TALAY Denis

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Dans cet article, nous analysons une interprétation stochastique du système de Keller-Segel unidimensionnel parabolique-parabolique sans coupure. Elle implique un type original de noyau d'interaction de McKean-Vlasov. Au niveau des particules, chaque particule interagit avec tous les passés de chaque autre particule au moyen d'une fonctionnelle intégrée dans le temps impliquant un noyau singulier. Au niveau du champ moyen étudié ici, le processus limite de McKean-Vlasov interagit avec toutes les marginales temporelles passées de sa distribution de probabilité d'une manière singulière similaire. Nous prouvons que le système de Keller-Segel parabolique-parabolique dans l'espace euclidien entier et l'équation différentielle stochastique de McKean-Vlasov correspondante sont bien posés pour toute valeur des paramètres du modèle.

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Dans cet article, nous introduisons une distance de type Wasserstein sur l'ensemble des distributions de probabilité des solutions fortes des équations différentielles stochastiques. Cette nouvelle distance est définie en restreignant l'ensemble des mesures de couplage possibles. Nous prouvons qu'elle peut également être définie au moyen de la fonction de valeur d'un problème de contrôle stochastique dont l'équation de Hamilton-Jacobi- Bellman a une solution lisse, ce qui permet de déduire des estimations a priori ou d'obtenir des évaluations numériques. Nous exposons une mesure de couplage optimale et la caractérisons comme une solution faible d'une équation différentielle stochastique explicite, et nous décrivons enfin des procédures pour approximer cette mesure de couplage optimale. Une application notable concerne le problème de modélisation suivant : étant donné un modèle de diffusion exact, comment sélectionner un modèle de diffusion simplifié dans une classe de modèles admissibles sous la contrainte que la distribution de probabilité du modèle exact soit préservée autant que possible ?

Cette thèse étudie le contrôle optimal de la dynamique de type McKean-Vlasov et ses applications en mathématiques financières. La thèse contient deux parties. Dans la première partie, nous développons la méthode de la programmation dynamique pour résoudre les problèmes de contrôle stochastique de type McKean-Vlasov. En utilisant les contrôles admissibles appropriés, nous pouvons reformuler la fonction valeur en fonction de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus comme seule variable d’état et obtenir la propriété du flot de la loi (resp. la loi conditionnelle) du processus, qui permettent d’obtenir en toute généralité le principe de la programmation dynamique. Ensuite nous obtenons l’équation de Bellman correspondante, en s’appuyant sur la notion de différentiabilité par rapport aux mesures de probabilité introduite par P.L. Lions [Lio12] et la formule d’Itô pour le flot de probabilité. Enfin nous montrons la propriété de viscosité et l’unicité de la fonction valeur de l’équation de Bellman. Dans le premier chapitre, nous résumons quelques résultats utiles du calcul différentiel et de l’analyse stochastique sur l’espace de Wasserstein. Dans le deuxième chapitre, nous considérons le contrôle optimal stochastique de système à champ moyen non linéaire en temps discret. Le troisième chapitre étudie le problème de contrôle optimal stochastique d’EDS de type McKean-Vlasov sans bruit commun en temps continu où les coefficients peuvent dépendre de la loi joint de l’état et du contrôle, et enfin dans le dernier chapitre de cette partie nous nous intéressons au contrôle optimal de la dynamique stochastique de type McKean-Vlasov en présence de bruit commun en temps continu. Dans la deuxième partie, nous proposons un modèle d’allocation de portefeuille robuste permettant l’incertitude sur la rentabilité espérée et la matrice de corrélation des actifs multiples, dans un cadre de moyenne-variance en temps continu. Ce problème est formulé comme un jeu différentiel à champ moyen. Nous montrons ensuite un principe de séparation pour le problème associé. Nos résultats explicites permettent de justifier quantitativement la sous-diversification, comme le montrent les études empiriques.

Dans ce travail, nous prouvons le caractère bien posé d'un système de particules stochastique à interaction singulière et nous établissons le résultat de la propagation du chaos vers le modèle unidimensionnel parabolique-parabolique de Keller-Segel.

En chimiotaxie, le modèle parabolique-parabolique classique de Keller-Segel en dimension d décrit l’évolution en temps de la densité d'une population de cellules et de la concentration d'un attracteur chimique. Cette thèse porte sur l’étude des équations de Keller-Segel parabolique-parabolique par des méthodes probabilistes. Dans ce but, nous construisons une équation différentielle stochastique non linéaire au sens de McKean-Vlasov dont le coefficient dont le coefficient de dérive dépend, de manière singulière, de tout le passé des lois marginales en temps du processus. Ces lois marginales couplées avec une transformation judicieuse permettent d’interpréter les équations de Keller-Segel de manière probabiliste. En ce qui concerne l'approximation particulaire il faut surmonter une difficulté intéressante et, nous semble-t-il, originale et difficile chaque particule interagit avec le passé de toutes les autres par l’intermédiaire d'un noyau espace-temps fortement singulier. En dimension 1, quelles que soient les valeurs des paramètres de modèle, nous prouvons que les équations de Keller-Segel sont bien posées dans tout l'espace et qu'il en est de même pour l’équation différentielle stochastique de McKean-Vlasov correspondante. Ensuite, nous prouvons caractère bien posé du système associé des particules en interaction non markovien et singulière. Nous établissons aussi la propagation du chaos vers une unique limite champ moyen dont les lois marginales en temps résolvent le système Keller-Segel parabolique-parabolique. En dimension 2, des paramètres de modèle trop grands peuvent conduire à une explosion en temps fini de la solution aux équations du Keller-Segel. De fait, nous montrons le caractère bien posé du processus non-linéaire au sens de McKean-Vlasov en imposant des contraintes sur les paramètres et données initiales. Pour obtenir ce résultat, nous combinons des techniques d'analyse d’équations aux dérivées partielles et d'analyse stochastique. Finalement, nous proposons une méthode numérique totalement probabiliste pour approcher les solutions du système Keller-Segel bi-dimensionnel et nous présentons les principaux résultats de nos expérimentations numériques.

