Discrétisation des processus aux temps d'arrêt et quantification de l'incertitude des limites d'approximation stochastique.

Résumé Cette thèse se compose de deux parties qui étudient deux sujets distincts. Les chapitres 1 à 4 sont consacrés au problème de la discrétisation des processus aux temps d'arrêt. Dans le chapitre 1, nous étudions l'erreur de discrétisation optimale des intégrales stochastiques, pilotées par une semimartingale brownienne continue multidimensionnelle. Dans ce cadre, nous établissons une borne inférieure pour la variation quadratique renormalisée de l'erreur et nous fournissons une séquence de temps d'arrêt de discrétisation, qui est asymptotiquement optimale. Cette dernière est définie comme les temps d'atteinte d'ellipsoïdes aléatoires par la semimartingale en question. En comparaison avec les résultats précédents, nous autorisons une classe assez large de semimartingales et nous prouvons que la limite inférieure asymptotique est atteignable. Dans le chapitre 2, nous étudions l'erreur de discrétisation optimale adaptative au modèle des intégrales stochastiques. Dans le chapitre 1, la construction de la stratégie optimale impliquait la connaissance du coefficient de diffusion de la semimartingale étudiée. Dans ce travail, nous fournissons une stratégie de discrétisation asymptotiquement optimale adaptative au modèle qui ne nécessite aucune connaissance préalable du modèle. Dans le chapitre 3, nous étudions la convergence dans la distribution des erreurs de discrétisation renormalisées des processus d'Ito pour une classe générale concrète de grilles de discrétisation aléatoires données par des temps d'arrêt. Les travaux précédents sur le sujet ne traitent que le cas de la dimension 1. De plus, ils se concentrent sur des cas particuliers de grilles, ou fournissent des résultats sous des hypothèses assez abstraites avec une distribution limite implicitement spécifiée. Au contraire, nous fournissons explicitement la distribution limite sous une forme traçable en termes de modèle sous-jacent. Les résultats sont valables aussi bien pour les processus multidimensionnels que pour les termes d'erreur multidimensionnels généraux. Dans le chapitre 4, nous étudions le problème de l'inférence paramétrique pour les diffusions basées sur des observations à des temps d'arrêt aléatoires. Nous travaillons dans le cadre asymptotique de données à haute fréquence sur un horizon fixe. Les travaux précédents sur le sujet ne considèrent que des temps d'observation déterministes, fortement prévisibles ou aléatoires, indépendants du processus, et ne couvrent pas notre cadre. Sous des hypothèses légères, nous construisons une séquence cohérente d'estimateurs, pour une grande classe de grilles d'observation à temps d'arrêt. En outre, nous effectuons l'analyse asymptotique de l'erreur d'estimation et établissons un théorème de limite centrale (CLT) avec une limite gaussienne mixte. De plus, dans le cas d'un paramètre unidimensionnel, pour toute séquence d'estimateurs vérifiant les conditions du CLT sans biais, nous prouvons une borne inférieure uniforme a.s. sur la variance asymptotique, et montrons que cette borne est nette. Dans les chapitres 5 et 6, nous étudions le problème de la quantification de l'incertitude pour les limites d'approximation stochastiques. Dans le chapitre 5, nous analysons la quantification de l'incertitude pour la limite d'un algorithme d'approximation stochastique (SA). Dans notre configuration, cette limite est définie comme le zéro d'une fonction donnée par une espérance. L'espérance est prise par rapport à une variable aléatoire pour laquelle le modèle est supposé dépendre d'un paramètre incertain. Nous considérons la limite SA comme une fonction de ce paramètre. Nous introduisons l'algorithme dit Uncertainty for SA (USA), un algorithme SA en dimension croissante pour calculer les coefficients de base d'une expansion de chaos de cette fonction sur une base orthogonale d'un espace de Hilbert approprié. Les convergences presque sûres et Lp de l'USA, dans l'espace de Hilbert, sont établies sous des conditions douces et réalisables. Dans le chapitre 6, nous analysons le taux de convergence L2 de l'algorithme USA conçu dans le chapitre 5. L'analyse est non triviale en raison de la dimensionnalité infinie de la procédure. De plus, notre cadre n'est pas couvert par les travaux précédents sur les SA de dimension infinie. Le taux obtenu dépend non-trivialement du modèle et des paramètres de conception de l'algorithme. Sa connaissance permet d'optimiser la vitesse de croissance de la dimension dans l'algorithme SA, qui est le facteur clé de sa performance efficace.