KEBAIER Ahmed

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Dans cet article, nous nous intéressons à la dérivation de limites d'erreurs non-asymptotiques pour la méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. Dans un premier temps, nous traitons la discrétisation explicite d'Euler des équations différentielles stochastiques avec un coefficient de diffusion constant. Nous obtenons une concentration de type gaussien. Pour ce faire, nous utilisons la formule de représentation de Clark-Ocone et nous dérivons des limites pour les fonctions génératrices de moments de la différence au carré entre un schéma d'Euler brut et un schéma plus fin et de la différence au carré de leurs dérivées de Malliavin.

Nous considérons un processus de Cox--Ingersoll--Ross stable piloté par un processus de Wiener standard et un processus de L'evy strictement stable spectralement positif, et nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) pour son taux de croissance basé sur des observations en temps continu. Nous distinguons trois cas : sous-critique, critique et supercritique. Dans tous les cas, nous prouvons la forte cohérence de l'ELM en question, la normalité asymptotique dans le cas sous-critique et la normalité mixte asymptotique dans le cas supercritique. Dans le cas critique, la description du comportement asymptotique de l'ELM en question reste ouverte.

Nous étudions les propriétés asymptotiques des estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres de dérive pour un modèle de Heston de type saut basé sur des observations en temps continu, où le processus de saut peut être tout processus de L\'evy purement non gaussien de variation non nécessairement bornée avec une mesure de L\'evy concentrée sur $(-1,\infty)$. Nous prouvons la cohérence forte et la normalité asymptotique pour toutes les valeurs de paramètres admissibles, sauf une, où nous ne montrons qu'une cohérence faible et un comportement asymptotique mixte normal (mais non normal). Il s'avère que la volatilité du processus de prix est une fonction mesurable du processus de prix. Nous présentons également quelques illustrations numériques pour confirmer nos résultats.

Nous étudions les propriétés asymptotiques des estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres de dérive pour un modèle de Heston de type saut basé sur des observations en temps continu, où le processus de saut peut être un processus de L\'evy purement non gaussien de variation non nécessairement bornée avec une mesure de L\'evy concentrée sur $(-1,\infty)$. Nous prouvons la cohérence forte et la normalité asymptotique pour toutes les valeurs de paramètres admissibles, sauf une, où nous ne montrons qu'une cohérence faible et un comportement asymptotique mixte normal (mais non normal). Il s'avère que la volatilité du processus de prix est une fonction mesurable du processus de prix. Nous présentons également quelques illustrations numériques pour confirmer nos résultats.

Cet article se concentre sur l'étude d'une combinaison originale de la méthode de Monte Carlo multiniveau introduite par Giles [10] et de la technique populaire d'échantillonnage par importance. Pour calculer le choix optimal du paramètre impliqué dans la méthode d'échantillonnage par importance, nous nous appuyons sur des algorithmes stochastiques de type Robbins-Monro. D'une part, nous étendons nos travaux antérieurs [2] au cadre de Monte-Carlo multiniveau. D'autre part, nous améliorons [2] en fournissant un nouvel algorithme adaptatif qui évite la discrétisation de tout processus supplémentaire. En outre, d'un point de vue technique, l'utilisation des mêmes algorithmes stochastiques que dans [2] semble être problématique. Pour surmonter ce problème, nous utilisons une version alternative des algorithmes stochastiques avec projection (voir par ex.

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Dans cet article, nous considérons un processus de Cox-Ingersoll-Ross unidimensionnel de type saut entraîné par un mouvement brownien et un subordonné, dont le taux de croissance est un paramètre inconnu. La mesure de L'evy de la subordonnée est finie ou infinie. En considérant le processus observé de manière continue ou discrète à haute fréquence, nous dérivons les propriétés asymptotiques locales pour le taux de croissance dans les cas ergodiques et non-ergodiques. On distingue trois cas : sous-critique, critique et supercritique. La normalité asymptotique locale (LAN) est prouvée dans le cas sous-critique, la quadraticité asymptotique locale (LAQ) est dérivée dans le cas critique, et la normalité asymptotique locale mixte (LAMN) est démontrée dans le cas supercritique. Pour ce faire, on utilise essentiellement des techniques de calcul de Malliavin et une analyse subtile sur la structure de saut de la subordonnée impliquant l'amplitude des sauts et le nombre de sauts.

