conjointe sur les swaptions OTM et les swaptions ATM co-terminales de différentes durées, la calibration sur les swaptions OTM garantissant que le modèle capture correctement les effets de sourire de la volatilité et la calibration sur les swaptions ATM co-terminales assurant une structure de terme appropriée de la volatilité dans le modèle. Pour tenir compte du risque de contrepartie et des problèmes de financement, nous utilisons le modèle calibré à courbes multiples comme modèle sous-jacent pour le calcul des CVA. Nous suivons une méthodologie de forme réduite à travers laquelle le problème de l'évaluation du risque de contrepartie et des coûts de financement peut être réduit à un BSDE Markovien avant défaut, ou à un PDE semi-linéaire équivalent. A titre d'illustration, nous étudions le cas d'un swap de base et d'une swaption associée, pour lesquels nous calculons le risque de contrepartie et les ajustements de financement.

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Cette thèse traite de deux domaines d’analyse stochastique et de mathématiques financières: le calcul Malliavin pour chaînes de Markov (Partie I) et le risque de contrepartie (Partie II). La partie I a pour objectif l’étude du calcul Malliavin pour chaînes de Markov en temps continu. Il y est présenté deux points : démontrer l’existence de la densité pour les solutions d’une équation différentielle stochastique et calculer les sensibilités des produits dérivés. La partie II traite de sujets d’actualité dans le domaine du risque de marché, à savoir les XVA (ajustements de prix) et la modélisation multi-courbe.

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Cette thèse porte sur l'étude de quelques problèmes de contrôle stochastique dans un contexte de risque de liquidité et d'impact sur le prix des actifs. La thèse se compose de quatre chapitres.Dans le deuxième chapitre, on propose une modélisation d'un problème d'animation de marché dans un contexte de risque de liquidité en présence de contraintes d'inventaire et de changements de régime. Cette formulation peut être considérée comme étant une extension de précédentes études sur ce sujet. Le résultat principal de cette partie est la caractérisation de la fonction valeur comme solution unique, au sens de la viscosité, d'un système d'équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman . On enrichit notre étude par la donnée de quelques résultats numériques.Dans le troisième chapitre, on propose un schéma d'approximation numérique pour résoudre un problème d'optimisation de portefeuille dans un contexte de risque de liquidité et d'impact sur le prix des actifs. On montre que la fonction valeur peut être obtenue comme limite d'une procédure itérative dont chaqueitération représente un problème d'arrêt optimal et on utilise un algorithme numérique, basé sur la quantification optimale, pour calculer la fonction valeur ainsi que la politique de contrôle. La convergence du schéma numérique est obtenue via des critères de monotonicité, stabilité et consistance.Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse à un problème couplé de contrôle singulier et de contrôle impulsionnel dans un contexte d'illiquidité. On propose une formulation mathématique pour modéliser la distribution de dividendes et la politique d'investissement d'une entreprise sujette à des contraintes de liquidité. On montre que, sous des coûts de transaction et un impact sur le prix des actifs illiquides, la fonction valeur de l'entreprise est l'unique solution de viscosité d'une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman. On propose aussi une méthode numérique itérative pour calculer la stratégie optimale d'achat, de vente et de distribution de dividendes.

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Cette thèse traite de plusieurs sujets en mathématiques financières: risque de crédit, optimisation de portefeuille et modélisation des taux d’intérêts. Le chapitre 1 consiste en trois études dans le domaine du risque de crédit. La plus innovante est la première dans laquel nous construisons un modèle tel que la propriété d’immersion n’est vérifiée sous aucune mesure martingale équivalente. Le chapitre 2 étudie le problème de maximisation de la somme d’une utilité de la richesse terminale et d’une utilité de la consommation. Le chapitre 3 étudie l’évaluation des produits dérivés de taux d’intérêt dans un cadre multicourbe, qui prend en compte la différence entre une courbe de taux sans risque et des courbes de taux Libor de différents tenors.

