FRIKHA Noufel

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Dans cet article, nous établissons une représentation probabiliste ainsi que des formules d'intégration par parties pour la loi marginale à une échéance donnée d'un modèle de volatilité stochastique avec dérive non bornée. En s'appuyant sur une technique de perturbation pour les semigroupes de Markov, nos formules sont basées sur une chaîne de Markov simple évoluant sur une grille de temps aléatoire pour laquelle nous développons un calcul de Malliavin sur mesure. Entre autres applications, une méthode de simulation de chemin de Monte Carlo sans biais découle de nos formules de sorte qu'elle peut être utilisée pour calculer numériquement avec une complexité optimale les prix des options ainsi que leurs sensibilités par rapport aux valeurs initiales ou aux grecques en finance, à savoir le Delta et le Véga, pour une grande classe de gains européens non lisses. Des résultats numériques sont proposés pour illustrer l'efficacité de la méthode.

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Dans cet article, nous nous intéressons au bien fondé et à l'approximation numérique de certaines équations différentielles stochastiques unidimensionnelles avec une dérive non linéaire, dans le sens de McKean-Vlasov, pilotées par un processus de Lévy spectralement positif et un mouvement brownien. Nous fournissons des critères pour l'existence de solutions fortes sous des conditions non-Lipschitz de type Yamada-Watanabe sans hypothèse de non-dégénérescence. Nous étudions également le taux de convergence forte de la propagation du chaos pour le système de particules associé et du schéma d'Euler-Maruyama correspondant. En particulier, le taux de convergence forte du schéma d'Euler-Maruyama présente une interaction entre la régularité des coefficients et l'ordre de singularité de la mesure de Lévy autour de zéro.

Cette thèse est consacrée à l'étude théorique et numérique de l'erreur faible de discrétisation en temps et en particules d'Équations Différentielles Stochastiques non linéaires au sens de McKean. Nous abordons dans la première partie l'analyse de la vitesse faible de convergence de la discrétisation temporelle d'EDS standards. Plus spécifiquement, nous étudions la convergence en variation totale du schéma d'Euler-Maruyama appliqué à des ED d-dimensionnelles avec un coefficient de dérive mesurable et un bruit additif. Nous obtenons, en supposant que le coefficient de dérive est borné, un ordre de convergence faible 1/2. En rajoutant plus de régularité sur la dérive, à savoir une divergence spatiale au sens des distributions L[rho]-intégrable en espace uniformément en temps pour un certain [rho] supérieur ou égal à d, nous atteignons un ordre de convergence égal à 1 (à un facteur logarithmique près) au temps terminal. En dimension 1, ce résultat est préservé lorsque la dérivée spatiale de la dérive est une mesure en espace avec une masse totale bornée uniformément en temps. Dans la deuxième partie de la thèse, nous analysons l'erreur faible de discrétisation à la fois en temps et en particules de deux classes d'EDS non-linéaires au sens de McKean. La première classe consiste en des EDS multi-dimensionnelles avec des coefficients de dérive et de diffusion réguliers dans lesquels la dépendance en loi intervient au travers de moments. La deuxième classe, quant à elle, consiste en des EDS uni-dimensionnelles avec un coefficient de diffusion constant et un coefficient de dérive singulier où la dépendance en loi intervient au travers de la fonction de répartition. Nous approchons les EDS par les schémas d'Euler-Maruyama des systèmes de particules associés et nous obtenons pour les deux classes un ordre de convergence faible égal à 1 en temps et en particules. Dans la seconde classe, nous prouvons aussi un résultat de propagation du chaos d'ordre optimal 1/2 en particules ainsi qu'un ordre fort de convergence égal à 1 en temps et 1/2 en particules. Tous nos résultats théoriques sont illustrés par des simulations numériques.

Nous prouvons le caractère bien posé de certaines équations différentielles stochastiques non linéaires au sens de McKean-Vlasov pilotées par des processus de Lévy symétriques $α$-stables non dégénérés dont les valeurs se trouvent dans $R^d$ sous certaines hypothèses légères de régularité de Hölder sur les coefficients de dérive et de diffusion par rapport aux variables d'espace et de mesure. La méthodologie développée ici permet de considérer des termes de dérive non bornés même dans le cas dit super-critique, c'est-à-dire lorsque l'indice de stabilité $\alpha \in (0, 1)$. De nouveaux résultats forts de bien-posé sont également dérivés de l'analyse précédente.