Cette thèse s’intéresse à différents problèmes de contrôle et d’optimisation dont il n’existe à ce jour que des solutions approchées. D’une part nous nous intéressons à des techniques visant à réduire ou supprimer les approximations pour obtenir des solutions plus précises voire exactes. D’autre part nous développons de nouvelles méthodes d’approximation pour traiter plus rapidement des problèmes à plus grande échelle. Nous étudions des méthodes numériques de simulation d’équation différentielle stochastique et d’amélioration de calculs d’espérance. Nous mettons en œuvre des techniques de type quantification pour la construction de variables de contrôle ainsi que la méthode de gradient stochastique pour la résolution de problèmes de contrôle stochastique. Nous nous intéressons aussi aux méthodes de clustering liées à la quantification, ainsi qu’à la compression d’information par réseaux neuronaux. Les problèmes étudiés sont issus non seulement de motivations financières, comme le contrôle stochastique pour la couverture d’option en marché incomplet mais aussi du traitement des grandes bases de données de médias communément appelé Big data dans le chapitre 5. Théoriquement, nous proposons différentes majorations de la convergence des méthodes numériques d’une part pour la recherche d’une stratégie optimale de couverture en marché incomplet dans le chapitre 3, d’autre part pour l’extension la technique de Beskos-Roberts de simulation d’équation différentielle dans le chapitre 4. Nous présentons une utilisation originale de la décomposition de Karhunen-Loève pour une réduction de variance de l’estimateur d’espérance dans le chapitre 2.

Nous présentons une analyse de sensibilité innovante pour les équations différentielles stochastiques : Nous étudions la sensibilité, lorsque le paramètre de Hurst $H$ du mouvement brownien fractionnaire moteur tend vers la valeur brownienne pure, des distributions de probabilité des fonctionnelles lisses des trajectoires des solutions ${X^H_t\}_{t\in \mathbb{R}_+}$ et de la transformée de Laplace du temps de premier passage de $X_H$ à un seuil donné. Nous présentons également une amélioration des estimations gaussiennes déjà connues sur la densité de $X^H_t$ par des estimations avec des constantes qui sont uniformes en fonction de $t$ dans la demi-ligne entière $\mathbb{R}_+ \setminus \{0\}$ et en fonction de $H$ lorsque $H$ tend vers $\frac{1}{2}$.

L’objectif principal de cette thèse est d’apporter de nouveaux résultats théoriques concernant la performance d’investissements basés sur des modèles stochastiques. Pour ce faire, nous considérons la stratégie optimale d’investissement dans le cadre d’un modèle d’actif risqué à volatilité constante et dont la tendance est un processus caché d’Ornstein Uhlenbeck. Dans le premier chapitre,nous présentons le contexte et les objectifs de cette étude. Nous présentons, également, les différentes méthodes utilisées, ainsi que les principaux résultats obtenus. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la faisabilité de la calibration de la tendance. Nous répondons à cette question avec des résultats analytiques et des simulations numériques. Nous clôturons ce chapitre en quantifiant également l’impact d’une erreur de calibration sur l’estimation de la tendance et nous exploitons les résultats pour détecter son signe. Dans le troisième chapitre, nous supposons que l’agent est capable de bien calibrer la tendance et nous étudions l’impact qu’a la non-observabilité de la tendance sur la performance de la stratégie optimale. Pour cela, nous considérons le cas d’une utilité logarithmique et d’une tendance observée ou non. Dans chacun des deux cas, nous explicitons la limite asymptotique de l’espérance et la variance du rendement logarithmique en fonction du ratio signal-sur-bruit et de la vitesse de retour à la moyenne de la tendance. Nous concluons cette étude en montrant que le ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec observations partielles ne peut dépasser 2/(3^1.5)∗100% du ratio de Sharpe asymptotique de la stratégie optimale avec informations complètes. Le quatrième chapitre étudie la robustesse de la stratégie optimale avec une erreur de calibration et compare sa performance à une stratégie d’analyse technique. Pour y parvenir, nous caractérisons, de façon analytique,l’espérance asymptotique du rendement logarithmique de chacune de ces deux stratégies. Nous montrons, grâce à nos résultats théoriques et à des simulations numériques, qu’une stratégie d’analyse technique est plus robuste que la stratégie optimale mal calibrée.

Dans cette note, nous proposons deux approches différentes pour justifier rigoureusement une propriété pseudo-Markov pour les processus de diffusion contrôlés qui est souvent (explicitement ou implicitement) utilisée pour prouver le principe de programmation dynamique dans la littérature sur le contrôle stochastique. La première approche développe une ébauche de preuve proposée par Fleming et Souganidis [9]. La seconde approche est basée sur un élargissement de l'espace d'état original et un problème de martingale contrôlée. Nous clarifions certains problèmes de mesurabilité et de topologie soulevés par ces deux approches.

Dans cet article, nous développons des analyses de sensibilité au paramètre de bruit à longue portée/mémoire pour les solutions d'équations différentielles stochastiques et les distributions de probabilité de leurs temps de premier passage à des seuils donnés. Nous considérons ici le cas d'équations différentielles stochastiques pilotées par des mouvements browniens fractionnaires et la sensibilité, lorsque le paramètre de Hurst $H$ du bruit tend vers la valeur brownienne pure, des distributions de probabilité de certaines fonctionnelles des trajectoires des solutions $\{X^H_t\}_{t\in \mathbb{R}_+}$. Nous obtenons d'abord des estimations précises de la sensibilité en fonction de $H$ autour du paramètre brownien critique $H = \tfrac{1}{2}$ des distributions de probabilité marginales temporelles de $X^H$. Nous développons ensuite une analyse de sensibilité pour la transformée de Laplace du temps de premier passage de $X^H$ à un seuil donné. Notre technique nécessite des estimations gaussiennes précises de la densité de $X^H_t$. L'estimation gaussienne que nous obtenons dans la section 5 peut être intéressante en soi.

Nous considérons les swaps de taux qui paient un taux fixe contre un taux variable en présence de coûts d'écart entre les cours acheteur et vendeur. Même pour des modèles simples de coûts d'écart entre les cours acheteur et vendeur, il n'existe pas de stratégie optimale explicite minimisant une mesure de risque de l'erreur de couverture. Nous proposons ici un algorithme efficace, basé sur la méthode du gradient stochastique, pour obtenir une stratégie optimale approximative sans résoudre un problème de contrôle stochastique. Nous validons notre algorithme par des expériences numériques. Nous développons également plusieurs variantes de l'algorithme et discutons leurs performances en termes de paramètres numériques et de coût de liquidité.