Dans cet article, nous considérons un processus unidimensionnel de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dont le coefficient de dérive dépend de paramètres inconnus. En considérant le processus discrètement observé à haute fréquence, nous prouvons la propriété de normalité asymptotique locale dans le cas sous-critique, la quadraticité asymptotique locale dans le cas critique, et la propriété de normalité asymptotique locale mixte dans le cas supercritique. Pour obtenir ces résultats, nous utilisons les techniques de calcul de Malliavin développées récemment pour le processus CIR par Al\`os et {\it al.} \cite{AE08} et Altmayer et {\it al.} \cite{AN14} ainsi que l'estimation de la norme $L^p$ pour les moments positifs et négatifs du processus CIR obtenue par Bossy et {\it al.} \cite{BD07} et Ben Alaya et {\it al.} \cite{BK12,BK13}. Dans cette étude, nous exigeons les mêmes conditions de haute fréquence $\Delta_n\rightarrow 0$ et d'horizon infini $n\Delta_n\rightarrow\infty$ que dans le cas des diffusions ergodiques à coefficients globalement Lipschitz étudié précédemment par Gobet \cite{G02}. Cependant, dans les cas non ergodiques, des hypothèses supplémentaires sur le taux de décroissance de $\Delta_n$ sont nécessaires en raison du fait que le coefficient de diffusion racine carrée du processus CIR n'est pas assez régulier. En effet, nous supposons $n\Delta_n^{3}\à 0$ pour le cas critique et $\Delta_n^{2}e^{-b_0n\Delta_n}\à 0$ pour le cas supercritique.

Nous considérons un processus de Cox--Ingersoll--Ross (CIR) de type saut piloté par un processus de Wiener standard et un subordonné, et nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) pour son taux de croissance. Nous distinguons trois cas : sous-critique, critique et supercritique. Dans le cas sous-critique, nous prouvons la cohérence faible et la normalité asymptotique, et, sous une hypothèse de moment supplémentaire, la cohérence forte également. Dans le cas supercritique, nous prouvons la cohérence forte et le comportement asymptotique mixte normal (mais non normal), tandis que dans le cas critique, nous décrivons la cohérence faible et le comportement asymptotique non normal. Nous spécialisons également nos résultats aux diffusions par saut affines dites de base. En ce qui concerne le comportement asymptotique de la MLE dans le cas supercritique, nous dérivons une représentation stochastique de la distribution normale mixte limitante, où la limite presque sûre d'un processus CIR supercritique de type saut à échelle appropriée entre en jeu. Il s'agit d'un nouveau phénomène, comparé au cas critique, où un processus CIR critique de type diffusion joue un rôle.

Nous considérons un processus de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) de type saut piloté par un processus de Wiener standard et un subordonné, et nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) pour son taux de croissance. Nous distinguons trois cas : sous-critique, critique et supercritique. Dans le cas sous-critique, nous prouvons la cohérence faible et la normalité asymptotique, et, sous une hypothèse de moment supplémentaire, la cohérence forte également. Dans le cas supercritique, nous prouvons la cohérence forte et le comportement asymptotique mixte normal (mais non normal), tandis que dans le cas critique, nous décrivons la cohérence faible et le comportement asymptotique non normal. Nous spécialisons également nos résultats aux diffusions par saut affines dites de base. En ce qui concerne le comportement asymptotique de la MLE dans le cas supercritique, nous dérivons une représentation stochastique de la distribution normale mixte limitante, où la limite presque sûre d'un processus CIR supercritique de type saut à échelle appropriée entre en jeu. Il s'agit d'un nouveau phénomène, comparé au cas critique, où un processus CIR critique de type diffusion joue un rôle.

