Propriétés asymptotiques locales pour le processus de Cox-Ingersoll-Ross avec observations discrètes.

Résumé Dans cet article, nous considérons un processus unidimensionnel de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dont le coefficient de dérive dépend de paramètres inconnus. En considérant le processus discrètement observé à haute fréquence, nous prouvons la propriété de normalité asymptotique locale dans le cas sous-critique, la quadraticité asymptotique locale dans le cas critique, et la propriété de normalité asymptotique locale mixte dans le cas supercritique. Pour obtenir ces résultats, nous utilisons les techniques de calcul de Malliavin développées récemment pour le processus CIR par Al\`os et {\it al.} \cite{AE08} et Altmayer et {\it al.} \cite{AN14} ainsi que l'estimation de la norme $L^p$ pour les moments positifs et négatifs du processus CIR obtenue par Bossy et {\it al.} \cite{BD07} et Ben Alaya et {\it al.} \cite{BK12,BK13}. Dans cette étude, nous exigeons les mêmes conditions de haute fréquence $\Delta_n\rightarrow 0$ et d'horizon infini $n\Delta_n\rightarrow\infty$ que dans le cas des diffusions ergodiques à coefficients globalement Lipschitz étudié précédemment par Gobet \cite{G02}. Cependant, dans les cas non ergodiques, des hypothèses supplémentaires sur le taux de décroissance de $\Delta_n$ sont nécessaires en raison du fait que le coefficient de diffusion racine carrée du processus CIR n'est pas assez régulier. En effet, nous supposons $n\Delta_n^{3}\à 0$ pour le cas critique et $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\à 0$ pour le cas supercritique.