MATOUSSI Anis

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Le but de cette courte note est de combler une lacune dans notre article précédent [7] sur les 2BSDE avec réflexions, et d'expliquer comment corriger les résultats ultérieurs dans le deuxième article [6]. Nous fournissons également plus d'informations sur les propriétés des 2RBSDE, à la lumière des contributions récentes [5, 13] dans le cadre dit "G".

Nous considérons un modèle stylisé pour un réseau électrique avec production et stockage d'électricité locale distribuée. Ce système est modélisé comme un réseau de connexion d'un grand nombre de nœuds, où chaque nœud est caractérisé par une consommation locale d'électricité, a une production locale d'électricité (par exemple des panneaux photovoltaïques), et gère un dispositif de stockage local. En fonction de ses taux instantanés de consommation et de production ainsi que de sa décision de gestion du stockage, chaque nœud peut soit acheter soit vendre de l'électricité, ce qui a un impact sur le prix spot de l'électricité. L'objectif de chaque nœud est de minimiser les coûts d'énergie et de stockage en contrôlant de manière optimale le dispositif de stockage. Dans un cadre de jeu non coopératif, nous sommes conduits à l'analyse d'un jeu stochastique à somme non nulle avec $N$ joueurs où l'interaction a lieu à travers le mécanisme du prix spot. Pour un nombre infini d'agents, notre modèle correspond à un Extended Mean-Field Game (EMFG). Dans un cadre linéaire quadratique, nous obtenons une solution explicite de l'EMFG, nous montrons qu'elle fournit un équilibre de Nash approximatif pour un jeu à N$ joueurs, et nous comparons cette solution à la stratégie optimale d'un planificateur central.

Cette thèse est relative aux Equations Différentielles Stochastique Rétrogrades (EDSRs) réfléchies avec deux obstacles et leurs applications aux jeux de switching de somme nulle, aux systèmes d’équations aux dérivées partielles, aux problèmes de mean-field. Il y a deux parties dans cette thèse. La première partie porte sur le switching optimal stochastique et est composée de deux travaux. Dans le premier travail, nous montrons l’existence de la solution d’un système d’EDSR réfléchies à obstacles bilatéraux interconnectés dans le cadre probabiliste général. Ce problème est lié à un jeu de switching de somme nulle. Ensuite nous abordons la question de l’unicité de la solution. Et enfin nous appliquons les résultats obtenus pour montrer que le système d’EDP associé à une unique solution au sens viscosité, sans la condition de monotonie habituelle. Dans le second travail, nous considérons aussi un système d’EDSRs réfléchies à obstacles bilatéraux interconnectés dans le cadre markovien. La différence avec le premier travail réside dans le fait que le switching ne s’opère pas de la même manière. Cette fois-ci quand le switching est opéré, le système est mis dans l’état suivant importe peu lequel des joueurs décide de switcher. Cette différence est fondamentale et complique singulièrement le problème de l’existence de la solution du système. Néanmoins, dans le cadre markovien nous montrons cette existence et donnons un résultat d’unicité en utilisant principalement la méthode de Perron. Ensuite, le lien avec un jeu de switching spécifique est établi dans deux cadres. Dans la seconde partie nous étudions les EDSR réfléchies unidimensionnelles à deux obstacles de type mean-field. Par la méthode du point fixe, nous montrons l’existence et l’unicité de la solution dans deux cadres, en fonction de l’intégrabilité des données.

Dans cet article, nous étudions une équation différentielle stochastique rétroactive doublement réfléchie avec sauts (DRBSDE en abrégé) lorsque le générateur a une croissance quadratique générale. Nous étendons le résultat d'Essaky et Hassani [14] au cadre de saut et à un générateur avec une croissance quadratique exponentielle générale.

Nous prouvons un résultat d'existence et d'unicité pour le problème à deux obstacles pour les EDP stochastiques quasilinéaires (DOSPDEs en abrégé). La méthode est basée sur l'interprétation probabiliste de la solution en utilisant les équations différentielles rétroactives doublement stochastiques (BDSDEs en abrégé).