Dans cet article, nous nous intéressons à la dérivation de limites d'erreurs non-asymptotiques pour la méthode de Monte-Carlo multi-niveaux. Dans un premier temps, nous traitons la discrétisation explicite d'Euler des équations différentielles stochastiques avec un coefficient de diffusion constant. Nous obtenons une concentration de type gaussien. Pour ce faire, nous utilisons la formule de représentation de Clark-Ocone et nous dérivons des limites pour les fonctions génératrices de moments de la différence au carré entre un schéma d'Euler brut et un schéma plus fin et de la différence au carré de leurs dérivées de Malliavin.

Dans ce travail, nous proposons une idée intelligente pour coupler l'échantillonnage par importance et la méthode de Monte-Carlo multiniveau (MLMC). Nous préconisons une approche par niveau avec autant de paramètres d'échantillonnage par importance que le nombre de niveaux, ce qui nous permet de calculer les différents niveaux indépendamment. La recherche des paramètres est effectuée en utilisant l'approximation par moyenne d'échantillon, qui consiste essentiellement à appliquer des techniques d'optimisation déterministes à une approximation de Monte Carlo plutôt que de recourir à une approximation stochastique. Notre estimateur innovant conduit à une procédure robuste et efficace réduisant à la fois l'erreur de discrétisation (le biais) et la variance pour un effort de calcul donné. Dans le cadre de diffusions discrétisées, nous prouvons que notre estimateur satisfait une loi des grands nombres forte et un théorème central limite avec une variance limite optimale, dans le sens où il s'agit de la variance obtenue par la meilleure mesure d'échantillonnage par importance (parmi la classe de changements que nous considérons), qui est cependant non traçable. Enfin, nous illustrons l'efficacité de notre méthode sur plusieurs défis numériques issus de la finance quantitative et montrons qu'elle surpasse l'estimateur MLMC standard.