Durant les dernières décennies, l'essor des moyens technologiques et particulièrement informatiques a permis l'émergence de la mise en œuvre de méthodes numériques pour l'approximation d'Equations Différentielles Stochastiques (EDS) ainsi que pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse aborde ces deux aspects et s'intéresse plus spécifiquement à l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation d'EDS par schéma numérique tandis que la deuxième partie traite l'estimation de paramètres. Dans un premier temps, nous étudions des schémas d'approximation pour les EDSs. On suppose que ces schémas sont définis sur une grille de temps de taille $n$. On dira que le schéma $X^n$ converge faiblement vers la diffusion $X$ avec ordre $h in mathbb{N}$ si pour tout $T>0$, $vert mathbb{E}[f(X_T)-f(X_T^n)] vertleqslant C_f /n^h$. Jusqu'à maintenant, sauf dans certains cas particulier (schémas d'Euler et de Ninomiya Victoir), les recherches sur le sujet imposent que $C_f$ dépende de la norme infini de $f$ mais aussi de ses dérivées. En d'autres termes $C_f =C sum_{vert alpha vert leqslant q} Vert partial_{alpha} f Vert_{ infty}$. Notre objectif est de montrer que si le schéma converge faiblement avec ordre $h$ pour un tel $C_f$, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité des coefficients, on peut obtenir le même résultat avec $C_f=C Vert f Vert_{infty}$. Ainsi, on prouve qu'il est possible d'estimer $mathbb{E}[f(X_T)]$ pour $f$ mesurable et bornée. On dit alors que le schéma converge en variation totale vers la diffusion avec ordre $h$. On prouve aussi qu'il est possible d'approximer la densité de $X_T$ et ses dérivées par celle $X_T^n$. Afin d'obtenir ce résultat, nous emploierons une méthode de calcul de Malliavin adaptatif basée sur les variables aléatoires utilisées dans le schéma. L'intérêt de notre approche repose sur le fait que l'on ne traite pas le cas d'un schéma particulier. Ainsi notre résultat s'applique aussi bien aux schémas d'Euler ($h=1$) que de Ninomiya Victoir ($h=2$) mais aussi à un ensemble générique de schémas. De plus les variables aléatoires utilisées dans le schéma n'ont pas de lois de probabilité imposées mais appartiennent à un ensemble de lois ce qui conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance. On illustrera également ce résultat dans le cas d'un schéma d'ordre 3 pour les EDSs unidimensionnelles. La deuxième partie de cette thèse traite le sujet de l'estimation des paramètres d'une EDS. Ici, on va se placer dans le cas particulier de l'Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multi-dimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) et a pour particularité la présence de la fonction racine carrée dans le coefficient de diffusion. Ainsi ce modèle permet de généraliser le modèle d'Heston au cas d'une covariance locale. Dans cette thèse nous construisons l'EMV des paramètres du Wishart. On donne également la vitesse de convergence et la loi limite pour le cas ergodique ainsi que pour certains cas non ergodiques. Afin de prouver ces convergences, nous emploierons diverses méthodes, en l'occurrence : les théorèmes ergodiques, des méthodes de changement de temps, ou l'étude de la transformée de Laplace jointe du Wishart et de sa moyenne. De plus, dans dernière cette étude, on étend le domaine de définition de cette transformée jointe.

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Dans cette note, nous clarifions le caractère bien posé des équations limites des modèles de N-neurones à champ moyen proposés dans (Baladron et al. in J. Math. Neurosci. 2:10, 2012) et nous prouvons la propriété de propagation du chaos associée. Nous complétons également la question de la modélisation dans (Baladron et al. in J. Math. Neurosci. 2:10, 2012) en discutant de l'adéquation des équations différentielles stochastiques qui régissent le comportement des canaux ioniques et la quantité de neurotransmetteurs disponibles.

Dans cet article, nous étudions la convergence d'un système de particules stochastiques qui interagit par des temps de frappe à seuil vers une nouvelle équation de type McKean-Vlasov. Le système de particules est motivé par un modèle original pour le comportement d'un réseau de neurones, dans lequel un modèle classique bruyant d'intégration et de tir est couplé à une équation de câble pour décrire la structure dendritique de chaque neurone.

Dans cette thèse, on s’intéresse à la combinaison des méthodes de réduction de variance et de réduction de la complexité de la méthode Monte Carlo. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons un modèle de diffusion continu pour lequel on construit un algorithme adaptatif en appliquant l’importance sampling à la méthode de Romberg Statistique Nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller pour cet algorithme. Dans ce même cadre et dans le même esprit, on applique l’importance sampling à la méthode de Multilevel Monte Carlo et on démontre également un théorème central limite pour l’algorithme adaptatif obtenu. Dans la deuxième partie de cette thèse,on développe le même type d’algorithme pour un modèle non continu à savoir les processus de Lévy. De même, nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller. Des illustrations numériques ont été menées pour les différents algorithmes obtenus dans les deux cadres avec sauts et sans sauts.

Dans cet article, nous passons en revue certains résultats récents sur les approches analytiques et numériques stochastiques des équations aux dérivées partielles paraboliques et elliptiques impliquant un opérateur de forme divergente avec un coefficient discontinu et une condition de transmission de compatibilité. Dans le cas unidimensionnel, les résultats d'existence et d'unicité pour de telles EDP peuvent être obtenus par des méthodes stochastiques. L'interprétation probabiliste des solutions permet de développer et d'analyser une méthode de résolution numérique de Monte Carlo de faible complexité. Une approche stochastique est également développée pour l'équation de Poisson-Boltzman linéarisée dans la dynamique moléculaire. Comme dans le cas unidimensionnel, l'interprétation probabiliste de la solution implique la solution d'une EDS incluant un terme local non standard lié à l'interface de discontinuité. Nous présentons une formule de Feynman-Kac étendue pour l'équation de Poisson-Boltzmann. Nous présentons une formule de Feynman-Kac étendue pour l'équation de Poisson-Boltzmann, qui justifie diverses méthodes numériques probabilistes d'approximation de l'énergie libre d'une molécule et fonde les analyses d'erreur.

Les modèles de calcul stochastiques sont utilisés pour simuler des phénomènes physiques ou biologiques complexes et pour approximer des quantités physiques macroscopiques (déterministes) au moyen de méthodes numériques probabilistes.Par nature, ils comportent souvent des singularités et sont sujets à la malédiction de la dimensionnalité.Leur simulation efficace et précise reste une question ouverte à bien des égards.L'objectif de cette conférence est de passer en revue certains développements récents concernant l'approximation numérique de dynamiques stochastiques singulières, et d'illustrer les nouvelles questions en analyse stochastique et en analyse des EDP auxquelles ils mènent.