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La crise des subprimes de 2007 a induit une déconnexion persistante entre les marchés dérivés du Libor de différentes durées et le marché des OIS. Les explications couramment proposées pour les écarts correspondants sont une combinaison du risque de crédit et du risque de liquidité. Cependant, dans la littérature, la signification de la liquidité n'est pas précisée, ou bien elle est simplement définie comme un écart résiduel après suppression de la composante crédit. Dans cet article, nous proposons un modèle d'équilibre stylisé dans lequel un écart Libor-OIS (LOIS) émerge en tant que conséquence d'une composante de crédit déterminée par l'inclinaison de la courbe CDS d'un panéliste Libor représentatif (jouant le rôle de l'"emprunteur" dans un prêt interbancaire) et d'une composante de liquidité correspondant à une volatilité de l'écart entre le taux de refinancement (ou de financement) d'un panéliste Libor représentatif (jouant le rôle du "prêteur") et le taux interbancaire au jour le jour. La composante de crédit est donc en fait une composante de skew de crédit, tandis que la notion pertinente de liquidité apparaît comme l'optionalité, évaluée par la volatilité susmentionnée, d'ajuster dynamiquement dans le temps le montant d'un prêt au jour le jour glissant, par opposition au prêt d'un montant fixe jusqu'à l'horizon du ténor du Libor. "Lorsque le taux de financement du prêteur et le taux interbancaire au jour le jour correspondent en moyenne, il en résulte, dans le cadre de caractéristiques diffusives, une structure de terme de racine carrée du LOIS, avec un coefficient de racine carrée donné par la volatilité susmentionnée. Les observations empiriques révèlent une structure à terme de racine carrée de la LOIS conforme à cette analyse théorique, avec, sur le marché de l'euro étudié dans ce document sur la période mi-2007 mi-2012, une LOIS expliquée de manière équilibrée par le crédit et la liquidité jusqu'au début de 2009 et expliquée de manière dominante par la liquidité depuis lors.

Nous étudions une BSDE avec un temps terminal aléatoire qui apparaît dans la modélisation du risque de contrepartie en finance. Nous procédons par réduction de la BSDE originale en une BSDE plus simple posée par rapport à une filtration plus petite et une mesure de probabilité modifiée. Nous relaxons les conditions d'immersion de base de l'approche classique de modélisation sous forme réduite du risque de crédit en modélisant le moment du défaut comme un moment invariant, c'est-à-dire un moment tel que les martingales locales par rapport à une filtration réduite et une mesure de probabilité éventuellement modifiée, une fois arrêtées juste avant ce moment, restent des martingales locales par rapport à la filtration et à la mesure de probabilité du modèle original. En utilisant une caractérisation supermartingale d'Azéma des temps invariants, nous établissons l'équivalence entre la BSDE originale et la BSDE réduite.

D'un point de vue général, ce travail traite de la question de la réduction du filtrage, c'est-à-dire, étant donné un temps d'arrêt θ par rapport à un filtrage complet du modèle G, quand et comment séparer l'information qui provient de θ d'un filtrage de référence afin de simplifier les calculs. Dans ce but, une sorte de propriété d'invariance martingale locale est requise, mais sous des hypothèses minimales, afin que le modèle reste aussi flexible que possible en vue des applications (en particulier, le risque de contrepartie et de crédit). Plus précisément, nous définissons un temps invariant comme un temps d'arrêt par rapport au filtrage complet du modèle tel que les martingales locales par rapport à un filtrage plus petit et une mesure de probabilité éventuellement modifiée, une fois arrêtées juste avant ce temps, sont des martingales locales par rapport au filtrage et à la mesure de probabilité du modèle original. La possibilité de changer la mesure fournit un degré de liberté supplémentaire par rapport à d'autres classes de temps aléatoires tels que les temps de Cox ou les temps de pseudo-arrêt qui sont couramment utilisés pour modéliser les temps de défaut. Nous fournissons une caractérisation supermartingale d'Azéma des temps invariants et nous caractérisons la positivité de l'exponentielle stochastique impliquée dans un changement de mesure provisoire. Nous étudions les propriétés d'évitement des temps invariants et leurs connexions avec les temps de pseudo-arrêt.