Ce travail concerne l'étude des utilités dynamiques cohérentes dans un marché financier avec sauts. Nous étendons les résultats établis dans l'article [EKM13] à ce cadre. Les idées sont similaires mais les difficultés sont différentes en raison de la présence du processus de Lévy. Une complexité supplémentaire est clairement l'interprétation des termes de sauts dans les différents problèmes primal et dual et de les relier les uns aux autres. Pour ce faire, nous avons besoin d'une extension de la formule d'Itô-Ventzel au cadre de saut. Par vérification, nous montrons que l'utilité dynamique est la solution d'une équation intégro-différentielle partielle stochastique non linéaire du second ordre (SPIDE). La principale difficulté est que cette SPIDE est à terme, il n'y a donc pas de résultats dans la littérature qui assurent l'existence d'une solution ou simplement qui nous permettent de déduire des propriétés importantes, dans notre étude, telles que la concavité ou la monotonicité. Notre approche est basée sur une étude complète du problème primaire et du problème dual. Ceci nous permet, dans un premier temps, d'établir une connexion entre l'utilité-SPIDE et deux SDEs satisfaits par les processus optimaux. Sur la base de cette connexion et de la théorie des EDS, la technique des flux stochastiques et la méthode caractéristique nous permettent, dans un deuxième temps, de résoudre complètement l'équation.

Cette thèse porte sur l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec sauts et leurs applications.Dans le chapitre 1, nous étudions une classe d'EDSR lorsque le bruit provient d'un mouvement Brownien et d'une mesure aléatoire de saut indépendante à activité infinie. Plus précisément, nous traitons le cas où le générateur est à croissance quadratique et la condition terminale est non bornée. L'existence et l'unicité de la solution sont prouvées en combinant à la fois la procédure d'approximation monotone et une approche progressive. Cette méthode permet de résoudre le cas où la condition terminale est non bornée.Le chapitre 2 est consacré aux EDSR avec sauts généralisées doublement réfléchies sous des hypothèses d’intégrabilités faibles. Plus précisément, on montre l'existence d'une solution pour un générateur à croissance quadratique stochastique et une condition terminale non bornée. Nous montrons également, dans un cadre approprié, la connexion entre notre classe d’équations différentielles stochastiques rétrogrades et les jeu à somme nuls.Dans le chapitre 3, nous considérons une classe générale d'EDSR progressive-rétrograde couplée avec sauts de type Mackean Vlasov sous une condition faible de monotonicité. Les résultats d'existence et d'unicité sont établis sous deux classes d'hypothèses en se basant sur des schémas de perturbations soit de l’équation différentielle stochastique progressive, soit de l’équation différentielle stochastique rétrograde. On conclut le chapitre par un problème de stockage optimal d’énergie dans un parc électrique de type champs moyen.

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Dans cet article, nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution d'un système SDE couplé champ moyen-avant-arrière avec sauts. Ensuite, nous donnons une application dans le domaine du problème de stockage dans les réseaux intelligents, étudié dans [4] dans le cas où la production d'électricité n'est pas prévisible en raison, par exemple, des changements dans les prévisions météorologiques.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et leurs applications. Dans le chapitre 1, on étudie le problème de maximisation de l'utilité de la richesse terminale où le prix de l'actif peut être discontinue sous des contraintes sur les stratégies de l'agent. Nous nous concentrons sur l'EDSR dont la solution représente l'utilité maximale, ce qui permet de transférer des résultats sur les EDSR quadratiques, en particulier les résultats de stabilité, au problème de maximisation d'utilité. Dans le chapitre 2, nous considèrons le problème de valorisation d'options Américaines des points de vue théorique et numérique en s'appuyant sur la représentation du prix de l'option comme solution de viscosité d'une équation parabolique non linéaire. Nous étendons le résultat prouvé dans [Benth, Karlsen and Reikvam 2003] pour un put ou call Américain à un cas plus général dans un cadre multidimensionnel. Nous proposons deux schémas numériques inspirés par les processus de branchement. Nos expériences numériques montrent que l'approximation du générateur discontinu, associé à l'EDP, par des polynômes locaux n'est pas efficace tandis qu'une simple procédure de randomisation donne de très bon résultats. Dans le chapitre 3, nous prouvons des résultats d'existence et d'unicité pour une classe générale d'équations progressives-rétrogrades à champs moyen sous une condition de monotonicité faible et une hypothèse non-dégénérescence sur l'équation progressive et nous donnons une application dans le domaine de stockage d'énergie dans le cas où la production d'électricité est imprévisible.