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Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés de convergence forte du schéma de Ninomiya et Victoir. Les auteurs de ce schéma proposent d'approcher la solution d'une équation différentielle stochastique (EDS), notée $X$, en résolvant $d+1$ équations différentielles ordinaires (EDOs) sur chaque pas de temps, où $d$ est la dimension du mouvement brownien. Le but de cette étude est d'analyser l'utilisation de ce schéma dans une méthode de Monte-Carlo multi-pas. En effet, la complexité optimale de cette méthode est dirigée par l'ordre de convergence vers $0$ de la variance entre les schémas utilisés sur la grille grossière et sur la grille fine. Cet ordre de convergence est lui-même lié à l'ordre de convergence fort entre les deux schémas. Nous montrons alors dans le chapitre $2$, que l'ordre fort du schéma de Ninomiya-Victoir, noté $X^{NV,eta}$ et de pas de temps $T/N$, est $1/2$. Récemment, Giles et Szpruch ont proposé un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité $Oleft(epsilon^{-2}right)$ à l'aide d'un schéma de Milstein modifié. Dans le même esprit, nous proposons un schéma de Ninomiya-Victoir modifié qui peut-être couplé à l'ordre fort $1$ avec le schéma de Giles et Szpruch au dernier niveau d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas. Cette idée est inspirée de Debrabant et Rossler. Ces auteurs suggèrent d'utiliser un schéma d'ordre faible élevé au niveau de discrétisation le plus fin. Puisque le nombre optimal de niveaux de discrétisation d'une méthode de Monte-Carlo multi-pas est dirigé par l'erreur faible du schéma utilisé sur la grille fine du dernier niveau de discrétisation, cette technique permet d'accélérer la convergence de la méthode Monte-Carlo multi-pas en obtenant une approximation d'ordre faible élevé. L'utilisation du couplage à l'ordre $1$ avec le schéma de Giles-Szpruch nous permet ainsi de garder un estimateur Monte-Carlo multi-pas réalisant une complexité optimale $Oleft( epsilon^{-2} right)$ tout en profitant de l'erreur faible d'ordre $2$ du schéma de Ninomiya-Victoir. Dans le troisième chapitre, nous nous sommes intéressés à l'erreur renormalisée définie par $sqrt{N}left(X - X^{NV,eta}right)$. Nous montrons la convergence en loi stable vers la solution d'une EDS affine, dont le terme source est formé des crochets de Lie entre les champs de vecteurs browniens. Ainsi, lorsqu'au moins deux champs de vecteurs browniens ne commutent pas, la limite n'est pas triviale. Ce qui assure que l'ordre fort $1/2$ est optimal. D'autre part, ce résultat peut être vu comme une première étape en vue de prouver un théorème de la limite centrale pour les estimateurs Monte-Carlo multi-pas. Pour cela, il faut analyser l'erreur en loi stable du schéma entre deux niveaux de discrétisation successifs. Ben Alaya et Kebaier ont prouvé un tel résultat pour le schéma d'Euler. Lorsque les champs de vecteurs browniens commutent, le processus limite est nul. Nous montrons que dans ce cas précis, que l'ordre fort est $1$. Dans le chapitre 4, nous étudions la convergence en loi stable de l'erreur renormalisée $Nleft(X - X^{NV}right)$ où $X^{NV}$ est le schéma de Ninomiya-Victoir lorsque les champs de vecteurs browniens commutent. Nous démontrons la convergence du processus d'erreur renormalisé vers la solution d'une EDS affine. Lorsque le champ de vecteurs dritf ne commute pas avec au moins un des champs de vecteurs browniens, la vitesse de convergence forte obtenue précédemment est optimale.

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Au cours de la dernière décennie, il y a eu un intérêt croissant pour l'utilisation des processus de Wishart pour la modélisation, en particulier pour les applications financières. Cependant, il existe encore peu d'études sur l'estimation de ses paramètres. Ici, nous étudions l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) afin d'estimer les paramètres de dérive d'un processus de Wishart. Nous obtenons des taux et des limites de convergence précis pour cet estimateur dans le cas ergodique et dans certains cas nonergodiques. Nous vérifions que l'ELM atteint le taux de convergence optimal dans chaque cas. Motivés par cette étude, nous présentons également de nouveaux résultats sur la transformée de Laplace qui étendent les résultats récents de Gnoatto et Grasselli et présentent un intérêt indépendant.

Dans cette thèse, nous proposons une approche progressive (forward) pour la représentation probabiliste d'Equations aux Dérivées Partielles (EDP) nonlinéaires et nonconservatives, permettant ainsi de développer un algorithme particulaire afin d'en estimer numériquement les solutions. Les Equations Différentielles Stochastiques Nonlinéaires de type McKean (NLSDE) étudiées dans la littérature constituent une formulation microscopique d'un phénomène modélisé macroscopiquement par une EDP conservative. Une solution d'une telle NLSDE est la donnée d'un couple $(Y,u)$ où $Y$ est une solution d' équation différentielle stochastique (EDS) dont les coefficients dépendent de $u$ et de $t$ telle que $u(t,cdot)$ est la densité de $Y_t$. La principale contribution de cette thèse est de considérer des EDP nonconservatives, c'est-à- dire des EDP conservatives perturbées par un terme nonlinéaire de la forme $Lambda(u,nabla u)u$. Ceci implique qu'un couple $(Y,u)$ sera solution de la représentation probabiliste associée si $Y$ est un encore un processus stochastique et la relation entre $Y$ et la fonction $u$ sera alors plus complexe. Etant donnée la loi de $Y$, l'existence et l'unicité de $u$ sont démontrées par un argument de type point fixe via une formulation originale de type Feynmann-Kac.

