Analyse du risque de modèle en finance : équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec temps terminal aléatoire.

Résumé Cette thèse est divisée en trois parties. Les deux premières parties sont consacrées au risque de modèle en finance (évaluation, gestion). La troisième partie est consacrée aux équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec temps terminal aléatoire et à certaines de leurs applications. Dans la première partie, nous étudions la vitesse de convergence de l'approximation numérique de quantiles de la loi d'une composante de (X_t), quand (X_t) est un processus de diffusion et quand on utilise une méthode de Monte-Carlo combinée avec le schéma d'Euler de discrétisation en temps du processus. La vitesse de convergence est obtenue sous deux hypothèses différentes : ou (X_t) a un générateur uniformément hypoelliptique, ou l'inverse de la matrice de covariance de Malliavin de la composante de X_t considérée satisfait une certaine condition (M). Nous montrons ensuite que cette condition (M) est satisfaite dans divers contextes en finance. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons au contrôle du risque de modèle. Nous étudions une stratégie qui, en un certain sens, garantit de bonnes performances quel que soit le modèle (inconnu) des actifs sous-jacents utilisés dans le portefeuille de couverture. Nous considérons le problème de contrôle du risque de modèle comme un problème de jeu stochastique à deux joueurs (trader contre marché) et à somme nulle correspondant à une protection 'pire cas'. Nous prouvons que la fonction valeur correspondante est l'unique solution de viscosité d'une équation d'Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs. La troisième partie de la thèse traite diverses questions relatives à des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec temps terminal aléatoire, leurs relations avec des jeux de Dynkin et les solutions de viscosité de divers problèmes elliptiques.