L'objectif de cette thèse est de développer la théorie du contrôle stochastique et ses applications en dynamique des populations. D'un point de vue théorique, nous présentons l'étude de problèmes de contrôle stochastique à horizon fini sur des processus de diffusion, de branchement non linéaire et de branchement-diffusion. Dans chacun des cas, nous raisonnons par la méthode de la programmation dynamique en veillant à démontrer soigneusement un argument de conditionnement analogue à la propriété de Markov forte pour les processus contrôlés. Le principe de la programmation dynamique nous permet alors de prouver que la fonction valeur est solution (régulière ou de viscosité) de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante. Dans le cas régulier, nous identifions également un contrôle optimal markovien par un théorème de vérification. Du point de vue des applications, nous nous intéressons à la modélisation mathématique du cancer et de ses stratégies thérapeutiques. Plus précisément, nous construisons un modèle hybride de croissance de tumeur qui rend compte du rôle fondamental de l'acidité dans l'évolution de la maladie. Les cibles de la thérapie apparaissent explicitement comme paramètres du modèle afin de pouvoir l'utiliser comme support d'évaluation de stratégies thérapeutiques.

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L'objectif de ma thèse est d'étudier mathématiquement un indicateur de rupture de volatilité très utilisé par les praticiens en salle de marché. L'indicateur bandes de Bollinger appartient à la famille des méthodes dites d'analyse technique et donc repose exclusivement sur l'historique récente du cours considéré et un principe déduit des observations passées des marchés, indépendamment de tout modèle mathématique. Mon travail consiste à étudier les performances de cet indicateur dans un univers qui serait gouverné par des équations différentielles stochastiques (Black -Scholes) dont le coefficient de diffusion change sa valeur à un temps aléatoire inconnu et inobservable, pour un praticien désirant maximiser une fonction objectif (par exemple, une certaine utilité espérée de la valeur du portefeuille à une certaine maturité). Dans le cadre du modèle, l'indicateur de Bollinger peut s'interpréter comme un estimateur de l'instant de la prochaine rupture. On montre dans le cas des petites volatilités, que le comportement de la densité de l'indicateur dépend de la volatilité, ce qui permet pour un ratio de volatilité assez grand, de détecter via l'estimation de la distribution de l'indicateur dans quel régime de volatilité on se situe. Aussi, dans le cas des grandes volatilités, on montre par une approche via la transformée de Laplace, que le comportement asymptotique des queues de distribution de l'indicateur dépend de la volatilité. Ce qui permet de détecter le changement des grandes volatilités. Ensuite, on s'intéresse à une étude comparative entre l'indicateur de Bollinger et l'estimateur classique de la variation quadratique pour la détection de changement de la volatilité. Enfin, on étudie la gestion optimale de portefeuille qui est décrite par un problème stochastique non standard en ce sens que les contrôles admissibles sont contraints à être des fonctionnelles des prix observés. On résout ce problème de contrôle en s'inspirant de travaux de Pham and Jiao pour décomposer le problème initial d'allocation de portefeuille en un problème de gestion après la rupture et un problème avant la rupture, et chacun de ces problèmes est résolu par la méthode de la programmation dynamique . Ainsi, un théorème de verification est prouvé pour ce problème de contrôle stochastique.

Dans cette note, nous justifions rigoureusement un argument de conditionnement qui est souvent (explicitement ou implicitement) utilisé pour prouver le principe de programmation dynamique dans la littérature sur le contrôle stochastique. À cette fin, nous établissons des problèmes de martingale contrôlée d'une manière inhabituelle.

Une étude assez détaillée des processus de Markov avec un espace d'état discret est fournie. Elle se concentre sur les techniques de parcours d'échantillons dans une perspective inspirée des besoins de la simulation. La relation de ces processus avec les processus de Poisson et avec les chaînes de Markov à temps discret est montrée. Des constructions et des résultats rigoureux sont fournis pour les processus de Markov avec des taux de saut uniformément limités. À cette fin, on introduit des éléments de la théorie des opérateurs bornés, qui expliquent la relation entre générateur et semigroupe, et fournissent un cadre utile pour les équations de Kolmogorov avant et arrière et la formule de Feynman-Kac.

Afin de mettre en œuvre efficacement les méthodes de Monte Carlo, les erreurs d'approximation aléatoires doivent être contrôlées. À cette fin, des résultats théoriques sont fournis pour l'estimation du nombre de simulations nécessaires pour obtenir une précision souhaitée avec un intervalle de confiance prescrit. Des versions absolues, c'est-à-dire non asymptotiques, du théorème de la limite centrale (CLT) sont donc développées : Les théorèmes de Berry-Esseen et de Bikelis, ainsi que les inégalités de concentration obtenues à partir des inégalités de Sobolev logarithmiques. Le sujet difficile des techniques de réduction de la variance pour les méthodes de Monte-Carlo se pose naturellement dans ce contexte, et est discuté à la fin de ce chapitre.

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Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons l’existence d’une densité et des estimées gaussiennes pour la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde. C’est une application du calcul de Malliavin et plus particulièrement d’une formule d’I. Nourdin et de F. Viens. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la simulation d’une équation aux dérivées partielles stochastique par une méthode probabiliste qui repose sur la représentation de l’équation aux dérivées partielles stochastique en terme d’équation différentielle doublement stochastique rétrograde, introduite par E. Pardoux et S. Peng. On étend dans ce cadre les idées de F. Zhang et E. Gobet et al. sur la simulation d’une équation différentielle stochastique rétrograde. Dans la dernière partie, nous étudions l’erreur faible du schéma d’Euler implicite pour les processus de diffusion et l’équation de la chaleur stochastique. Dans le premier cas, nous étendons les résultats de D. Talay et L. Tubaro. Dans le second cas, nous étendons les travaux de A. Debussche.

Ce chapitre développe des schémas de discrétisation pour les équations différentielles stochastiques et leurs applications à la résolution numérique probabiliste d'équations différentielles partielles paraboliques déterministes. Il commence par présenter quelques propriétés importantes du calcul stochastique brownien d'Ito, ainsi que le théorème d'existence et d'unicité pour les équations différentielles stochastiques à coefficients de Lipschitz. Ensuite, en utilisant uniquement des techniques probabilistes, on prouve l'existence, l'unicité et les propriétés de lissage pour les solutions d'équations différentielles partielles paraboliques. À cette fin, nous montrons que les équations différentielles stochastiques à coefficients lisses définissent des flux stochastiques, et nous prouvons certaines propriétés de ces flux. Nous sommes alors en mesure de prouver un résultat de taux de convergence optimal pour les schémas de discrétisation.

