Utilité dynamique et SPDE non linéaires connexes pilotés par le bruit de Lévy.

Résumé Ce travail concerne l'étude des utilités dynamiques cohérentes dans un marché financier avec sauts. Nous étendons les résultats établis dans l'article [EKM13] à ce cadre. Les idées sont similaires mais les difficultés sont différentes en raison de la présence du processus de Lévy. Une complexité supplémentaire est clairement l'interprétation des termes de sauts dans les différents problèmes primal et dual et de les relier les uns aux autres. Pour ce faire, nous avons besoin d'une extension de la formule d'Itô-Ventzel au cadre de saut. Par vérification, nous montrons que l'utilité dynamique est la solution d'une équation intégro-différentielle partielle stochastique non linéaire du second ordre (SPIDE). La principale difficulté est que cette SPIDE est à terme, il n'y a donc pas de résultats dans la littérature qui assurent l'existence d'une solution ou simplement qui nous permettent de déduire des propriétés importantes, dans notre étude, telles que la concavité ou la monotonicité. Notre approche est basée sur une étude complète du problème primaire et du problème dual. Ceci nous permet, dans un premier temps, d'établir une connexion entre l'utilité-SPIDE et deux SDEs satisfaits par les processus optimaux. Sur la base de cette connexion et de la théorie des EDS, la technique des flux stochastiques et la méthode caractéristique nous permettent, dans un deuxième temps, de résoudre complètement l'équation.