STAZHYNSKI Uladzislau

Nous considérons le problème du calcul numérique de son capital économique par une assurance ou une banque, sous la forme d'une valeur en risque ou d'un manque à gagner attendu de sa perte sur un horizon temporel donné. Cette perte comprend l'appréciation du mark-to-model du passif de l'entreprise, que nous prenons en compte par Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja (2010) ou par régression à la Broadie, Du, et Moallemi (2015). En utilisant un point de vue d'approximation stochastique sur la valeur en risque et le manque à gagner attendu, nous établissons la convergence des schémas de simulation du capital économique qui en résultent, sous des hypothèses légères qui ne portent que sur le problème théorique limitatif en question, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d'approximation de Gordy-Juneja (2010) et Broadie-Du-Moallemi (2015). Nos estimations de capital économique peuvent alors être rendues conditionnelles dans un cadre de Markov et intégrées dans une simulation de Monte Carlo externe pour donner la marge de risque de l'entreprise, correspondant à une marge de valeur de marché (MVM) dans l'assurance ou à un ajustement de l'évaluation du capital (KVA) dans la par- lance bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas de KVA implémentée sur GPUs.

Nous considérons le problème du calcul numérique de son capital économique par une assurance ou une banque, sous la forme d'une valeur en risque ou d'un manque à gagner attendu de sa perte sur un horizon temporel donné. Cette perte comprend l'appréciation du mark-to-model du passif de l'entreprise, que nous prenons en compte par Monte Carlo imbriqué à la Gordy et Juneja (2010) ou par régression à la Broadie, Du, et Moallemi (2015). En utilisant un point de vue d'approximation stochastique sur la valeur en risque et le manque à gagner attendu, nous établissons la convergence des schémas de simulation du capital économique qui en résultent, sous des hypothèses légères qui ne portent que sur le problème théorique limitatif en question, par opposition aux hypothèses sur les problèmes d'approximation de Gordy-Juneja (2010) et Broadie-Du-Moallemi (2015). Nos estimations de capital économique peuvent alors être rendues conditionnelles dans un cadre de Markov et intégrées dans une simulation de Monte Carlo externe pour donner la marge de risque de l'entreprise, correspondant à une marge de valeur de marché (MVM) dans l'assurance ou à un ajustement de l'évaluation du capital (KVA) dans la par- lance bancaire. Ceci est illustré numériquement par une étude de cas KVA implémentée sur GPUs.

Cette thèse se compose de deux parties qui étudient deux sujets distincts. Les chapitres 1 à 4 sont consacrés au problème de la discrétisation des processus aux temps d'arrêt. Dans le chapitre 1, nous étudions l'erreur de discrétisation optimale des intégrales stochastiques, pilotées par une semimartingale brownienne continue multidimensionnelle. Dans ce cadre, nous établissons une borne inférieure pour la variation quadratique renormalisée de l'erreur et nous fournissons une séquence de temps d'arrêt de discrétisation, qui est asymptotiquement optimale. Cette dernière est définie comme les temps d'atteinte d'ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale en question. En comparaison avec les résultats précédents, nous autorisons une classe assez large de semimartingales et nous prouvons que la limite inférieure asymptotique est atteignable. Dans le chapitre 2, nous étudions l'erreur de discrétisation optimale adaptative au modèle des intégrales stochastiques. Dans le chapitre 1, la construction de la stratégie optimale impliquait la connaissance du coefficient de diffusion de la semimartingale étudiée. Dans ce travail, nous fournissons une stratégie de discrétisation asymptotiquement optimale adaptative au modèle qui ne nécessite aucune connaissance préalable du modèle. Dans le chapitre 3, nous étudions la convergence dans la distribution des erreurs de discrétisation renormalisées des processus d'Ito pour une classe générale concrète de grilles de discrétisation aléatoires données par des temps d'arrêt. Les travaux précédents sur le sujet ne traitent que le cas de la dimension 1. De plus, ils se concentrent sur des cas particuliers de grilles, ou fournissent des résultats sous des hypothèses assez abstraites avec une distribution limite implicitement spécifiée. Au contraire, nous fournissons explicitement la distribution limite sous une forme traçable en termes de modèle sous-jacent. Les résultats sont valables aussi bien pour les processus multidimensionnels que pour les termes d'erreur multidimensionnels généraux. Dans le chapitre 4, nous étudions le problème de l'inférence paramétrique pour les diffusions basées sur des observations à des temps d'arrêt aléatoires. Nous travaillons dans le cadre asymptotique de données à haute fréquence sur un horizon fixe. Les travaux précédents sur le sujet ne considèrent que des temps d'observation déterministes, fortement prévisibles ou aléatoires, indépendants du processus, et ne couvrent pas notre cadre. Sous des hypothèses légères, nous construisons une séquence cohérente d'estimateurs, pour une grande classe de grilles d'observation à temps d'arrêt. En outre, nous effectuons l'analyse asymptotique de l'erreur d'estimation et établissons un théorème de limite centrale (CLT) avec une limite gaussienne mixte. De plus, dans le cas d'un paramètre unidimensionnel, pour toute séquence d'estimateurs vérifiant les conditions du CLT sans biais, nous prouvons une borne inférieure uniforme a.s. sur la variance asymptotique, et montrons que cette borne est nette. Dans les chapitres 5 et 6, nous étudions le problème de la quantification de l'incertitude pour les limites d'approximation stochastiques. Dans le chapitre 5, nous analysons la quantification de l'incertitude pour la limite d'un algorithme d'approximation stochastique (SA). Dans notre configuration, cette limite est définie comme le zéro d'une fonction donnée par une espérance. L'espérance est prise par rapport à une variable aléatoire pour laquelle le modèle est supposé dépendre d'un paramètre incertain. Nous considérons la limite SA comme une fonction de ce paramètre. Nous introduisons l'algorithme dit Uncertainty for SA (USA), un algorithme SA en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'une expansion de chaos de cette fonction sur une base orthogonale d'un espace de Hilbert approprié. Les convergences presque sûres et Lp de l'USA, dans l'espace de Hilbert, sont établies sous des conditions douces et réalisables. Dans le chapitre 6, nous analysons le taux de convergence L2 de l'algorithme USA conçu dans le chapitre 5. L'analyse est non triviale en raison de la dimensionnalité infinie de la procédure. De plus, notre cadre n'est pas couvert par les travaux précédents sur les SA de dimension infinie. Le taux obtenu dépend non-trivialement du modèle et des paramètres de conception de l'algorithme. Sa connaissance permet d'optimiser la vitesse de croissance de la dimension dans l'algorithme SA, qui est le facteur clé de sa performance efficace.