Nous considérons un modèle stylisé pour un réseau électrique avec production et stockage d'électricité locale distribuée. Ce système est modélisé comme un réseau de connexion d'un grand nombre de nœuds, où chaque nœud est caractérisé par une consommation locale d'électricité, a une production locale d'électricité (par exemple des panneaux photovoltaïques), et gère un dispositif de stockage local. En fonction de ses taux instantanés de consommation et de production ainsi que de sa décision de gestion du stockage, chaque nœud peut soit acheter soit vendre de l'électricité, ce qui a un impact sur le prix spot de l'électricité. L'objectif de chaque nœud est de minimiser les coûts d'énergie et de stockage en contrôlant de manière optimale le dispositif de stockage. Dans un cadre de jeu non coopératif, nous sommes conduits à l'analyse d'un jeu stochastique à somme non nulle avec $N$ joueurs où l'interaction a lieu à travers le mécanisme du prix spot. Pour un nombre infini d'agents, notre modèle correspond à un Extended Mean-Field Game (EMFG). Dans un cadre linéaire quadratique, nous obtenons une solution explicite de l'EMFG, nous montrons qu'elle fournit un équilibre de Nash approximatif pour un jeu à N$ joueurs, et nous comparons cette solution à la stratégie optimale d'un planificateur central.

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Cet article introduit un problème dual pour étudier un problème de consommation et d'investissement en temps continu avec des marchés incomplets et une utilité différentielle stochastique. Pour l'utilité d'Epstein-Zin, la dualité entre les problèmes primaire et dual est établie. Par conséquent, la stratégie optimale du problème de consommation et d'investissement est identifiée sans supposer plusieurs conditions techniques sur le modèle de marché, la spécification de l'utilité et la stratégie admissible de l'agent. Entre-temps, le minimiseur du problème dual est identifié comme le gradient d'utilité de la valeur primale et est interprété économiquement comme l'achèvement "le moins favorable" du marché.

Dans cet article, nous étudions une classe d'équations différentielles stochastiques quadratiques à rebours (QBSDE en abrégé) avec sauts et condition terminale non bornée. Nous étendons la classe de semimartingales quadratiques introduite par Barrieu et El Karoui (2013) dans le modèle de diffusion à sauts. Les propriétés de cette classe de semimartingales nous conduisent à prouver un résultat d'existence pour la solution d'une BSDE quadratique.

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Un cadre paramétrique est proposé pour modéliser les sinistres attritionnels et atypiques pour la tarification des assurances. Ce modèle s'appuie sur un modèle linéaire généralisé classique pour les sinistres attritionnels et sur un modèle de régression non standard à distribution Pareto généralisée pour les sinistres atypiques. Des estimateurs du maximum de vraisemblance (en forme fermée pour la partie du modèle linéaire généralisé et calculés avec la procédure des moindres carrés pondérés itérés pour la partie de la régression de la distribution de Pareto généralisée) sont proposés pour calibrer le modèle. Deux principes de prime (principe de la valeur attendue et principe de l'écart type) sont calculés sur un ensemble de données réelles de la garantie incendie d'un secteur d'activité d'une entreprise. Dans notre méthodologie, l'ajustement de la charge de sécurité dans les deux principes de prime est effectué pour répondre à une contrainte de solvabilité de sorte que la prime plafonne un quantile élevé de la distribution des sinistres annuels agrégés sur un portefeuille de référence.

Dans cet article, nous présentons une condition suffisante pour les critères de grande déviation de Budhiraja, Dupuis et Maroulas pour les fonctionnelles des mouvements browniens. Nous établissons ensuite un principe de grande déviation pour les problèmes d'obstacles d'équations différentielles partielles stochastiques quasi-linéaires. Il s'avère que les équations différentielles stochastiques rétroactives joueront un rôle important.

Dans cet article, nous nous intéressons à la résolution numérique des équations différentielles doublement stochastiques rétroactives (BDSDE) avec un temps terminal aléatoire tau. Les motivations principales sont de donner une représentation probabiliste de la solution de Sobolev du problème de Dirichlet pour les EDPS semilinéaires et de fournir le schéma numérique pour ces EDPS. Ainsi, nous étudions l'approximation forte de cette classe de BDSDEs lorsque tau est le premier temps de sortie d'une EDS directe d'un domaine cylindrique. Les schémas d'Euler et les limites de l'erreur d'approximation en temps discret sont fournis.