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants concernant l'application de méthodes stochastiques à des problèmes issus de la dynamique moléculaire. Dans la première partie, nous présentons des travaux liés à l'interprétation probabiliste de l'équation de Poisson-Boltzmann qui intervient dans la description du potentiel électrostatique d'un système moléculaire. Après avoir introduit l'équation de Poisson-Boltzmann et les principaux outils mathématiques utilisés, nous nous intéressons à l'équation linéaire parabolique de Poisson-Boltzmann. Avant d’énoncer le résultat principal de la thèse, nous étendons des résultats d'existence et unicité des équations différentielles stochastiques rétrogrades. Nous donnons ensuite une interprétation probabiliste de l'équation non-linéaire de Poisson-Boltzmann sous la forme de la solution d'une équation différentielle stochastique rétrograde. Enfin, dans une seconde partie prospective, nous commençons l'étude d'une méthode proposée par Paul Malliavin de détection des variables lentes et rapides d'une dynamique moléculaire.

On considère désormais les processus de Markov à espace d'état continu (\(\mathbb{R}^{d}\) pour un ou plusieurs de ses sous-ensembles fermés). Leur étude rigoureuse nécessite des outils avancés de la théorie des mesures, mais nous nous limitons à développer l'intuition du lecteur, notamment par des constructions par chemin conduisant à des simulations. Nous soulignons d'abord la forte similitude entre ces processus de Markov à trajectoire constante entre sauts isolés et ceux de l'espace discret. Nous introduisons ensuite les processus de Markov à trajectoires échantillonnées suivant une équation différentielle ordinaire entre des sauts isolés. Dans les deux cas, les équations de Kolmogorov et la formule de Feynman-Kac sont établies. On les applique aux équations cinétiques issues de la Mécanique statistique. Celles-ci décrivent l'évolution temporelle de la distribution instantanée des particules dans l'espace des phases (position-vitesse), lorsque la vitesse de la particule saute à des instants aléatoires en fonction de la position et de la vitesse de la particule.

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Ce chapitre approfondit le sujet de la réduction de variance, et se concentre sur les méthodes de Monte Carlo pour les équations aux dérivées partielles paraboliques déterministes. Ce sujet nécessite des notions avancées en calcul stochastique, en particulier le théorème de Girsanov, que nous exposons et discutons en premier lieu. Nous insistons sur le fait qu'il n'existe pas de techniques universelles : le plus souvent, les méthodes efficaces de réduction de la variance dépendent des connaissances et de l'expérience de l'analyste numérique. Nous verrons qu'il est assez facile de construire des méthodes parfaites de réduction de variance qui ne sont pas pertinentes d'un point de vue numérique. a contrario, la construction d'une méthode efficace repose souvent sur l'approximation d'une méthode parfaite, la méthode d'approximation devant être adaptée à chaque cas particulier. Des exemples intéressants peuvent être trouvés dans Duffie et Glynn (Ann. Appl. Probab. 5(4), 897-905, 1995).

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Les principes des méthodes de Monte Carlo basées sur la loi forte des grands nombres (SLLN) sont détaillés. Un certain nombre d'exemples sont décrits, dont certains correspondent à des problèmes concrets dans des domaines d'application importants. Vient ensuite la discussion et la description de divers algorithmes de simulation, d'abord pour des variables aléatoires uniformes, puis en les utilisant pour des variables aléatoires générales. Enfin, le sujet plus avancé de la théorie des martingales est introduit, et la SLLN est prouvée à l'aide d'une technique de martingale arrière et de la loi zéro-un de Kolmogorov.

Nous présentons d'abord quelques questions pratiques et théoriques de la modélisation au moyen de processus de Markov. Les processus ponctuels sont introduits afin de modéliser les instants de saut. Le processus de Poisson est alors caractérisé comme un processus ponctuel sans mémoire. Le reste du chapitre consiste en son étude assez détaillée, incluant divers résultats concernant sa simulation et son approximation. Cette étude est essentielle pour comprendre les constructions abstraites et les méthodes de simulation des processus de Markov à saut développées dans les chapitres suivants.

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On s'intéresse dans cette thèse à la couverture des produits dérivés dans des marchés incomplets. L'approche choisie peut se voir comme une extension des travaux de M. Schweizer sur la minimisation locale du risque quadratique. En effet, tout en restant dans le cadre de la modélisation des actifs par des semimartingales, notre méthode consiste à remplacer le critère de risque quadratique par un critère de risque plus général, sous la forme d'une fonctionnelle convexe du coût local. Nous obtenons d'abord des résultats d'existence, d'unicité et de caractérisation des stratégies optimales dans un marché sans friction, en temps discret et en temps continu. Puis nous explicitons ces stratégies dans le cadre de modèles de diffusion avec et sans sauts. Nous étendons également notre méthode au cas où la liquidité n'est plus infinie. Enfin nous montrons par le biais de simulations numériques les effets du choix de la fonctionnelle de risque sur la constitution du portefeuille optimal.

Cette thèse étudie les techniques de réduction de la variance pour le problème de l'approximation des fonctionnelles des processus de diffusion, motivée par les applications de la finance computationnelle à l'évaluation et à la couverture des produits dérivés. L'outil principal est le calcul stochastique des variations de Malliavin, qui donne des représentations simulables des sensibilités et de la stratégie optimale de réduction de la variance. Dans la première partie, nous présentons une vue unifiée des variations de contrôle et des méthodologies d'échantillonnage par importance, et nous donnons une factorisation pratique des stratégies optimales. Nous introduisons un algorithme paramétrique d'échantillonnage par importance et réalisons son étude en détail. Pour résoudre le problème d'optimisation correspondant, nous validons deux procédures basées respectivement sur l'approximation stochastique et la minimisation d'une contrepartie empirique. Plusieurs exemples numériques sont donnés qui mettent en évidence le potentiel de la méthode. Dans une deuxième partie, nous combinons l'intégration par parties avec une transformée de Girsanov pour obtenir plusieurs représentations stochastiques des sensibilités. En dépassant un cadre strictement elliptique, nous montrons sur une classe de modèles HJM avec volatilité stochastique comment construire efficacement un champ de vecteurs couvrant au sens de Malliavin-Thalmaier. Le dernier chapitre, de nature plus appliquée, traite d'un cas pratique d'évaluation et de couverture d'options de taux exotiques.

