DE MARCH Hadrien

Les plans de transport de martingale sur la ligne sont connus de Beiglbock & Juillet pour avoir une décomposition irréductible sur une union (au plus) dénombrable d'intervalles. Nous fournissons une extension de cette décomposition pour les plans de transport de martingale dans R^d, d plus grand que un. Notre décomposition est une partition de R^d constituée d'une famille éventuellement indénombrable de composantes convexes relativement ouvertes, avec la mesurabilité requise pour que la désintégration soit bien définie. Nous justifions la pertinence de notre décomposition en prouvant l'existence d'un plan de transport martingale remplissant ces composantes. Nous déduisons également de cette décomposition une caractérisation de la structure des ensembles polaires par rapport à tous les plans de transport martingaux.

Nous étudions les algorithmes existants qui résolvent le transport optimal martingale multidimensionnel. Nous proposons ensuite un nouvel algorithme basé sur la régularisation entropique et la méthode de Newton. Nous fournissons ensuite des résultats théoriques sur le taux de convergence et nous vérifions que cet algorithme est plus performant grâce à des expériences numériques. Nous proposons également une méthode simple pour traiter l'absence d'ordre convexe parmi les marginaux. De plus, nous fournissons une nouvelle limite universelle sur l'erreur liée à l'entropie.

En se basant sur le pavage irréductible multidimensionnel de De March & Touzi, nous fournissons une version multidimensionnelle de la dualité quasi sûre pour le problème de transport optimal martingale, étendant ainsi le résultat de Beiglb\"ock, Nutz & Touzi. De manière similaire, nous prouvons également un résultat de désintégration qui énonce une décomposition naturelle du problème de transport optimal de martingale sur les composantes irréductibles, avec une dualité quasi sûre vérifiée sur chaque composante. Comme autre contribution, nous étendons le principe de monotonicité des martingales au présent cadre multidimensionnel. Nos résultats sont valables en dimensions 1, 2 et 3, à condition que la mesure cible soit dominée par la mesure de Lebesgue. Plus généralement, nos résultats sont valables dans n'importe quelle dimension sous une hypothèse qui est impliquée par l'hypothèse du continuum. Enfin, contrairement au cadre unidimensionnel de Beiglb\"ock, Lim & Obloj, nous fournissons un exemple qui illustre que la régularité de la fonction de couplage n'implique pas que la dualité ponctuelle est valable pour les mesures à support compact.

Nous considérons le problème classique de la construction d'une surface de volatilité implicite sans arbitrage à partir de cotations bid-ask. Nous concevons une procédure numérique rapide, dont nous prouvons la convergence, basée sur l'algorithme de Sinkhorn qui a été récemment utilisé pour résoudre efficacement des problèmes de transport optimal (martingale).

Cet article analyse le support de la distribution conditionnelle des plans de transport martingalistes optimaux en dimension supérieure. Dans le contexte d'un couplage de distance en dimension supérieure à 2, les résultats précédents établis par Ghoussoub, Kim & Lim montrent que ce transport conditionnel est concentré sur sa propre frontière de Choquet. De plus, lorsque la mesure cible est atomique, ils prouvent que le support est concentré sur d+1 points, et conjecturent que ce résultat est valable pour une mesure cible arbitraire. Nous fournissons un résultat de structure du support du transport optimal conditionnel pour des couplages généraux de Lipschitz. En utilisant des outils de la géométrie algébrique, nous fournissons des conditions suffisantes pour la finitude de ce support conditionnel, ainsi que des limites inférieures (optimales) sur la cardinalité maximale pour une fonction de couplage donnée. D'autres résultats sont obtenus pour des exemples spécifiques de fonctions de couplage basées sur des fonctions de distance. En particulier, nous montrons que la conjecture susmentionnée de Ghoussoub, Kim & Lim n'est pas valable au-delà du contexte des distributions de cibles atomiques.

Nous étudions dans cette thèse divers aspects du transport optimal martingale en dimension plus grande que un, de la dualité à la structure locale, puis nous proposons finalement des méthodes d’approximation numérique.On prouve d’abord l’existence de composantes irréductibles intrinsèques aux transports martingales entre deux mesures données, ainsi que la canonicité de ces composantes. Nous avons ensuite prouvé un résultat de dualité pour le transport optimal martingale en dimension quelconque, la dualité point par point n’est plus vraie mais une forme de dualité quasi-sûre est démontrée. Cette dualité permet de démontrer la possibilité de décomposer le transport optimal quasi-sûre en une série de sous-problèmes de transports optimaux point par point sur chaque composante irréductible. On utilise enfin cette dualité pour démontrer un principe de monotonie martingale, analogue au célèbre principe de monotonie du transport optimal classique. Nous étudions ensuite la structure locale des transports optimaux, déduite de considérations différentielles. On obtient ainsi une caractérisation de cette structure en utilisant des outils de géométrie algébrique réelle. On en déduit la structure des transports optimaux martingales dans le cas des coûts puissances de la norme euclidienne, ce qui permet de résoudre une conjecture qui date de 2015. Finalement, nous avons comparé les méthodes numériques existantes et proposé une nouvelle méthode qui s’avère plus efficace et permet de traiter un problème intrinsèque de la contrainte martingale qu’est le défaut d’ordre convexe. On donne également des techniques pour gérer en pratique les problèmes numériques.