Contrôle optimal de modèles de neurones déterministes et stochastiques, en dimension finie et infinie. Application au contrôle de la dynamique neuronale via l'optogénétique.

Résumé L'objectif de cette thèse est de proposer différents modèles mathématiques de neurones prenant en compte l'optogénétique, et d'étudier leur contrôle optimal. Nous définissons d'abord une version contrôlée de modèles de neurones de dimension finie, déterministes et basés sur la conductance. Nous étudions un problème de temps minimal pour un système de contrôle affine à une seule entrée et nous étudions ses extrémaux singuliers. Nous mettons en œuvre une méthode directe pour observer les trajectoires et les contrôles optimaux. Le contrôle optogénétique apparaît comme une nouvelle façon d'évaluer la capacité des modèles basés sur la conductance à reproduire les caractéristiques de la dynamique du potentiel membranaire observée expérimentalement. Nous définissons ensuite un modèle stochastique de dimension infinie pour prendre en compte la nature stochastique des mécanismes des canaux ioniques et de la propagation du potentiel d'action le long de l'axone. Il s'agit d'un processus de Markov déterministe contrôlé par morceaux (PDMP), prenant des valeurs dans un espace de Hilbert. Nous définissons une grande classe de PDMPs contrôlés en dimension infinie et nous prouvons que ces processus sont fortement markoviens. Nous abordons un problème de contrôle optimal en temps fini. Nous étudions le processus de décision de Markov (PDM) intégré dans le PDMP. Nous montrons l'équivalence des deux problèmes de contrôle. Nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence d'un contrôle optimal pour le PDM, et donc aussi pour le PDMP initial. Le cadre théorique est suffisamment large pour considérer plusieurs modifications du modèle optogénétique stochastique infiniment dimensionnel. Enfin, nous étudions l'extension du modèle à un espace de Banach réflexif, puis, dans un cas particulier, à un espace de Banach non-réflexif.