Dans cet article, un problème de contrôle stochastique sous incertitude de modèle avec un terme de pénalité général est étudié. Deux types de pénalités sont considérés. La première est une pénalité de type f-divergence traitée dans le cadre général d'une filtration continue. La seconde, appelée pénalité de temps cohérent, est étudiée dans le contexte d'une filtration brownienne. Dans le cas de la pénalité de temps cohérente, nous caractérisons le processus de valeur de notre problème de contrôle stochastique comme la solution unique d'une classe d'équations différentielles stochastiques quadratiques à rebours avec une condition terminale non bornée.

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Cet article présente des résultats d'existence et d'unicité pour des équations différentielles doublement stochastiques réfléchies (en bref, RBDSDE) dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant une approche de flux stochastique, une interprétation probabiliste pour un système d'EDPS réfléchies dans un domaine est donnée via ces RBDSDE. La solution est exprimée comme une paire (u, ν) où u est un processus continu prévisible qui prend des valeurs dans un espace Sobolev et ν est une mesure régulière aléatoire. Le processus de variation bornée K, la composante de la solution de la RBDSDE réfléchie, contrôle l'ensemble lorsque u atteint la limite de D. Ce processus de variation bornée détermine la mesure ν à partir d'une relation particulière en utilisant l'inverse du flux associé à l'opérateur de diffusion.

Nous prouvons un résultat de régularité L2 pour les solutions des équations différentielles Forward Backward Doubly Stochastic (F-BDSDEs en bref) sous des hypothèses globalement continues de Lipschitz sur les coefficients. Par conséquent, nous étendons les résultats de régularité bien connus établis par Zhang (2004) pour les équations différentielles stochastiques avant-arrière (F-BSDE en bref) au cadre doublement stochastique. À cette fin, nous prouvons (par le calcul de Malliavin) un résultat de représentation pour la composante martingale de la solution de la F-BDSDE sous l'hypothèse que les coefficients sont continus dans le temps et continuellement différentiables dans l'espace avec des dérivées partielles bornées. En tant qu'application (importante) de notre résultat de régularité L2, nous dérivons le taux de convergence en temps pour le schéma numérique (basé sur la discrétisation en temps d'Euler) pour les F-BDSDEs proposé par Bachouch et al.(2016) sous seulement des hypothèses globalement continues Lipschitz.

Le but de cette courte note est de combler une lacune dans notre article précédent [7] sur les 2BSDE avec réflexions, et d'expliquer comment corriger les résultats ultérieurs dans le deuxième article [6]. Nous fournissons également plus d'informations sur les propriétés des 2RBSDE, à la lumière des contributions récentes [5, 13] dans le cadre dit "G".

Cette thèse traite des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies du second ordre dans une filtration générale . Nous avons traité tout d'abord la réflexion à une barrière inférieure puis nous avons étendu le résultat dans le cas d'une barrière supérieure. Notre contribution consiste à démontrer l'existence et l'unicité de la solution de ces équations dans le cadre d'une filtration générale sous des hypothèses faibles. Nous remplaçons la régularité uniforme par la régularité de type Borel. Le principe de programmation dynamique pour le problème de contrôle stochastique robuste est donc démontré sous les hypothèses faibles c'est à dire sans régularité sur le générateur, la condition terminal et la barrière. Dans le cadre des Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSRs ) standard, les problèmes de réflexions à barrières inférieures et supérieures sont symétriques. Par contre dans le cadre des EDSRs de second ordre, cette symétrie n'est plus valable à cause des la non linéarité de l'espérance sous laquelle est définie notre problème de contrôle stochastique robuste non dominé. Ensuite nous un schéma d'approximation numérique d'une classe d'EDSR de second ordre réfléchies. En particulier nous montrons la convergence de schéma et nous testons numériquement les résultats obtenus.

Dans cet article, nous proposons une théorie de la bienposition pour une classe d'équation différentielle doublement stochastique du second ordre (2BDSDE). Nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution sous une hypothèse de type Lipschitz sur le générateur, et nous étudions les liens entre nos 2BDSDE et une classe d'EDP stochastiques paraboliques entièrement non linéaires. Précisément, nous montrons que la solution markovienne des 2BDSDEs fournit une interprétation probabiliste de la solution de viscosité classique et stochastique des EDPS entièrement non linéaires.