Cette thèse contient deux parties qui étudient deux sujets différents. Les Chapitres 1-4 sont consacrés aux problèmes de discrétisation de processus à des temps d’arrêt. Dans le Chapitre 1 on étudie l'erreur de discrétisation optimale pour des intégrales stochastiques par rapport à une semimartingale brownienne multidimensionnelle continue. Dans ce cadre on établit une borne inférieure trajectorielle pour la variation quadratique renormalisée de l'erreur. On fournit une suite de temps d’arrêt qui donne une discrétisation asymptotiquement optimale. Cette suite est définie comme temps de sortie d'ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale. Par rapport aux résultats précédents on permet une classe de semimartingales assez large. On démontre qui la borne inférieure est exacte. Dans le Chapitre 2 on étudie la version adaptative au modèle de la discrétisation optimale d’intégrales stochastique. Dans le Chapitre 1 la construction de la stratégie optimale utilise la connaissance du coefficient de diffusion de la semimartingale considérée. Dans ce travail on établit une stratégie de discrétisation asymptotiquement optimale qui est adaptative au modèle et n'utilise pas aucune information sur le modèle. On démontre l'optimalité pour une classe de grilles de discrétisation assez générale basée sur les technique de noyau pour l'estimation adaptative. Dans le Chapitre 3 on étudie la convergence en loi des erreurs de discrétisation renormalisées de processus d’Itô pour une classe concrète et assez générale de grilles de discrétisation données par des temps d’arrêt. Les travaux précédents sur le sujet considèrent seulement le cas de dimension 1. En plus ils concentrent sur des cas particuliers des grilles, ou démontrent des résultats sous des hypothèses abstraites. Dans notre travail on donne explicitement la distribution limite sous une forme claire et simple, les résultats sont démontré dans le cas multidimensionnel pour le processus et pour l'erreur de discrétisation. Dans le Chapitre 4 on étudie le problème d'estimation paramétrique pour des processus de diffusion basée sur des observations à temps d’arrêt. Les travaux précédents sur le sujet considèrent que des temps d'observation déterministes, fortement prévisibles ou aléatoires indépendants du processus. Sous des hypothèses faibles on construit une suite d'estimateurs consistante pour une classe large de grilles d'observation données par des temps d’arrêt. On effectue une analyse asymptotique de l'erreur d'estimation. En outre, dans le cas du paramètre de dimension 1, pour toute suite d'estimateurs qui vérifie un TCL sans biais, on démontre une borne inférieure uniforme pour la variance asymptotique. on montre que cette borne est exacte. Les Chapitres 5-6 sont consacrés au problème de quantification d'incertitude pour des limites d'approximation stochastique. Dans le Chapitre 5 on analyse la quantification d'incertitude pour des limites d'approximation stochastique (SA). Dans notre cadre la limite est définie comme un zéro d'une fonction donnée par une espérance. Cette espérance est prise par rapport à une variable aléatoire pour laquelle le modèle est supposé de dépendre d'un paramètre incertain. On considère la limite de SA comme une fonction de cette paramètre. On introduit un algorithme qui s'appelle USA (Uncertainty for SA). C'est une procédure en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'expansion de chaos de cette fonction dans une base d'un espace de Hilbert bien choisi. La convergence de USA dans cet espace de Hilbert est démontré. Dans le Chapitre 6 on analyse le taux de convergence dans L2 de l'algorithme USA développé dans le Chapitre 5. L'analyse est non trivial à cause de la dimension infinie de la procédure. Le taux obtenu dépend du modèle et des paramètres utilisés dans l'algorithme USA. Sa connaissance permet d'optimiser la vitesse de croissance de la dimension dans USA.

