Structure locale du transport optimal martingale multidimensionnel.

Résumé Cet article analyse le support de la distribution conditionnelle des plans de transport martingalistes optimaux en dimension supérieure. Dans le contexte d'un couplage de distance en dimension supérieure à 2, les résultats précédents établis par Ghoussoub, Kim & Lim montrent que ce transport conditionnel est concentré sur sa propre frontière de Choquet. De plus, lorsque la mesure cible est atomique, ils prouvent que le support est concentré sur d+1 points, et conjecturent que ce résultat est valable pour une mesure cible arbitraire. Nous fournissons un résultat de structure du support du transport optimal conditionnel pour des couplages généraux de Lipschitz. En utilisant des outils de la géométrie algébrique, nous fournissons des conditions suffisantes pour la finitude de ce support conditionnel, ainsi que des limites inférieures (optimales) sur la cardinalité maximale pour une fonction de couplage donnée. D'autres résultats sont obtenus pour des exemples spécifiques de fonctions de couplage basées sur des fonctions de distance. En particulier, nous montrons que la conjecture susmentionnée de Ghoussoub, Kim & Lim n'est pas valable au-delà du contexte des distributions de cibles atomiques.