Schémas d'Euler pour diffusion tuée. Application aux options barrière.

Résumé Cette these est constituee de deux chapitres, consacres a l'approximation par schemas d'euler de l'esperance d'une certaine fonctionnelle de la trajectoire d'un processus de diffusion multidimensionnel entre les instants 0 et t. Nous nous interessons a la loi en t de la diffusion tuee a sa sortie d'un ouvert d : la fonctionnelle en question est egale a une fonction f de la valeur du processus en t si le processus est reste dans d entre les temps 0 et t, et vaut 0 si le processus en est sorti. La motivation de ce travail provient des mathematiques financieres, ou l'evaluation du prix d'options barriere se ramene au calcul de ce type d'esperance. Pour obtenir une valeur approchee de cette esperance, on discretise la diffusion avec un schema d'approximation et on evalue l'esperance de la fonctionnelle pour le schema par une methode de monte-carlo. Dans le premier chapitre, nous considerons le schema d'euler en temps continu, obtenu a partir d'une subdivision reguliere de l'intervalle de temps, et nous analysons l'erreur d'approximation en fonction du pas de discretisation. L'utilisation du calcul de malliavin permet d'atteindre le cas ou la fonction f est seulement mesurable. La simulation par methode de monte-carlo est aisee dans le cas unidimensionnel, mais devient plus delicate en dimension superieure. Dans le second chapitre, nous considerons le schema d'euler en temps discret. Dans ce cas, la simulation est facile independamment de la dimension, mais l'erreur d'approximation est plus importante que dans le cas continu. L'analyse de l'erreur nous amene en particulier a expliciter une decomposition semimartingale de la projection orthogonale sur la fermeture de d d'une semimartingale continue.