L'objectif de cette thèse est de contribuer à améliorer le calcul de la valorisation des obligations d'entreprise, notamment en essayant de tirer des leçons de la récente crise économique et financière. Afin d'atteindre cet objectif, nous proposons une approche basée sur les spreads de crédit. Nous commençons, dans un premier chapitre, par une analyse des principaux modèles de valorisation existants, que nous reformulons du point de vue des spreads et que nous simulons numériquement. Nous montrons que, malgré les caractéristiques attrayantes des modèles de type structurel, ceux ci comportent plusieurs lacunes qui peuvent être trompeuses surtout en contexte de crise. Dans les deuxième et troisième chapitres, nous mettons l'accent sur les spreads empiriques, que nous analysons pendant les crises des subprimes et de la zone euro. Par l'intermédiaire : (i) d'une analyse descriptive, (ii) d'analyses en composantes principales, ainsi que (iii) d'analyses par régressions statistiques, nous parvenons à mettre la lumière sur plusieurs facteurs qui affectent les mouvements des spreads et qui ne sont pas pris en compte par les modèles existants. Parmi ces facteurs, nous montrons : (i) que la vague de sauvetage des banques pendant la crise a eu un effet considérable sur les spreads de crédit, et (ii) que la taille d'une firme a également un effet sur ses spreads. Sur la base de ces résultats empiriques, nous proposons dans un quatrième chapitre une contribution à la modélisation structurelle des obligations d'entreprise, qui prend en compte la possibilité des firmes de négocier un sauvetage en cas de détresse. À l'aide de ce modèle, nous parvenons, d'une part, à reproduire les observations empiriques de spreads plus faibles pour des probabilités de sauvetage plus élevées (comme c'est le cas pour les grandes banques), et d'autre part, à combler plusieurs lacunes des modèles existants, tels que les simples mécanismes de faillite, ou les faibles spreads de crédit pour les courtes maturités.

Cet article se concentre sur l'étude de la méthode de Monte Carlo multi-niveaux récemment introduite par Giles [Oper. Res. 56 (2008) 607-617] qui est significativement plus efficace que la méthode de Monte Carlo classique. Notre objectif est de prouver un théorème central limite de type Lindeberg-Feller pour la méthode de Monte Carlo multi-niveaux associée au schéma de discrétisation d'Euler. Pour ce faire, nous prouvons d'abord un théorème de convergence à loi stable, dans l'esprit de Jacod et Protter [Ann. Probab. 26 (1998) 267-307], pour l'erreur du schéma d'Euler sur deux niveaux consécutifs de l'algorithme. Cela conduit à une description précise du choix optimal des paramètres et à une caractérisation explicite de la variance limite dans le théorème central limite de l'algorithme. Une complexité de l'algorithme de Monte Carlo multi-niveaux est réalisée.

Dans cette thèse, on s’intéresse à la combinaison des méthodes de réduction de variance et de réduction de la complexité de la méthode Monte Carlo. Dans une première partie de cette thèse, nous considérons un modèle de diffusion continu pour lequel on construit un algorithme adaptatif en appliquant l’importance sampling à la méthode de Romberg Statistique Nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller pour cet algorithme. Dans ce même cadre et dans le même esprit, on applique l’importance sampling à la méthode de Multilevel Monte Carlo et on démontre également un théorème central limite pour l’algorithme adaptatif obtenu. Dans la deuxième partie de cette thèse,on développe le même type d’algorithme pour un modèle non continu à savoir les processus de Lévy. De même, nous démontrons un théorème central limite de type Lindeberg Feller. Des illustrations numériques ont été menées pour les différents algorithmes obtenus dans les deux cadres avec sauts et sans sauts.

