Approximations des distributions d'équilibre de certains systèmes stochastiques avec interactions McKean-Vlasov.

Résumé Dans cette thèse, nous proposons une approximation numérique de la mesure d'équilibre d'une équation différentielle stochastique (EDS) de McKean Vlasov, lorsque le coefficient de dérive est donné par une fonction ayant des propriétés ergodiques, qui est perturbée par une fonction d'interaction non linéaire Lipschitzienne. Nous établissons un théorème d'existence et d'unicité de la mesure d'équilibre, ainsi que le taux de convergence exponentiel vers cet équilibre. Nous appliquons la méthode basée sur l'obtention de contractions de Wasserstein en utilisant les variables de couplage aléatoires, comme suggéré par Cattiaux-Gullin-Malrieu (2006) pour le cas de la dérive potentielle convexe. Ensuite, en utilisant le système de particules, la propriété de propagation du chaos et le schéma d'Euler pour approximer l'EDS, nous estimons numériquement l'intégrale de chaque fonction de Lipschit par rapport à la mesure à un temps fixe, avec une erreur d'estimation uniforme dans le temps. Ensuite, en utilisant cette estimation numérique, nous approximons l'intégrale par rapport à la mesure d'équilibre. Enfin, dans le cas unidimensionnel, nous fournissons des estimations numériques pour la densité et la fonction de distribution cumulative de la mesure d'équilibre. Nous utilisons l'algorithme proposé par Bossy-Talay (1996) et obtenons le taux de convergence optimal de l'approximation dans différentes normes.