Méthodes probabilistes pour les conditions au bord artificielles d'équations aux dérivées partielles non linéaires en finance : problème d'arrêt optimal pour une diffusion régulière.

Résumé Dans cette thèse, nous donnons un contrôle de l’erreur de localisation sur le système d’inéquations aux dérivées partielles paraboliques avec des conditions au bord de Dirichlet. Ce contrôle d’erreur se fait via l’interprétation probabiliste des inéquations variationnelles sous formes d’équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs). Ainsi les solutions de viscosité des inéquations variationnelles localisées avec des conditions de Dirichlet au bord s’interprètent comme des solutions des EDSRs réfléchies à temps final aléatoire borné. Nous établissons un théorème d’existence et d’unicité pour ce type d’outil et nous donnons une définition à la notion de solution de viscosité pour notre problème. Dans la dernière partie de ce chapitre, nous appliquons ce contrôle au problème de pricing d’options américaines. Ensuite, nous établissons la dérivabilité presque partout de la diffusion réfléchie par rapport à sa valeur initiale et nous donnons la dérivée dans le cas unidimensionnel. Nous donnons la représentation des dérivées presque partout des solutions des inéquations variationnelles avec condition au bord de Neumann. A partir de ces représentations, on donne l’erreur de localisation sur tout un portefeuille d’options américaines. Dans la deuxième partie, nous résolvons explicitement le problème d’arrêt optimal avec escompte aléatoire (ou actualisation aléatoire) et une fonctionnelle additive comme coût des observations pour une diffusion linéaire régulière. Ce résultat généralise les travaux de Beibel et de Lerche qui avaient résolu (1997 et 1998) ce type de problème sans fonctionnelle additive supplémentaire. Nous utilisons dans notre approche la méthode des h transformés, la technique des martingales, le changement de temps.