Dans cet article, nous étudions le caractère bien posé du problème des martingales associé aux équations différentielles stochastiques non linéaires (SDE) au sens de McKean-Vlasov sous des hypothèses légères sur les coefficients ainsi que les solutions classiques pour une classe d'équations différentielles partielles linéaires (PDE) associées définies sur $[0,T] \times \mathbb{R}^d \times \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$, pour tout $T>0$, $\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$ étant l'espace de Wasserstein (\emph{i.e.} l'espace des mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^d$ avec un moment d'ordre 2 fini). Dans ce cas, la dérivée d'une carte le long d'une mesure de probabilité est comprise au sens de Lions. Le problème des martingales est abordé par un argument de point fixe sur un espace métrique complet approprié, sous certaines hypothèses de régularité légères sur les coefficients qui couvrent une grande classe d'interaction. De plus, de nouveaux résultats de bien poser au sens fort sont obtenus à partir de l'analyse précédente. Sous des hypothèses supplémentaires, nous prouvons ensuite l'existence de la densité associée et nous étudions sa propriété de régularité. En particulier, nous établissons certaines limites de type gaussien pour ses dérivées. Nous abordons finalement l'existence et l'unicité pour le problème linéaire de Cauchy connexe avec une condition terminale et un terme source irréguliers.

Dans cet article, nous établissons une représentation probabiliste pour deux formules d'intégration par parties, l'une étant de type Bismut-Elworthy-Li, pour la loi marginale d'un processus de diffusion unidimensionnel tué à un niveau donné. Ces formules sont établies en combinant un argument de perturbation markovienne avec un calcul de Malliavin sur mesure pour la structure de la chaîne de Markov sous-jacente impliquée dans la représentation probabiliste de la loi marginale originale. Entre autres applications, une méthode de simulation de chemin de Monte Carlo sans biais pour les deux formules d'intégration par parties découle des représentations probabilistes précédentes.

Dans cet article, nous fournissons de nouvelles estimations quantitatives pour la propagation du chaos des équations différentielles stochastiques (EDS) non linéaires au sens de McKean-Vlasov. Nous obtenons des estimations d'erreur explicites, au niveau des trajectoires, au niveau du semi-groupe et au niveau des densités, pour l'approximation du champ moyen par des systèmes de particules en interaction sous de légères hypothèses de régularité sur les coefficients. Une expansion du premier ordre pour la différence entre les densités d'une particule et sa limite de champ moyen est également établie. Notre analyse s'appuie sur le caractère bien posé des solutions classiques des équations aux dérivées partielles (EDP) de Kolmogorov en retour définies sur la bande [0, T ] × R d × P 2 (R d), P 2 (R d) étant l'espace de Wasserstein, c'est-à-dire l'espace des mesures de probabilité sur R d avec un moment d'ordre 2 fini, ainsi que sur l'existence et l'unicité d'une solution fondamentale pour l'opérateur linéaire parabolique connexe énoncé ici sur [0, T ] × P 2 (R d).

Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la valorisation des produits dérivés. Par différentes approches asymptotiques, nous développons des méthodes pour calculer des approximations précises du prix de certains types d’options dans des cas où il n’existe pas de formule explicite.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation des options dont le payoff dépend de la trajectoire du sous-jacent par méthodes de Monte-Carlo, lorsque le sous-jacent est modélisé par un processus affine à volatilité stochastique. Nous prouvons un principe de grandes déviations trajectoriel en temps long, que nous utilisons pour calculer, en utilisant le lemme de Varadhan, un changement de mesure asymptotiquement optimal, permettant de réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options.Le second chapitre considère la valorisation par méthodes de Monte-Carlo des options dépendant de plusieurs sous-jacents, telles que les options sur panier, dans le modèle à volatilité stochastique de Wishart, qui généralise le modèle Heston. En suivant la même approche que dans le précédent chapitre, nous prouvons que le processus vérifie un principe de grandes déviations en temps long, que nous utilisons pour réduire significativement la variance de l’estimateur de Monte-Carlo des prix d’options, à travers un changement de mesure asymptotiquement optimal. En parallèle, nous utilisons le principe de grandes déviations pour caractériser le comportement en temps long de la volatilité implicite Black-Scholes des options sur panier.Dans le troisième chapitre, nous étudions la valorisation des options sur variance réalisée, lorsque la volatilité spot est modélisée par un processus de diffusion à volatilité constante. Nous utilisons de récents résultats asymptotiques sur les densités des diffusions hypo-elliptiques pour calculer une expansion de la densité de la variance réalisée, que nous intégrons pour obtenir l’expansion du prix des options, puis de leur volatilité implicite Black-Scholes.Le dernier chapitre est consacré à la valorisation des dérivés de taux d’intérêt dans le modèle Lévy de marché Libor qui généralise le modèle de marché Libor classique (log-normal) par l’ajout de sauts. En écrivant le premier comme une perturbation du second et en utilisant la représentation de Feynman-Kac, nous calculons explicitement l’expansion asymptotique du prix des dérivés de taux, en particulier, des caplets et des swaptions.

