On Probabilistic Analytical and Numerical Approaches for Divergence Form Operators With Discontinuous Coefficients.

Résumé Dans cet article, nous passons en revue certains résultats récents sur les approches analytiques et numériques stochastiques des équations aux dérivées partielles paraboliques et elliptiques impliquant un opérateur de forme divergente avec un coefficient discontinu et une condition de transmission de compatibilité. Dans le cas unidimensionnel, les résultats d'existence et d'unicité pour de telles EDP peuvent être obtenus par des méthodes stochastiques. L'interprétation probabiliste des solutions permet de développer et d'analyser une méthode de résolution numérique de Monte Carlo de faible complexité. Une approche stochastique est également développée pour l'équation de Poisson-Boltzman linéarisée dans la dynamique moléculaire. Comme dans le cas unidimensionnel, l'interprétation probabiliste de la solution implique la solution d'une EDS incluant un terme local non standard lié à l'interface de discontinuité. Nous présentons une formule de Feynman-Kac étendue pour l'équation de Poisson-Boltzmann. Nous présentons une formule de Feynman-Kac étendue pour l'équation de Poisson-Boltzmann, qui justifie diverses méthodes numériques probabilistes d'approximation de l'énergie libre d'une molécule et fonde les analyses d'erreur.