Cette thèse étudie la gestion et la couverture du risque en s’appuyant sur la Value-at-Risk (VaR) et la Value-at-Risk Conditionnelle (CVaR), comme mesures de risque. La première partie propose un modèle d’évolution de prix que nous confrontons à des données réelles issues de la bourse de Paris (Euronext PARIS). Notre modèle prend en compte les probabilités d’occurrence des pertes extrêmes et les changements de régimes observés sur les données. Notre approche consiste à détecter les différentes périodes de chaque régime par la construction d’une chaîne de Markov cachée et à estimer la queue de distribution de chaque régime par des lois puissances. Nous montrons empiriquement que ces dernières sont plus adaptées que les lois normales et les lois stables. L’estimation de la VaR est validée par plusieurs backtests et comparée aux résultats d’autres modèles classiques sur une base de 56 actifs boursiers. Dans la deuxième partie, nous supposons que les prix boursiers sont modélisés par des exponentielles de processus de Lévy. Dans un premier temps, nous développons une méthode numérique pour le calcul de la VaR et la CVaR cumulatives. Ce problème est résolu en utilisant la formalisation de Rockafellar et Uryasev, que nous évaluons numériquement par inversion de Fourier. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à la minimisation du risque de couverture des options européennes, sous une contrainte budgétaire sur le capital initial. En mesurant ce risque par la CVaR, nous établissons une équivalence entre ce problème et un problème de type Neyman-Pearson, pour lequel nous proposons une approximation numérique s’appuyant sur la relaxation de la contrainte.

Dans cet article, nous nous intéressons à la résolution numérique des équations différentielles doublement stochastiques rétroactives (BDSDE) avec un temps terminal aléatoire tau. Les motivations principales sont de donner une représentation probabiliste de la solution de Sobolev du problème de Dirichlet pour les EDPS semilinéaires et de fournir le schéma numérique pour ces EDPS. Ainsi, nous étudions l'approximation forte de cette classe de BDSDEs lorsque tau est le premier temps de sortie d'une EDS directe d'un domaine cylindrique. Les schémas d'Euler et les limites de l'erreur d'approximation en temps discret sont fournis.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section.

Dans cet article, nous prouvons d'abord l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle doublement stochastique à rebours (BDSDE) et de l'équation différentielle partielle stochastique (SPDE) associée sous l'hypothèse de monotonicité sur le générateur. Ensuite, nous étudions le cas où la donnée terminale est singulière, dans le sens où elle peut être égale à +∞ sur un ensemble de mesure positive. Dans ce cadre, nous montrons qu'il existe une solution minimale, à la fois pour le BDSDE et pour le SPDE. Notez que la solution de l'EDPS signifie une solution faible au sens de Sobolev.

Dans cet article, nous obtenons une approximation de Wong-Zakai pour les solutions d'équations différentielles rétroactives doublement stochastiques.

Dans cet article, nous concevons un schéma numérique pour l'approximation des équations différentielles rétro-doublement stochastiques (BDSDE) qui représentent la solution des équations différentielles partielles stochastiques (SPDE). Nous utilisons d'abord une discrétisation temporelle, puis nous décomposons la fonction de valeur sur une base de fonctions. Les fonctions sont déterministes et ne dépendent que des variables spatio-temporelles, tandis que les coefficients de décomposition dépendent du mouvement brownien externe B. Les coefficients sont évalués par un schéma de régression empirique, qui est effectué conditionnellement à B. Nous établissons des estimations d'erreurs non asymptotiques, conditionnellement à B, et déduisons comment ajuster les paramètres pour obtenir une convergence conditionnelle et inconditionnelle à B. Nous fournissons également des expériences numériques.

L'objectif de cette thèse est l'étude de la représentation probabiliste des différentes classes d'EDPSs non-linéaires(semi-linéaires, complètement non-linéaires, réfléchies dans un domaine) en utilisant les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSRs). Cette thèse contient quatre parties différentes. Nous traitons dans la première partie les EDDSRs du second ordre (2EDDSRs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des EDDSRs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi- sure. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste des EDPSs complètement non-linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions les solutions faibles de type Sobolev du problème d'obstacle pour les équations à dérivées partielles inteégro-différentielles (EDPIDs). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour l'EDPIDs par l'intermédiaire des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts (EDSRRs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème d'obstacle, qui est considérée comme un couple constitué de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche utilisée est basée sur les techniques de flots stochastiques développées dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont beaucoup plus techniques. Dans la troisième partie, nous traitons l'existence et l'unicité pour les EDDSRRs dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques du flot stochastiques nous démontrons l'interprétation probabiliste de la solution faible de type Sobolev d'une classe d'EDPSs réfléchies dans un domaine convexe via les EDDSRRs. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique des EDDSRs à temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste des solutions de Sobolev d'EDPSs semi-linéaires avec condition de Dirichlet nul au bord. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe d'EDDSRs quand le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons les bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Cette partie se conclut par des tests numériques qui démontrent que cette approche est effective.