Dans cet article, nous développons une méthodologie générale pour prouver l'unicité faible des équations différentielles stochastiques dont les coefficients dépendent de certaines fonctions de chemin du processus. Comme une extension de la technique développée par Bass & Perkins [BP09] dans le cas de la diffusion standard, la méthodologie proposée permet de traiter les processus dont les lois de probabilité sont singulières par rapport à la mesure de Lebesgue. Pour illustrer notre méthodologie, nous prouvons l'existence faible et l'unicité dans deux exemples : un processus de diffusion dont les coefficients dépendent de son temps local symétrique et un processus de diffusion dont les coefficients dépendent de son maximum. Dans chaque exemple, nous prouvons également l'existence de la densité de transition associée et établissons quelques estimations supérieures gaussiennes.

Cet article étudie les algorithmes d'approximation stochastique multi-niveaux. Notre objectif est d'étendre la portée de la méthode de Monte Carlo multi-niveaux récemment introduite par Giles (Giles 2008) au cadre de l'optimisation stochastique au moyen d'un algorithme d'approximation stochastique. Nous commençons par introduire et étudier une méthode à deux niveaux, également appelée algorithme d'approximation stochastique de Romberg statistique. Nous proposons ensuite son extension à plusieurs niveaux. Nous prouvons un théorème central limite pour les deux méthodes et décrivons les choix optimaux possibles de la séquence de taille de pas. Les résultats numériques confirment l'analyse théorique et montrent une réduction significative du coût initial de calcul.

Dans cet article, nous obtenons des propriétés de la loi associée au temps de première atteinte d'un seuil par un processus de diffusion uniformément elliptique unidimensionnel et au processus associé arrêté au seuil. Notre méthodologie repose sur la méthode paramétrique que nous appliquons au semigroupe de Markov associé. Elle permet d'obtenir des expressions explicites pour les densités de transition correspondantes et d'étudier ses propriétés de régularité jusqu'à la limite sous des hypothèses douces sur les coefficients. Comme produit dérivé, nous fournissons également des estimations supérieures gaussiennes pour ces lois et dérivons une représentation probabiliste qui peut être utile pour la construction d'une méthode de simulation de chemin de Monte Carlo sans biais, entre autres applications.

Nous obtenons une expansion de l'erreur implicite de discrétisation faible pour la cible des algorithmes d'approximation stochastique introduits et étudiés dans [Frikha2013]. Ceci nous permet d'étendre et de développer la méthode d'extrapolation de Richardson-Romberg pour l'estimateur linéaire de Monte Carlo (introduite dans [Talay & Tubaro 1990] et étudiée en profondeur dans [Pagès 2007]) au cadre de l'optimisation stochastique au moyen d'un algorithme d'approximation stochastique. Nous appliquons notamment la méthode à l'estimation du quantile de processus de diffusion. Les résultats numériques confirment l'analyse théorique et montrent une réduction significative du coût initial de calcul.

Nous obtenons une expansion de l'erreur implicite de discrétisation faible pour la cible des algorithmes d'approximation stochastique introduits et étudiés dans [Frikha2013]. Ceci nous permet d'étendre et de développer la méthode d'extrapolation de Richardson-Romberg pour l'estimateur linéaire de Monte Carlo (introduite dans [Talay & Tubaro 1990] et étudiée en profondeur dans [Pagès 2007]) au cadre de l'optimisation stochastique au moyen d'un algorithme d'approximation stochastique. Nous appliquons notamment la méthode à l'estimation du quantile de processus de diffusion. Les résultats numériques confirment l'analyse théorique et montrent une réduction significative du coût initial de calcul.

La récente libéralisation des marchés de l'électricité et du gaz a entraîné la croissance des échanges d'énergie et des problèmes de modélisation. Dans cet article, nous modélisons conjointement les prix spot du gaz et de l'électricité à l'aide d'un modèle à retour à la moyenne qui s'adapte aux structures de corrélations des deux produits. La dynamique est basée sur des processus d'Ornstein avec des coefficients de diffusion paramétrés. De plus, en utilisant les distributions empiriques des prix spot, nous dérivons une classe de ces diffusions paramétrées qui capture les propriétés statistiques les plus importantes : stationnarité, pics et distributions à queue lourde. La procédure de calibration associée est basée sur des outils statistiques standard et efficaces. Nous calibrons le modèle sur le marché français de l'électricité et sur le marché britannique du gaz, puis nous simulons certaines trajectoires qui reproduisent bien le comportement des prix observés. Enfin, nous illustrons l'importance de la structure de corrélation et de la présence de pics en mesurant le risque sur un portefeuille de centrales électriques.

