Contrôle optimal de processus de Markov infiniment dimensionnels et déterministes par morceaux et application au contrôle de la dynamique neuronale par optogénétique.

Résumé Dans cet article, nous définissons un processus de Markov contrôlé, de dimension infinie et déterministe par morceaux (PDMP) et nous étudions un problème de contrôle optimal avec un horizon temporel fini et un coût non borné. Ce processus est un couplage entre une chaîne de Markov à temps continu et un ensemble d'équations différentielles partielles paraboliques semi-linéaires, les deux processus dépendant du contrôle. Nous appliquons la programmation dynamique au processus de décision de Markov incorporé pour obtenir l'existence de contrôles optimaux relaxés et nous donnons quelques conditions suffisantes assurant l'existence d'un contrôle ordinaire optimal. Cette étude, qui constitue une extension des PDMP contrôlés à la dimension infinie, est motivée par le contrôle que permet l'optogénétique sur des modèles de neurones tels que le modèle de Hodgkin-Huxley. Nous définissons un modèle de Hodgkin-Huxley contrôlé en dimension infinie comme un processus de Markov déterministe par morceaux contrôlé en dimension infinie et appliquons les résultats précédents pour prouver l'existence de contrôles ordinaires optimaux pour un problème de suivi.