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Une approche de base de modélisation du risque de contrepartie sous forme réduite repose sur une hypothèse d'immersion standard entre un filtre de référence et le filtre progressivement élargi par les temps de défaut des deux parties, impliquant également la continuité de certaines des données au moment du défaut. Cette approche de base est trop restrictive pour être appliquée aux dérivés de crédit, qui sont caractérisés par un fort risque d'erreur, c'est-à-dire une dépendance négative entre l'exposition et le risque de crédit des contreparties, et un risque d'écart, c'est-à-dire un glissement entre le portefeuille et sa garantie pendant la période dite de guérison qui sépare le défaut de la liquidation. Cet article montre comment une extension appropriée de l'approche de base peut être conçue afin qu'elle puisse être appliquée dans les modèles de copule dynamique du risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Plus généralement, cette méthode est applicable dans n'importe quelle configuration d'intensité de temps de défaut marqué satisfaisant une condition d'intégrabilité appropriée. La condition d'intégrabilité exprime qu'aucune masse n'est perdue dans un changement de mesure lié. La mesure de probabilité modifiée n'est pas nécessaire d'un point de vue algorithmique. Tout ce dont on a besoin dans la pratique est une expression explicite pour les intensités des temps de défaut marqués.

Nous considérons le problème de l'évaluation des dérivés de taux d'intérêt dans le contexte de l'après-crise. Nous développons un modèle à courbes multiples, établi dans le cadre du HJM et piloté par un processus de Lévy. Nous procédons à un calibrage conjoint des swaptions OTM et des swaptions ATM co-terminales de différentes durées, le calibrage des swaptions OTM garantissant que le modèle capture correctement les effets de sourire de la volatilité et le calibrage des swaptions ATM co-terminales assurant une structure de terme appropriée de la volatilité dans le modèle. Pour tenir compte du risque de contrepartie et des problèmes de financement, nous utilisons le modèle calibré à courbes multiples comme modèle sous-jacent pour le calcul des CVA. Nous suivons une méthodologie de forme réduite à travers laquelle le problème de l'évaluation du risque de contrepartie et des coûts de financement peut être réduit à un BSDE Markovien avant défaut, ou à un PDE semi-linéaire équivalent. A titre d'illustration, nous étudions le cas d'un swap de base et d'une swaption associée, pour lesquels nous calculons le risque de contrepartie et les ajustements de financement.

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Nous concevons un modèle dynamique ascendant du risque de crédit de portefeuille où la contagion instantanée est représentée par la possibilité de défaillances simultanées. En raison de la nature markovienne de la copule du modèle, la calibration des marginaux et des paramètres de dépendance peut être effectuée séparément en utilisant une procédure en deux étapes, comme dans une configuration standard de copule statique. En ce sens, ce modèle résout l'énigme bottom-up top-down que l'industrie des CDO essayait de résoudre depuis longtemps. Ce modèle peut être utilisé pour tout problème de risque de crédit de portefeuille dynamique, comme la couverture dynamique des CDO par des CDS, ou les calculs de CVA sur les portefeuilles de crédit.

Dans cet article, nous prouvons que la structure de dépendance conditionnelle des temps de défaut dans le modèle de Markov de "A Bottom-Up Dynamic Model of Portfolio Credit Risk. Part I : Markov Copula Perspective" appartient à la classe des copules de Marshall-Olkin. Cela nous permet de dériver une représentation factorielle en termes de "chocs communs", ces derniers étant capables de déclencher des défauts simultanés dans certains groupes préspécifiés de débiteurs. Cette représentation dépend de l'état de défaut actuel du portefeuille de crédit, de sorte que des schémas de tarification par convolution rapide peuvent être exploités pour la tarification et la couverture des dérivés du portefeuille de crédit. Comme souligné dans "A Bottom-Up Dynamic Model of Portfolio Credit Risk : Part I : Markov Copula Perspective", l'innovation de ce modèle dynamique ascendant est une propriété de découplage appropriée entre la structure de dépendance et les marges de défaut comme dans "Dynamic Modeling of Dependence in Finance via Copulae Between Stochastic Processes" (comme dans les modèles de copules statiques mais ici dans un modèle dynamique de "copule de Markov" à part entière). Étant donné les schémas d'évaluation déterministes rapides du présent document, le modèle peut alors être calibré conjointement aux données d'un nom unique et d'un portefeuille en deux étapes, par opposition à une procédure d'optimisation conjointe globale impliquant tous les paramètres du modèle en même temps, ce qui serait irréalisable numériquement. Nous illustrons cela numériquement par les résultats de la calibration par rapport aux données de marché des tranches de CDO ainsi que des spreads de CDS individuels. Nous discutons également des sensibilités de couverture calculées dans les modèles ainsi calibrés.

