Optimalité Minimax dans la détection robuste d'un temps de désordre en rythme de Poisson.

Résumé Nous considérons le problème de la détection la plus rapide minimax d'un temps de variation inobservable du taux d'un processus de Poisson inhomogène. Nous cherchons une règle d'arrêt qui minimise le critère robuste de Lorden, formulé en termes de nombre d'événements jusqu'à la détection, à la fois pour le délai le plus défavorable et la contrainte de fausse alarme. Dans le cas de Wiener, un tel problème a été résolu en utilisant la stratégie dite des sommes cumulatives (cusum) par Shiryaev [33, 35] ou Moustakides [24], entre autres. Dans notre cadre, nous dérivons l'optimalité exacte de la règle d'arrêt cusum en utilisant le calcul des variations finies et les propriétés martingales élémentaires pour caractériser les fonctions de performance de la règle d'arrêt cusum en termes de fonctions d'échelle. Celles-ci sont les solutions de certaines équations différentielles retardées que nous résolvons de manière élémentaire. Le cas de la détection d'une diminution de l'intensité est facile à étudier car les fonctions de performance sont continues. Dans le cas d'une augmentation où les fonctions de performance ne sont pas continues, les propriétés de martingale nécessitent d'utiliser un temps local discontinu. Néanmoins, à partir d'une identité reliant les fonctions d'échelle, l'optimalité de la règle du cusum tient toujours. Enfin, quelques illustrations numériques sont fournies.