Contribution a des methodes numeriques appliquees a la finance et aux jeux differentiels.

Résumé Cette these presente une combinaison de techniques d'equations aux derivees partielles et de probabilites, au service de divers problemes de mathematiques appliquees. Des methodes de regularisation permettent d'aborder ces problemes au plan numerique. La premiere partie jeux differentiels, a pour objet la determination, numerique notamment, des barrieres (discontinuites) des jeux de poursuite evasion, via l'introduction de jeux auxiliaires en distance minimum. On propose un schema numerique sur maillage destructure pour les solutions de tels jeux. L'approche numerique est ensuite validee sur un jeu resolu analytiquement. On etablit enfin un resultat de convergence par des methodes probabilistes a la kushner pour des problemes de jeux differentiels. La deuxieme partie, mathematiques financieres, traite de methodes numeriques par equations aux derivees partielles en finance - methodes directes, dont l'etude de conditions aux bords transparentes ou d'un put americain sur moyenne arithmetique, et inverses, avec l'etude d'un probleme de calibration de la dynamique d'un sous-jacent a partir des prix des produits derives observes sur les marches. Si le probleme de calibration pure est sous-determine, il devient en revanche bien pose par regularisation harmonique, dans une approche de type tikhonov, comme il decoule de proprietes qualitatives des prix de call et de bornes quant a leurs sensibilites dans un modele de black-scholes a volatilite locale.