Ce travail présente quelques résultats concernant des méthodes numériques déterministes et probabilistes pour des équations aux dérivées partielles à coefficients aléatoires, avec des applications à l'hydrogéologie. On s'intéresse tout d'abord à l'équation d'écoulement dans un milieu poreux en régime stationnaire avec un coefficient de perméabilité lognormal homogène, incluant le cas d'une fonction de covariance peu régulière. On établit des estimations aux sens fort et faible de l'erreur commise sur la solution en tronquant le développement de Karhunen-Loève du coefficient. Puis on établit des estimations d'erreurs éléments finis dont on déduit une extension de l'estimation d'erreur existante pour la méthode de collocation stochastique, ainsi qu'une estimation d'erreur pour une méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. On s'intéresse enfin au couplage de l'équation d'écoulement considérée précédemment avec une équation d'advection-diffusion, dans le cas d'incertitudes importantes et d'une faible longueur de corrélation. On propose l'analyse numérique d'une méthode numérique pour calculer la vitesse moyenne à laquelle la zone contaminée par un polluant s'étend. Il s'agit d'une méthode de Monte-Carlo combinant une méthode d'élements finis pour l'équation d'écoulement et un schéma d'Euler pour l'équation différentielle stochastique associée à l'équation d'advection-diffusion, vue comme une équation de Fokker-Planck.

Cette thèse développe une nouvelle méthodologie permettant d'établir des approximations analytiques pour les prix des options européennes. Notre approche combine astucieusement des développements stochastiques et le calcul de Malliavin afin d'obtenir des formules explicites et des évaluations d'erreur précises. L'intérêt de ces formules réside dans leur temps de calcul qui est aussi rapide que celui de la formule de Black et Scholes. Notre motivation vient du besoin croissant de calculs et de procédures de calibration en temps réel, tout en contrôlant les erreurs numériques reliées aux paramètres du modèle. On traite ainsi quatre catégories de modèles, en réalisant des paramétrisations spécifiques pour chaque modèle afin de mieux cibler le bon modèle proxy et obtenir ainsi des termes correctifs faciles à évaluer. Les quatre parties traitées sont : les diffusions avec sauts, les volatilités locales ou modèles à la Dupire, les volatilités stochastiques et finalement les modèles hybrides (taux-action). Il faut signaler aussi que notre erreur d'approximation est exprimée en fonction de tous les paramètres du modèle en question et est analysée aussi en fonction de la régularité du payoff.

Pas de résumé disponible.

Dans cette thèse, nous donnons un contrôle de l’erreur de localisation sur le système d’inéquations aux dérivées partielles paraboliques avec des conditions au bord de Dirichlet. Ce contrôle d’erreur se fait via l’interprétation probabiliste des inéquations variationnelles sous formes d’équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs). Ainsi les solutions de viscosité des inéquations variationnelles localisées avec des conditions de Dirichlet au bord s’interprètent comme des solutions des EDSRs réfléchies à temps final aléatoire borné. Nous établissons un théorème d’existence et d’unicité pour ce type d’outil et nous donnons une définition à la notion de solution de viscosité pour notre problème. Dans la dernière partie de ce chapitre, nous appliquons ce contrôle au problème de pricing d’options américaines. Ensuite, nous établissons la dérivabilité presque partout de la diffusion réfléchie par rapport à sa valeur initiale et nous donnons la dérivée dans le cas unidimensionnel. Nous donnons la représentation des dérivées presque partout des solutions des inéquations variationnelles avec condition au bord de Neumann. A partir de ces représentations, on donne l’erreur de localisation sur tout un portefeuille d’options américaines. Dans la deuxième partie, nous résolvons explicitement le problème d’arrêt optimal avec escompte aléatoire (ou actualisation aléatoire) et une fonctionnelle additive comme coût des observations pour une diffusion linéaire régulière. Ce résultat généralise les travaux de Beibel et de Lerche qui avaient résolu (1997 et 1998) ce type de problème sans fonctionnelle additive supplémentaire. Nous utilisons dans notre approche la méthode des h transformés, la technique des martingales, le changement de temps.

Dans cette thèse, nous proposons une approximation numérique de la mesure d'équilibre d'une équation différentielle stochastique (EDS) de McKean Vlasov, lorsque le coefficient de dérive est donné par une fonction ayant des propriétés ergodiques, qui est perturbée par une fonction d'interaction non linéaire Lipschitzienne. Nous établissons un théorème d'existence et d'unicité de la mesure d'équilibre, ainsi que le taux de convergence exponentiel vers cet équilibre. Nous appliquons la méthode basée sur l'obtention de contractions de Wasserstein en utilisant les variables de couplage aléatoires, comme suggéré par Cattiaux-Gullin-Malrieu (2006) pour le cas de la dérive potentielle convexe. Ensuite, en utilisant le système de particules, la propriété de propagation du chaos et le schéma d'Euler pour approximer l'EDS, nous estimons numériquement l'intégrale de chaque fonction de Lipschit par rapport à la mesure à un temps fixe, avec une erreur d'estimation uniforme dans le temps. Ensuite, en utilisant cette estimation numérique, nous approximons l'intégrale par rapport à la mesure d'équilibre. Enfin, dans le cas unidimensionnel, nous fournissons des estimations numériques pour la densité et la fonction de distribution cumulative de la mesure d'équilibre. Nous utilisons l'algorithme proposé par Bossy-Talay (1996) et obtenons le taux de convergence optimal de l'approximation dans différentes normes.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux aspects théoriques liés à une nouvelle classe d’équations différentielles stochastiques appelées modèles stochastiques lagrangiens. Ces modèles ont notamment été introduits pour modéliser les propriétés de particules associées à des écoulements turbulents. Motivés par une application récente de ces modèles dans le cadre du développement de méthodes de raffinement d’échelles pour la prévision météorologie, nous considérons également l’introduction de conditions aux bords dans les dynamiques. Dans le cadre des équations non linéaires de type McKean, les modèles stochastiques lagrangiens désignent une classe particulière de dynamique non linéaire due à la présence dans les coefficients de distribution conditionnelle. Dans des cas simplifiés, nous établissons le caractère bien posé de ces dynamiques et leur approximation particulaire. Concernant l’introduction de conditions aux bords, nous construisons un modèle stochastique confiné pour la condition prototype de « non perméabilité en moyenne ». Dans le cas où le domaine de confinement est l’hyperplan, nous obtenons un résultat d’existence et d’unicité des dynamiques considérées, et montrons que la condition de bord est satisfaite. Pour des domaines généraux, nous étudions l’équation de McKean-Vlasov-Fokker-Planck conditionnelle satisfaite par la loi des systèmes. Nous développons les notions de sur- et sous-solutions maxwelliennes, donnant l’existence de bornes gaussiennes sur la solution de l’équation.