Nous obtenons de nouvelles inégalités de transport-entropie et, comme sous-produit, de nouvelles estimations de déviation pour les lois de deux types de schémas d'approximation stochastiques discrets. Le premier se réfère à la loi d'un schéma de discrétisation de type Euler d'un processus de diffusion à une date déterministe fixée et le second concerne la loi d'un algorithme d'approximation stochastique à un pas de temps donné. Nos résultats améliorent et complètent notamment ceux obtenus dans [Frikha, Menozzi,2012]. Le point clé est de quantifier correctement la contribution du terme de diffusion au régime de concentration. Nous dérivons également une borne de déviation non-asymptotique générale pour la différence entre une fonction de la trajectoire d'un schéma d'Euler continu associé à un processus de diffusion et sa moyenne. Enfin, nous obtenons une limite non-asymptotique pour l'approximation stochastique avec moyennage des trajectoires, en particulier nous prouvons que le moyennage d'un algorithme d'approximation stochastique avec une séquence de pas à décroissance lente donne lieu à un taux de concentration optimal.

Nous obtenons de nouvelles inégalités de transport-entropie et, comme sous-produit, de nouvelles estimations de déviation pour les lois de deux types de schémas d'approximation stochastiques discrets. Le premier se réfère à la loi d'un schéma de discrétisation de type Euler d'un processus de diffusion à une date déterministe fixée et le second concerne la loi d'un algorithme d'approximation stochastique à un pas de temps donné. Nos résultats améliorent et complètent notamment ceux obtenus dans [Frikha, Menozzi,2012]. Le point clé est de quantifier correctement la contribution du terme de diffusion au régime de concentration. Nous dérivons également une borne de déviation non-asymptotique générale pour la différence entre une fonction de la trajectoire d'un schéma d'Euler continu associé à un processus de diffusion et sa moyenne. Enfin, nous obtenons une limite non-asymptotique pour l'approximation stochastique avec moyennage des trajectoires, en particulier nous prouvons que le moyennage d'un algorithme d'approximation stochastique avec une séquence de pas à décroissance lente donne lieu à un taux de concentration optimal.

Cette thèse est consacrée à des problématiques numériques probabilistes liées à la modélisation, au contrôle et à la gestion du risque et motivées par des applications dans les marchés de l'énergie. Le principal outil utilisé est la théorie des algorithmes stochastiques et des méthodes de simulation. Cette thèse se compose de trois parties. La première est dévouée à l'estimation de deux mesures de risque de la distribution L des pertes d'un portefeuille: la Value-at-Risk (VaR) et la Conditional Value-at-Risk (CVaR). Cette estimation est effectuée à l'aide d'un algorithme stochastique combiné avec une méthode de réduction de variance adaptative. La première partie de ce chapitre traite du cas de la dimension finie, la deuxième étend la première au cas d'une fonction de la trajectoire d'un processus et la dernière traite du cas des suites à discrépance faible. Le deuxième chapitre est dédié à des méthodes de couverture du risque en CVaR dans un marché incomplet opérant à temps discret à l'aide d'algorithmes stochastiques et de quantification vectorielle optimale. Des résultats théoriques sur la couverture en CVaR sont présentés puis les aspects numériques sont abordés dans un cadre markovien. La dernière partie est consacrée à la modélisation conjointe des prix des contrats spot Gaz et l'Electricité. Le modèle multi-facteur présenté repose sur des processus d'Ornstein stationnaires à coefficient de diffusion paramétrique.

Cette thèse est consacrée à des problématiques numériques probabilistes liées à la modélisation, au contrôle et à la gestion du risque et motivées par des applications dans les marchés de l'énergie. Le principal outil utilisé est la théorie des algorithmes stochastiques et des méthodes de simulation. Cette thèse se compose de trois parties. La première est dévouée à l'estimation de deux mesures de risque de la distribution L des pertes d'un portefeuille: la Value-at-Risk (VaR) et la Conditional Value-at-Risk (CVaR). Cette estimation est effectuée à l'aide d'un algorithme stochastique combiné avec une méthode de réduction de variance adaptative. La première partie de ce chapitre traite du cas de la dimension finie, la deuxième étend la première au cas d'une fonction de la trajectoire d'un processus et la dernière traite du cas des suites à discrépance faible. Le deuxième chapitre est dédié à des méthodes de couverture du risque en CVaR dans un marché incomplet opérant à temps discret à l'aide d'algorithmes stochastiques et de quantification vectorielle optimale. Des résultats théoriques sur la couverture en CVaR sont présentés puis les aspects numériques sont abordés dans un cadre markovien. La dernière partie est consacrée à la modélisation conjointe des prix des contrats spot Gaz et l'Electricité. Le modèle multi-facteur présenté repose sur des processus d'Ornstein stationnaires à coefficient de diffusion paramétrique.