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Cet article traite du problème de l'estimation globale des paramètres dans le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Ce modèle est fréquemment utilisé en finance, par exemple pour modéliser l'évolution des taux d'intérêt à court terme ou comme dynamique de la volatilité dans le modèle de Heston. Nous établissons de nouveaux résultats asymptotiques sur l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) associé à l'estimation globale des paramètres de dérive du processus CIR. Nous obtenons des théorèmes limites variés et originaux sur notre MLE, avec différents taux et différents types de distributions limites. Nos résultats sont obtenus pour les deux cas : diffusion ergodique et nonergodique.

L'efficacité des simulations de Monte-Carlo est considérablement améliorée lorsqu'elles sont mises en œuvre avec des méthodes de réduction de variance. Parmi ces méthodes, nous nous concentrons sur la technique populaire d'échantillonnage par importance basée sur la production d'une transformation paramétrique par le biais d'un paramètre de décalage θ. Le choix optimal de θ est approché à l'aide de procédures de Robbins-Monro, à condition qu'une condition de non explosion soit satisfaite. Dans le cas contraire, on peut utiliser soit un algorithme de Robbins-Monro contraint (voir par exemple Arouna [2] et Lelong [17]), soit une procédure plus astucieuse basée sur une approche non contrainte récemment introduite par Lemaire et Pagès dans [18]. Dans cet article, nous développons un nouvel algorithme basé sur une combinaison de la méthode statistique de Romberg et de la technique d'échantillonnage par importance. La méthode statistique de Romberg introduite par Kebaier dans [13] est connue pour réduire efficacement la complexité par rapport à la méthode classique de Monte Carlo. Dans le cadre des diffusions discrétisées, nous prouvons la convergence presque certaine des versions contraintes et non contraintes de la routine de Robbins-Monro, vers le décalage optimal θ^∗ qui minimise la variance associée à la méthode statistique de Romberg. Ensuite, nous prouvons un théorème central limite pour le nouvel algorithme que nous appelons méthode de Romberg statistique adaptative. Enfin, nous illustrons par simulation numérique l'efficacité de notre méthode à travers des applications dans l'évaluation des options pour le modèle de Heston.

Cette Thèse est composée de deux parties portant respectivement sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques et sur le théorème de la limite centrale presque sûre pour les martingales. La première Partie est composée de trois chapitres: Le premier chapitre introduit le cadre de l'étude et présente les résultats obtenus. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une nouvelle méthode d'accélération de convergence, appelée méthode de Romberg statistique, pour le calcul d'espérances de fonctions ou de fonctionnelles d'une diffusion. Le troisième chapitre traite de l'application de cette méthode à l'approximation de densité par des méthodes de noyaux. La deuxième partie de la thèse est composée de deux chapitres: le premier chapitre présente la littérature récente concernant le théorème de la limite centrale presque sûre et ses extensions. Le deuxième chapitre, étend divers résultats de type TLCPS à des martingales quasi-continues à gauche.

Cette Thèse est composée de deux parties portant respectivement sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques et sur le théorème de la limite centrale presque sûre pour les martingales. La première Partie est composée de trois chapitres: Le premier chapitre introduit le cadre de l'étude et présente les résultats obtenus. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une nouvelle méthode d'accélération de convergence, appelée méthode de Romberg statistique, pour le calcul d'espérances de fonctions ou de fonctionnelles d'une diffusion. Ce chapitre est la version augmentée d'un article à paraître dans la revue Annals of Applied Probability. Le troisième chapitre traite de l'application de cette méthode à l'approximation de densité par des méthodes de noyaux. Ce chapitre est basé sur un travail en collaboration avec Arturo Kohatsu-Higa. La deuxième partie de la thèse est composée de deux chapitres: le premier chapitre présente la littérature récente concernant le théorème de la limite centrale presque sûre et ses extensions. Le deuxième chapitre, basé sur un travail en collaboration avec Faouzi Chaâbane, étend divers résultats de type TLCPS à des martingales quasi-continues à gauche.