Les propriétés asymptotiques des algorithmes de type Monte-Carlo et des fonctionnelles usuelles de processus de diffusion ergodiques se caractérisent à l’aide de théorèmes de la limite centrale. L’objet de cette thèse est la présentation de résultats raffinant ces théorèmes dans quatre cadres différents. La première partie de ce travail concerne la simulation des processus de diffusion. Le premier chapitre est consacré à la présentation d’une méthode permettant de contrôler adaptativement la variance au cours d’une simulation Monte-Carlo. Des applications sont données en finance. Le second chapitre propose un estimateur de la variance asymptotique des simulations ergodiques. Sa construction repose sur des résultats de type théorème de la limite centrale presque sûr. Des techniques de réduction de variance sont proposées dans ce cadre. La seconde partie concerne la statistique des processus. Le premier chapitre traite des processus de diffusion ergodiques. Pour différentes fonctionnelles de ces processus, nous démontrons des développements d’Edgeworth précisant la vitesse de convergence du théorème de la limite centrale. Des applications en statistiques sont proposées, et notamment une ouverture vers le bootstrap. Le second chapitre propose un cadre théorique pour l’estimation paramétrique de processus de diffusions généralisant le mouvement brownien asymétrique.

L'analyse et l'approximation de solutions des équations différentielles stochastiques (E. D. S. ) possédant des coefficients discontinus constituent un sujet qui n'a pas été traité de façon pleinement satisfaisante. Ce problème devient particulièrement motivant lorsque l'on cherche à approcher, par des méthodes de Monte-Carlo, les solutions de certaines équations aux dérivées partielles (E. D. P. ) qui font également intervenir des coefficients discontinus. C'est par exemple le cas, bien connu en physique, des E. D. P. S avec opérateur sous forme divergence (O. F. D. ) dont les coefficients sont discontinus et que nous étudions dans ce mémoire : les discontinuités traduisent alors les irrégularités du milieu dans lequel évolue le système étudié. Cette thèse propose de nouveaux résultats pour l'analyse et l'approximation de solutions d'E. D. S. Qui sont reliées à un O. F. D. Dont les coefficients sont discontinus. Les aspects statistiques des modèles en jeu sont également étudiés.

La première partie de cette thèse traite de l’approximation de solutions d’équations différentielles stochastiques unidimensionnelles à coefficients non Lipschitziens. Notre attention s’est focalisée sur deux classes d’équations très utilisées en finance. Nous considérons d’abord une généralisation des modèles de Cox-Ingersoll-Ross et de Hull & White . le coefficient de dérive est à dérivées bornées, alors que le coefficient de diffusion est du type σ (x) = xα, avec ½ ≤ α < 1. Nous considérons ensuite l’EDS vérifiée par un processus de Bessel . le coefficient de dérive est du type C sur x, avec C > 0 et présente donc une singularité en zéro. Nous nous plaçons sous des hypothèses qui assurent l’existence et l’unicité de solutions à trajectoires strictement positives presque sûrement et proposons des schémas de discrétisation qui préservent la positivité des processus approchés. Nous obtenons d’une part la vitesse de convergence faible des schémas pour une classe de fonctions tests régulières et, d’autre part, nous analysons par une méthode de changement de temps la vitesse de convergence forte du schéma dans le cas où le coefficient de diffusion est du type σ (x) = xα. La deuxième partie de la thèse aborde le problème du comportement asymptotique de la solution d’une équation aux dérivées partielles (EDP) parabolique à coefficient du premier ordre discontinu lorsque la viscosité tend vers zéro. Nous montrons que sous une hypothèse de monotonie sur le coefficient du premier ordre, la solution converge faiblement vers la « solution mesure » de l’équation de transport associée.

Pas de résumé disponible.

Cette thèse est divisée en trois parties. Les deux premières parties sont consacrées au risque de modèle en finance (évaluation, gestion). La troisième partie est consacrée aux équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec temps terminal aléatoire et à certaines de leurs applications. Dans la première partie, nous étudions la vitesse de convergence de l'approximation numérique de quantiles de la loi d'une composante de (X_t), quand (X_t) est un processus de diffusion et quand on utilise une méthode de Monte-Carlo combinée avec le schéma d'Euler de discrétisation en temps du processus. La vitesse de convergence est obtenue sous deux hypothèses différentes : ou (X_t) a un générateur uniformément hypoelliptique, ou l'inverse de la matrice de covariance de Malliavin de la composante de X_t considérée satisfait une certaine condition (M). Nous montrons ensuite que cette condition (M) est satisfaite dans divers contextes en finance. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons au contrôle du risque de modèle. Nous étudions une stratégie qui, en un certain sens, garantit de bonnes performances quel que soit le modèle (inconnu) des actifs sous-jacents utilisés dans le portefeuille de couverture. Nous considérons le problème de contrôle du risque de modèle comme un problème de jeu stochastique à deux joueurs (trader contre marché) et à somme nulle correspondant à une protection 'pire cas'. Nous prouvons que la fonction valeur correspondante est l'unique solution de viscosité d'une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs. La troisième partie de la thèse traite diverses questions relatives à des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec temps terminal aléatoire, leurs relations avec des jeux de Dynkin et les solutions de viscosité de divers problèmes elliptiques.