Dans cet article, nous étudions le problème de l'inférence paramétrique pour des diffusions multidimensionnelles basées sur des observations à des temps d'arrêt aléatoires. Nous travaillons dans le cadre asymptotique de données à haute fréquence sur un horizon fixe. Les travaux précédents sur le sujet (tels que [Doh87, GJ93, Gob01, AM04] entre autres) ne considèrent que des temps d'observation déterministes, fortement prévisibles ou aléatoires, indépendants du processus, et ne couvrent pas notre cadre. Sous des hypothèses légères, nous construisons une séquence cohérente d'estimateurs, pour une grande classe de grilles d'observation à temps d'arrêt (étudiée dans [GL14, GS18]). En outre, nous effectuons l'analyse asymptotique de l'erreur d'estimation et établissons un théorème central limite (CLT) avec une limite gaussienne mixte. De plus, dans le cas d'un paramètre à une dimension, pour toute séquence d'estimateurs vérifiant les conditions du CLT sans biais, nous prouvons une borne inférieure uniforme a.s. sur la variance asymptotique, et montrons que cette borne est nette.

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Nous étudions la convergence dans la distribution de l'erreur renormalisée découlant de la discrétisation d'une semimartingale brownienne échantillonnée aux temps d'arrêt. Nos hypothèses légères sur la forme des temps d'arrêt permettent à la grille de temps d'être une combinaison de temps d'arrêt de domaines stochastiques et de temps aléatoires de type Poisson. De manière remarquable, un théorème central limite fonctionnel est valable dans une grande généralité sur la semimartingale et sur la forme des temps d'arrêt. De plus, les caractéristiques asymptotiques sont tout à fait explicites. Parallèlement à la dérivation de ces résultats, nous établissons également certaines estimations clés liées aux approximations et aux sensibilités du temps/de la position d'arrêt par rapport aux perturbations du modèle et du domaine.

Nous analysons la quantification de l'incertitude pour la limite d'un algorithme d'approximation stochastique (SA). Dans notre configuration, cette limite $\targetfn$ est définie comme un zéro d'une fonction intraitable et est modélisée comme incertaine par un paramètre $\param$. Nous cherchons à dériver la fonction $\targetfn$, ainsi que la distribution probabiliste de $\targetfn(\param)$ étant donné une distribution de probabilité $\pi$ pour $\param$. Nous introduisons l'algorithme appelé Uncertainty Quantification for SA (UQSA), un algorithme SA en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'une expansion de chaos de $\param \mapsto \targetfn(\param)$ sur une base orthogonale d'un espace de Hilbert approprié. UQSA, exécuté avec un nombre fini d'itérations $K$, retourne un ensemble fini de coefficients, fournissant une approximation $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ de $\targetfn(\cdot)$. Nous établissons les convergences presque sûres et $L^p$ dans l'espace de Hilbert de la séquence de fonctions $\widehat{\targetfn_K}(\cdot)$ lorsque le nombre d'itérations $K$ tend vers l'infini. Ceci est fait dans des conditions douces et faciles, découvertes par la littérature existante pour l'analyse de convergence des algorithmes de SA de dimension infinie. Pour un choix approprié de la base de Hilbert, l'algorithme fournit également une approximation de l'espérance, de la matrice de variance-covariance et des moments d'ordre supérieur de la quantité $\widehat{\targetfn_K}(\param)$ lorsque $\param$ est aléatoire avec la distribution $\pi$. UQSA est illustré et le rôle de ses paramètres de conception est discuté numériquement.

Nous étudions l'erreur de discrétisation optimale des intégrales stochastiques, pilotées par une semimartingale brownienne continue multidimensionnelle. Dans ce cadre, nous établissons une borne inférieure pour la variation quadratique renormalisée de l'erreur et nous fournissons une séquence de temps d'arrêt de discrétisation, qui est asymptotiquement optimale. Cette dernière est définie comme les temps d'atteinte d'ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale en question. En comparaison avec les résultats précédents, nous autorisons une classe assez large de semimartingales (en relaxant en particulier les conditions de non dégénérescence habituellement demandées) et nous prouvons que la borne inférieure asymptotique est atteignable.