Modèles non linéaires à urne aléatoire : un point de vue d'approximation stochastique.

Résumé Cet article étend le lien entre la théorie de l'approximation stochastique (SA) et les modèles d'urne randomisée développés dans Laruelle, Pagès (2013), et leurs applications aux essais cliniques introduites dans Bai, HU (1999,2005) et Bai, Hu, Shen (2002). Nous ne supposons plus que la règle de tirage est uniforme parmi les boules de l'urne (qui contient d couleurs), mais peut être renforcée par une fonction f. C'est une façon de modéliser l'aversion au risque. Tout d'abord, en considérant que f est concave ou convexe et en reformulant la dynamique de la composition de l'urne comme un algorithme SA avec reste, nous dérivons la convergence a.s. et la normalité asymptotique (Central Limit Theorem, CLT) de la procédure normalisée en faisant appel aux méthodes dites ODE et SDE. Une analyse approfondie du cas d=2 montre deux comportements différents : Un seul point d'équilibre lorsque f est concave, et lorsque f est convexe, une phase de transition d'un seul équilibre d'attraction à un système avec deux points d'équilibre d'attraction et un point d'équilibre de répulsion. Le dernier cas est résolu en utilisant des résultats sur la non-convergence vers des "pièges" bruyants et non bruyants afin de déduire la convergence a.s. vers un des points d'attraction. Ensuite, le cas particulier d'une urne de Polya (lorsque la règle d'addition est la matrice d'identité) est analysé, toujours en utilisant les résultats de la théorie de l'AS sur les ``traps''. Enfin, ces résultats sont appliqués à une fonction à variation régulière et à une allocation d'actifs optimale en finance.