Cette thèse est consacrée aux méthodes de Monte-Carlo et plus particulièrement à la réduction de variance. Dans la première partie, on étudie un algorithme probabiliste, fondée sur une utilisation itérative de la méthode des variables de contrôle, permettant le calcul d'approximations quadratiques. Son utilisation en dimension un pour les fonctions régulières à l'aide de la base de Fourier après périodisation, des bases de polynômes orthogonaux de Legendre et Tchebychef, fournit des estimateurs ayant un ordre de convergence accru pour l'intégration Monte-Carlo. On l'étend ensuite au cadre multidimensionne! par un choix judicieux des fonctions de base, permettant d'atténuer l'effet dimensionnel. La validation numérique est effectuée sur de nombreux exemples et applications. La deuxième partie est consacrée à l'étude du régime critique en transport neutronique. La méthode développée consiste à calculer numériquement la valeur propre principale de l'opérateur de transport neutronique en combi¬nant le développement asymptotique de la solution du problâme d'évolution associé avec le calcul par une méthode de Monte-Carlo de son interprétation probabiliste. Différentes techniques de réduction de varîance sont mises en place dans l'étude de nombreux modèles homogènes et inhomogènes. Une interprétation probabiliste de la valeur propre principale est donnée pour un modèle homogène particulier.

Les équations aux dérivées partielles (e. D. P. ) a condition initiale aléatoire interviennent dans la modélisation de certains phénomènes physiques complexes tels que la turbulence. La caractérisation de la loi des solutions, ou solution statistique, a fait l'objet de nombreux travaux théoriques. Toutefois, il est souvent difficile d'estimer la précision des méthodes usuelles de simulation des solutions moyennes de l'e. D. P, ou moments de la solution statistique. Cette thèse est constituée de deux parties : nous commençons par présenter la théorie des solutions statistiques, en particulier dans le cas de l'équation du tourbillon d'un fluide incompressible dans le plan. Cet exemple nous amené a considérer, dans la seconde partie de ce mémoire, le problème modèle d'une équation de Mckean-Vlasov a condition initiale aléatoire. En supposant que les coefficients de l'équation sont lipschitziens et bornes, nous montrons qu'elle admet une unique solution statistique dont les moments peuvent être représentes a l'aide d'un processus de diffusion non linéaire. Nous déduisons de cette interprétation une méthode particulaire stochastique pour la simulation des moments. Son originalité est que les poids d'interaction entre les particules sont des variables aléatoires, définies à partir d'estimateurs non paramétriques d'une fonction de régression. Enfin, nous étudions la vitesse de convergence (théorique et numérique) de la méthode pour différentes familles de poids.

La premiere partie de cette these a pour objet la construction d'un algorithme probabiliste pour resoudre numeriquement des equations differentielles stochastiques retrogrades (edsr) dans le cas markovien, ou l'equation est associee a un processus forward solution d'une eds. Nous decrivons un premier algorithme qui repose sur une double discretisation de l'equation, en temps et en espace, et utilise des simulations de trajectoires du processus forward. La discretisation en temps est une extension du schema d'euler pour les eds, ou l'on a remplace le mouvement brownien par une marche aleatoire. On introduit ensuite une approximation supplementaire en projetant a chaque instant de discretisation le processus forward sur l'ensemble des trajectoires simulees. On evite ainsi une complexite algorithmique qui serait exponentielle. Nous montrons une vitesse de convergence pour cet algorithme dans le cadre de la dimension 1. Nous presentons aussi une variante de ce algorithme, adaptee a des edsr dont les parametres sont moins reguliers, en remplacant notamment le schema d'euler dans la discretisation du processus forward par le schema de milshtein. Cela nous permet ensuite d'ecrire un algorithme de discretisation d'edsr reflechies. Dans une seconde partie, nous analysons l'approximation de macmillan, et barone-adesi et whaley, utilisee en finance pour estimer le prix d'une option americaine. En ecrivant le prix de l'option americaine comme la solution d'une certaine equation differentielle stochastique retrograde reflechie, nous obtenons une borne generale pour l'erreur de l'approximation et nous montrons que l'approximation converge vers le prix exact quand la volatilite du sous-jacent tend vers zero. Nous proposons ensuite une deuxieme demonstration, plus elementaire, de ce resultat asymptotique, en faisant intervenir le prix d'un put perpetuel.

Le but de cette these est l'analyse numerique d'algorithmes probabilistes pour la resolution d'equations de transport et pour le calcul de prix d'options complexes en mathematiques financieres. Dans la partie concernant les equations de transport, nous avons construit un algorithme d'approximation de la solution et nous avons obtenu un estimation de la vitesse de convergence de l'erreur en fonction du pas de discretisation en temps. Nous avons ensuite valide cet algorithme sur des cas-tests lies a des problemes industriels. Nos resultats sont comparables a ceux fournis par des methodes deterministes utilisees a l'e. D. F. La partie mathematiques financieres traite du probleme d'approximation d'esperance de fonctionnelles dependant au maximum d'un processus de diffusion. Ce probleme est lie a l'evaluation d'options exotiques. Nous donnons dans un premier temps des resultats de vitesse de convergence pour des fonctions particulieres. Ensuite, en vue de generaliser ces resultats pour une large classe de fonctions et de diffusion, nous etudions la regularite de la solution d'une edp parabolique degeneree avec condition de neumann et nous obtenons des estimations precises des derivees.

La convergence de la methode de vortex aleatoires pour l'equation de navier-stokes n'a pas encore ete etablie dans un sens pleinement satisfaisant. Ce probleme a fortement motive l'etude d'algorithmes particulaires pour certaines e. D. P. Non lineaires, en particulier, l'equation de burgers que nous presentons dans ce memoire. L'objectif de ce travail est de donner de nouveaux resultats de vitesse de convergence de methodes particulaires stochastiques, a l'aide de l'interpretation probabiliste d'e. D. P non lineaires en terme de systeme de particules en interaction. La theorie des processus stochastiques permet d'interpreter les e. D. P non lineaires de type mckean-vlasov comme des equations limites pour des systemes de particules en interaction. Nous en deduisons un algorithme simple et naturel, fonde sur la simulation du systeme de particules sous-jacent. Nous obtenons la vitesse de convergence de l'algorithme, lorsque les noyaux d'interaction sont lipschitziens et bornes. Nous donnons ensuite une nouvelle interpretation probabiliste de l'equation de burgers en terme de systeme de particules en interaction (le noyau d'interaction correspondant est discontinu) et montrons que le systeme de particules possede la propriete de propagation du chaos. Nous etudions la convergence (theorique et numerique) de l'algorithme. La vitesse de convergence que nous obtenons semble etre ce que l'on peut esperer obtenir pour cette famille d'algorithmes et donne un eclairage theorique nouveau a la methode de vortex aleatoires.