RENAULT Vincent

Nous utilisons des modèles de neurones basés sur la conductance et la modélisation mathématique de l'optogénétique pour définir des modèles de neurones contrôlés et nous abordons le contrôle en temps minimal de ces systèmes affines pour le premier pic de l'équilibre. Nous appliquons les outils de la théorie du contrôle optimal géométrique pour étudier les extrémités singulières et nous mettons en œuvre une méthode directe pour calculer les contrôles optimaux. Lorsque le système est trop grand pour étudier théoriquement l'existence de contrôles optimaux singuliers, nous observons numériquement les contrôles optimaux bang-bang.

Dans cet article, nous définissons un processus de Markov contrôlé, de dimension infinie et déterministe par morceaux (PDMP) et nous étudions un problème de contrôle optimal avec un horizon temporel fini et un coût non borné. Ce processus est un couplage entre une chaîne de Markov à temps continu et un ensemble d'équations différentielles partielles paraboliques semi-linéaires, les deux processus dépendant du contrôle. Nous appliquons la programmation dynamique au processus de décision de Markov incorporé pour obtenir l'existence de contrôles optimaux relaxés et nous donnons quelques conditions suffisantes assurant l'existence d'un contrôle ordinaire optimal. Cette étude, qui constitue une extension des PDMP contrôlés à la dimension infinie, est motivée par le contrôle que permet l'optogénétique sur des modèles de neurones tels que le modèle de Hodgkin-Huxley. Nous définissons un modèle de Hodgkin-Huxley contrôlé en dimension infinie comme un processus de Markov déterministe par morceaux contrôlé en dimension infinie et appliquons les résultats précédents pour prouver l'existence de contrôles ordinaires optimaux pour un problème de suivi.

Dans cet article, nous définissons un processus de Markov contrôlé, de dimension infinie et déterministe par morceaux (PDMP) et nous étudions un problème de contrôle optimal avec un horizon temporel fini et un coût non borné. Ce processus est un couplage entre une chaîne de Markov à temps continu et un ensemble d'équations différentielles partielles paraboliques semi-linéaires, les deux processus dépendant du contrôle. Nous appliquons la programmation dynamique au processus de décision de Markov incorporé pour obtenir l'existence de contrôles optimaux relaxés et nous donnons quelques conditions suffisantes assurant l'existence d'un contrôle ordinaire optimal. Cette étude, qui constitue une extension des PDMP contrôlés à la dimension infinie, est motivée par le contrôle que permet l'optogénétique sur des modèles de neurones tels que le modèle de Hodgkin-Huxley. Nous définissons un modèle de Hodgkin-Huxley contrôlé en dimension infinie comme un processus de Markov déterministe par morceaux contrôlé en dimension infinie et appliquons les résultats précédents pour prouver l'existence de contrôles ordinaires optimaux pour un problème de suivi.

L'objectif de cette thèse est de proposer différents modèles mathématiques de neurones prenant en compte l'optogénétique, et d'étudier leur contrôle optimal. Nous définissons d'abord une version contrôlée de modèles de neurones de dimension finie, déterministes et basés sur la conductance. Nous étudions un problème de temps minimal pour un système de contrôle affine à une seule entrée et nous étudions ses extrémaux singuliers. Nous mettons en œuvre une méthode directe pour observer les trajectoires et les contrôles optimaux. Le contrôle optogénétique apparaît comme une nouvelle façon d'évaluer la capacité des modèles basés sur la conductance à reproduire les caractéristiques de la dynamique du potentiel membranaire observée expérimentalement. Nous définissons ensuite un modèle stochastique de dimension infinie pour prendre en compte la nature stochastique des mécanismes des canaux ioniques et de la propagation du potentiel d'action le long de l'axone. Il s'agit d'un processus de Markov déterministe contrôlé par morceaux (PDMP), prenant des valeurs dans un espace de Hilbert. Nous définissons une grande classe de PDMPs contrôlés en dimension infinie et nous prouvons que ces processus sont fortement markoviens. Nous abordons un problème de contrôle optimal en temps fini. Nous étudions le processus de décision de Markov (PDM) intégré dans le PDMP. Nous montrons l'équivalence des deux problèmes de contrôle. Nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence d'un contrôle optimal pour le PDM, et donc aussi pour le PDMP initial. Le cadre théorique est suffisamment large pour considérer plusieurs modifications du modèle optogénétique stochastique infiniment dimensionnel. Enfin, nous étudions l'extension du modèle à un espace de Banach réflexif, puis, dans un cas particulier, à un espace de Banach non-réflexif.

Let but de cette thèse est de proposer différents modèles mathématiques de neurones pour l'Optogénétique et d'étudier leur contrôle optimal. Nous définissons d'abord une version contrôlée des modèles déterministes de dimension finie, dits à conductances. Nous étudions un problème de temps minimal pour un système affine mono-entrée dont nous étudions les singulières. Nous appliquons une méthode numérique directe pour observer les trajectoires et contrôles optimaux. Le contrôle optogénétique apparaît comme une nouvelle façon de juger de la capacité des modèles à conductances de reproduire les caractéristiques de la dynamique du potentiel de membrane, observées expérimentalement. Nous définissons ensuite un modèle stochastique en dimension infinie pour prendre en compte le caractère aléatoire des mécanismes des canaux ioniques et la propagation des potentiels d'action. Il s'agit d'un processus de Markov déterministe par morceaux (PDMP) contrôlé, à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous définissons une large classe de PDMPs contrôlés en dimension infinie et prouvons le caractère fortement Markovien de ces processus. Nous traitons un problème de contrôle optimal à horizon de temps fini. Nous étudions le processus de décision Markovien (MDP) inclus dans le PDMP et montrons l'équivalence des deux problèmes. Nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence de contrôles optimaux pour le MDP, et donc le PDMP. Nous discutons des variantes pour le modèle d'Optogénétique stochastique en dimension infinie. Enfin, nous étudions l'extension du modèle à un espace de Banach réflexif, puis, dans un cas particulier, à un espace de Banach non réflexif.