Depuis la crise des subprimes de 2007, les marchés OIS et Libor (Eonia et Euribor sur le marché de l'euro) ont soudainement divergé (voir Fig.1 et 2). Dans cette note, nous montrons comment, en optimisant leurs prêts entre les marchés Libor et OIS, les banques sont amenées à appliquer un spread (LOIS) sur le taux OIS lorsqu'elles prêtent au Libor.

L'écart entre le Libor et les taux de swap sur indice au jour le jour était négligeable jusqu'à la crise. Son comportement depuis lors peut être expliqué théoriquement et empiriquement par un modèle régi par la liquidité des prêteurs typiques et le risque de crédit des emprunteurs typiques.

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Cette thèse porte sur les modèles à densité pour les temps de défaut et leur application au risque de crédit et de contrepartie. La première partie est une contribution théorique à l'étude des projections sur différentes filtrations de la densité de Radon-Nikodym, sous la forme d'exponentielle de Doléans-Dade, intervenant lors de changements de mesure. Le résultat principal est la caractérisation des changements de mesure qui préservent l'immersion, obtenue par application de nos formules de projection. La deuxième partie a pour objet une dynamisation informationnelle du modèle de copule gaussienne statique appliqué à un portefeuille de crédit, pouvant être vue comme un modèle à densité permettant de traîter de la couverture des CDO par CDS ou bien du risque de contrepartie sur les dérivés de crédit. Les principales contributions sont l'introduction de la perspective dynamique , qui permet de donner une justification théorique aux bump-sensibilités de copule gaussienne utilisées par les praticiens, et l'application aux calculs de CVA sur un CDS.

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Cette thèse traite de la modélisation des dérivés de crédit et se compose de deux parties: La première partie concerne le modèle à densité, récemment proposé par El Karoui et al. où on fait l'hypothèse que la loi conditionnelle de temps de défaut sachant la filtration référence est équivalente à sa loi (non-conditionnelle). Sous cette hypothèse, nous donnons des démonstrations différentes (et plus simples) aux résultats déjà existant dans la théorie du grossissement initial et progressif des filtrations. En outre, nous présentons de nouveaux résultats comme par exemple le théorème de représentation prévisible pour la filtration progressivement grossie dans le cas multidimensionnel. Nous proposons ensuite plusieurs méthodes pour construire des modèles à densité, dans les cas unidimensionnel et multidimensionnel. Enfin, nous montrons que le modèle à densité est une approche efficace pour la couverture dynamique de produits dérivés de crédit multi-name. Dans la deuxième partie, afin d'étudier le risque de contrepartie dans un contrat de CDS, nous avons proposé un modèle markovien dans lequel des défauts simultanés sont possibles. Le wrong-way risk est donc représenté par le fait que, à moment de la défaillance de la contrepartie, il y a une probabilité strictement positive pour que l'entité de référence fasse défaut aussi. Nous commençons par considérer une chaîne de Markov à quatre états correspondant à deux noms. Dans ce cas simple, nous obtenons des formules semi-explicites pour la plupart des quantités importantes, comme le prix, la CVA, l’EPE ou les ratios de couverture. Nous généralisons ensuite ce cadre pour tenir compte du risque de spread en introduisant des facteurs stochastiques. nous traitons un modèle copule Markovien avec des intensités stochastiques. Nous abordons également la question de la couverture dynamique du CVA avec un CDS écrit sur la contrepartie. Pour l'implémentation du modèle, nous spécifions les intensités par des processus affines, ce qui compte tenu de la propriété copule dynamique du modèle, rend la calibration de ce modèle efficace. Les résultats numériques sont présentés pour montrer la pertinence du comportement de la CVA dans le modèle avec les faits stylisés du marché.

