Contrôle dynamique des erreurs de simulation et d'estimation de processus de diffusion.

Résumé Les propriétés asymptotiques des algorithmes de type Monte-Carlo et des fonctionnelles usuelles de processus de diffusion ergodiques se caractérisent à l’aide de théorèmes de la limite centrale. L’objet de cette thèse est la présentation de résultats raffinant ces théorèmes dans quatre cadres différents. La première partie de ce travail concerne la simulation des processus de diffusion. Le premier chapitre est consacré à la présentation d’une méthode permettant de contrôler adaptativement la variance au cours d’une simulation Monte-Carlo. Des applications sont données en finance. Le second chapitre propose un estimateur de la variance asymptotique des simulations ergodiques. Sa construction repose sur des résultats de type théorème de la limite centrale presque sûr. Des techniques de réduction de variance sont proposées dans ce cadre. La seconde partie concerne la statistique des processus. Le premier chapitre traite des processus de diffusion ergodiques. Pour différentes fonctionnelles de ces processus, nous démontrons des développements d’Edgeworth précisant la vitesse de convergence du théorème de la limite centrale. Des applications en statistiques sont proposées, et notamment une ouverture vers le bootstrap. Le second chapitre propose un cadre théorique pour l’estimation paramétrique de processus de diffusions généralisant le mouvement brownien asymétrique.