Limites quantitatives pour les inégalités de concentration de mesure et la régression empirique : le cas indépendant.

Résumé Cet article est consacré à l'étude de l'écart de l'erreur moyenne (aléatoire) $L^{2}-$ associée au régresseur des moindres carrés sur une famille de fonctions ${\cal F}_{n}$ (à complexité contrôlée) obtenues à partir de $n$ échantillons indépendants, mais pas nécessairement identiquement distribués, de variables explicatives et de variables de réponse, par rapport à l'erreur moyenne minimale (déterministe) $L^{2}-$ associée à cette famille de fonctions, et à certaines des conséquences correspondantes pour le problème de cohérence. Dans le cas i.i.d., ceci se spécialise comme des questions classiques sur les problèmes de régression des moindres carrés, mais dans des cas plus généraux, ce cadre permet une investigation précise dans la direction de l'étude des erreurs nonasymptotiques pour les schémas de régression des moindres carrés dans des cadres non stationnaires, que nous motivons en fournissant un contexte et des exemples. Plus précisément, nous prouvons d'abord deux inégalités de déviation nonasymptotiques qui généralisent et affinent les résultats correspondants connus dans le cas i.i.d.. Nous explorons ensuite certaines conséquences pour les limites nonasymptotiques de l'erreur au sens faible et au sens fort. Enfin, nous exploitons ces estimations pour jeter un nouvel éclairage sur les questions de cohérence des schémas de régression des moindres carrés dans le cadre non paramétrique sans distribution. Comme application à la théorie classique, nous fournissons en particulier un résultat qui généralise le lien entre le problème de cohérence et la propriété de Glivenko-Cantelli, qui s'appliquait à la régression dans le cadre i.i.d. sur des familles non décroissantes $({\cal F}_{n})_{n}$ de fonctions permet de créer un schéma qui est fortement consistant dans $L^{2}$ sous la seule hypothèse (nécessaire) de l'existence de fonctions dans $\cup_{n}{\cal F}_{n}$ qui sont arbitrairement proches dans $L^{2}$ du régresseur correspondant.