Cette thèse porte sur l'optimisation des portefeuilles d'actifs soumis au risque de défaut. La crise actuelle nous a permis de comprendre qu'il est important de tenir compte du risque de défaut pour pouvoir donner la valeur réelle de son portefeuille. En effet dûs aux différents échanges des acteurs du marché financier, le système financier est devenu un réseau de plusieurs connections dont il est indispensable d'identifier pour évaluer le risque d'investir dans un actif financier. Dans cette thèse, nous définissons un système financier avec un nombre fini de connections et nous proposons un modèle de la dynamique d'un actif dans un tel système en tenant compte des connections entre les différents actifs. La mesure de la corrélation sera faite à travers l'intensité de sauts des processus. A l'aide des Equations stochastiques Différentielles Rétrogrades (EDSR), nous déduirons le prix d'un actif contingent et nous tiendrons compte du risque de modèle afin de mieux évaluer la consommation et la richesse optimal si on investit dans un tel marché.

Cette thèse se compose de cinq parties indépendantes dédiées à la modélisation et à l’étude des problèmes liés au risque du défaut, en information partielle. La première partie constitue l’Introduction. La deuxième partie est dédiée au calcul de la probabilité de survie d’une firme, conditionnellement à l’information à disposition de l’investisseur, dans un modèle structurel en information partielle. On utilise une technique numérique hybride basée sur la méthode Monte Carlo et la quantification optimale. Dans la troisième partie on traite, avec l’approche Programmation Dynamique, un problème en temps discret de maximisation de l’utilité de la richesse terminale, dans un marché où des titres soumis au risque du défaut sont négociés. Le risque de contagion entre les défauts est modélisé, ainsi que la possible incertitude du modèle. Dans la quatrième partie on s’intéresse au problème de l’incertitude liée à l’horizon temporel d’investissement. Dans un marché complet soumis au risque du défaut, on résout, soit avec la méthode martingale, soit avec la Programmation Dynamique, trois problèmes de maximisation de l’utilité de la consommation: quand l’horizon temporel est fixe, fini mais incertain et infini. Enfin, dans la cinquième partie on traite un problème purement théorique. Dans le contexte du grossissement de filtrations, notre but est de redémontrer, dans un cadre spécifique, les résultats déjà connus sur la caractérisation des martingales, la décomposition des martingales par rapport à la filtration de référence comme semimartingales dans les filtrations progressivement et initialement grossies et le Théorème de Représentation Prévisible.

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Cette these presente une combinaison de techniques d'equations aux derivees partielles et de probabilites, au service de divers problemes de mathematiques appliquees. Des methodes de regularisation permettent d'aborder ces problemes au plan numerique. La premiere partie jeux differentiels, a pour objet la determination, numerique notamment, des barrieres (discontinuites) des jeux de poursuite evasion, via l'introduction de jeux auxiliaires en distance minimum. On propose un schema numerique sur maillage destructure pour les solutions de tels jeux. L'approche numerique est ensuite validee sur un jeu resolu analytiquement. On etablit enfin un resultat de convergence par des methodes probabilistes a la kushner pour des problemes de jeux differentiels. La deuxieme partie, mathematiques financieres, traite de methodes numeriques par equations aux derivees partielles en finance - methodes directes, dont l'etude de conditions aux bords transparentes ou d'un put americain sur moyenne arithmetique, et inverses, avec l'etude d'un probleme de calibration de la dynamique d'un sous-jacent a partir des prix des produits derives observes sur les marches. Si le probleme de calibration pure est sous-determine, il devient en revanche bien pose par regularisation harmonique, dans une approche de type tikhonov, comme il decoule de proprietes qualitatives des prix de call et de bornes quant a leurs sensibilites dans un modele de black-scholes a volatilite locale.