Well-posedness for some non-linear diffusion processes and related pde on the wasserstein space.

Résumé Dans cet article, nous étudions le caractère bien posé du problème des martingales associé aux équations différentielles stochastiques non linéaires (SDE) au sens de McKean-Vlasov sous des hypothèses légères sur les coefficients ainsi que les solutions classiques pour une classe d'équations différentielles partielles linéaires (PDE) associées définies sur $[0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$, pour tout $T>0$, $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ étant l'espace de Wasserstein (\emph{i.e.} l'espace des mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^d$ avec un moment d'ordre 2 fini). Dans ce cas, la dérivée d'une carte le long d'une mesure de probabilité est comprise au sens de Lions. Le problème des martingales est abordé par un argument de point fixe sur un espace métrique complet approprié, sous certaines hypothèses de régularité légères sur les coefficients qui couvrent une grande classe d'interaction. De plus, de nouveaux résultats de bien poser au sens fort sont obtenus à partir de l'analyse précédente. Sous des hypothèses supplémentaires, nous prouvons ensuite l'existence de la densité associée et nous étudions sa propriété de régularité. En particulier, nous établissons certaines limites de type gaussien pour ses dérivées. Nous abordons finalement l'existence et l'unicité pour le problème linéaire de Cauchy connexe avec une condition terminale et un terme source irréguliers.