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Nous donnons une interprétation probabiliste pour la solution de Sobolev faible du problème d'obstacle pour les équations intégro-différentielles partielles paraboliques semi-linéaires (PIDE). Les résultats de Léandre [29] sur la propriété homéomorphique pour la solution des EDP avec sauts sont utilisés pour construire des fonctions de test aléatoires pour l'équation variationnelle de ces EDP. Ceci conduit à la connexion naturelle avec les Equations Différentielles Stochastiques Arrière Réfléchies avec sauts (RBSDE) associées, à savoir la formule de Kac de Feynman pour la solution de la PIDE. MSC : 60H15. 60G46. 35R60 Mot clé : Equation différentielle stochastique à rebours réfléchie, équation intégro-différentielle partielle parabolique, processus de diffusion à sauts, problème d'obstacle, flux stochastique, flux de différomorphisme.

L'objectif de cet article est double. Premièrement, nous étendons les résultats de Matoussi et al. (2013) concernant l'existence et l'unicité des 2BSDE réfléchis du second ordre au cas de deux obstacles. Sous certaines hypothèses de régularité sur l'un des obstacles, similaires à celles de Crépey et Matoussi (2008), et lorsque les deux obstacles sont complètement séparés, nous fournissons une théorie complète de la wellposedness pour les BSDE du second ordre doublement réfléchis. Nous montrons également que ces objets sont liés aux jeux d'arrêt optimal non standard, généralisant ainsi la connexion entre les DRBSDE et les jeux de Dynkin prouvée pour la première fois par Cvitanić et Karatzas (1996). Plus précisément, nous montrons sous une hypothèse technique que les DRBSDE du second ordre fournissent des solutions de ce que nous appelons des jeux de Dynkin incertains et qu'ils nous permettent également d'obtenir des prix de super et de sous-couverture pour les options de jeu américaines (également appelées options israéliennes) sur les marchés financiers avec incertitude de la volatilité.

L’objectif de cette thèse est l’étude d’un schéma numérique pour l’approximation des solutions d’équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSR). Durant les deux dernières décennies, plusieurs méthodes ont été proposées afin de permettre la résolution numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades standards. Dans cette thèse, on propose une extension de l’une de ces méthodes au cas doublement stochastique. Notre méthode numérique nous permet d’attaquer une large gamme d’équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) nonlinéaires. Ceci est possible par le biais de leur représentation probabiliste en termes d’EDDSRs. Dans la dernière partie, nous étudions une nouvelle méthode des particules dans le cadre des études de protection en neutroniques.

Le problème de la maximisation robuste de l'utilité dans un marché incomplet avec incertitude de la volatilité est considéré, dans le sens où la volatilité du marché est seulement supposée se situer entre deux bornes données. L'ensemble de tous les modèles possibles (mesures de probabilité) considérés ici est non-dominé. Nous proposons d'étudier ce problème dans le cadre d'équations différentielles stochastiques rétroactives du second ordre (2BSDE en abrégé) avec des générateurs de croissance quadratique. Nous montrons pour des utilités exponentielles, puissantes et logarithmiques que la fonction de valeur du problème peut être écrite comme la valeur initiale d'une 2BSDE particulière et prouvons l'existence d'une stratégie optimale. Enfin, nous fournissons plusieurs exemples qui éclairent davantage le problème et ses liens avec le problème classique de la maximisation de l'utilité. En particulier, nous montrons que dans certains cas, la borne supérieure de l'intervalle de volatilité joue un rôle central, exactement comme dans le problème de l'évaluation des options avec des modèles de volatilité incertaine de [2].

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Dans cet article, nous nous appuyons sur les travaux de Soner, Touzi et Zhang [Probab. Theory Related Fields 153 (2012) 149-190] pour définir une notion d'équation différentielle stochastique inverse du second ordre réfléchie sur un obstacle inférieur c\'{a}dl\'{a}g. Nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution sous une hypothèse de type Lipschitz sur le générateur, et nous étudions certains liens entre nos 2BSDE réfléchies et les problèmes d'arrêt optimal non classiques. Enfin, nous montrons que les 2BSDE réfléchis fournissent un prix de super-couverture pour les options américaines dans un marché avec incertitude de volatilité.

Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons l’existence d’une densité et des estimées gaussiennes pour la solution d’une équation différentielle stochastique rétrograde. C’est une application du calcul de Malliavin et plus particulièrement d’une formule d’I. Nourdin et de F. Viens. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la simulation d’une équation aux dérivées partielles stochastique par une méthode probabiliste qui repose sur la représentation de l’équation aux dérivées partielles stochastique en terme d’équation différentielle doublement stochastique rétrograde, introduite par E. Pardoux et S. Peng. On étend dans ce cadre les idées de F. Zhang et E. Gobet et al. sur la simulation d’une équation différentielle stochastique rétrograde. Dans la dernière partie, nous étudions l’erreur faible du schéma d’Euler implicite pour les processus de diffusion et l’équation de la chaleur stochastique. Dans le premier cas, nous étendons les résultats de D. Talay et L. Tubaro. Dans le second cas, nous étendons les travaux de A. Debussche.

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier quelques problèmes de mathématiques financières dans un marché incomplet avec incertitude sur les modèles. Récemment, la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSRs) a été développée par Soner, Touzi et Zhang sur ce sujet. Dans cette thèse, nous adoptons leur point de vue. Cette thèse contient quatre parties dans le domain des 2EDSRs. Nous commençons par généraliser la théorie des 2EDSRs initialement introduite dans le cas de générateurs lipschitziens continus à celui de générateurs à croissance quadratique. Cette nouvelle classe des 2EDSRs nous permettra ensuite d'étudier le problème de maximisation d'utilité robuste dans les modèles non-dominés. Dans la deuxième partie, nous étudions ce problème pour trois fonctions d'utilité. Dans chaque cas, nous donnons une caractérisation de la fonction valeur et d'une stratégie d'investissement optimale via la solution d'une 2EDSR. Dans la troisième partie, nous fournissons également une théorie d'existence et unicité pour des EDSRs réfléchies du second ordre avec obstacles inférieurs et générateurs lipschitziens, nous appliquons ensuite ce résultat à l'étude du problème de valorisation des options américaines dans un modèle financier à volatilité incertaine. Dans la quatrième partie, nous étudions des 2EDSRs avec sauts. En particulier, nous prouvons l'existence d'une unique solution dans un espace approprié. Comme application de ces résultats, nous étudions un problème de maximisation d'utilité exponentielle robuste avec incertitude sur les modèles. L'incertitude affecte à la fois le processus de volatilité, mais également la mesure des sauts.

Cette thèse traite des Équations aux Dérivées Partielles Stochastiques Quasilinéaires. Elle est divisée en deux parties. La première partie concerne le problème d’obstacle pour les équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires et la deuxième partie est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires dirigées par un G-mouvement brownien. Dans la première partie, on montre d’abord l’existence et l’unicité d’un problème d’obstacle pour les équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires (en bref OSPDE). Notre méthode est basée sur des techniques analytiques venant de la théorie du potentiel parabolique. La solution est exprimée comme une paire (u,v) où u est un processus prévisible continu qui prend ses valeurs dans un espace de Sobolev et v est une mesure régulière aléatoire satisfaisant la condition de Skohorod. Ensuite, on établit un principe du maximum pour la solution locale des équations aux dérivées partielles stochastiques quasilinéaires avec obstacle. La preuve est basée sur une version de la formule d’Itô et les estimations pour la partie positive d’une solution locale qui est négative sur le bord du domaine considéré. L’objectif de la deuxième partie est d’étudier l’existence et l’unicité de la solution des équations aux dérivées partielles stochastiques dirigées par G-mouvement brownien dans le cadre d’un espace muni d’une espérance sous-linéaire. On établit une formule d’Itô pour la solution et un théorème de comparaison.

Cette thèse porte sur l'optimisation des portefeuilles d'actifs soumis au risque de défaut. La crise actuelle nous a permis de comprendre qu'il est important de tenir compte du risque de défaut pour pouvoir donner la valeur réelle de son portefeuille. En effet dûs aux différents échanges des acteurs du marché financier, le système financier est devenu un réseau de plusieurs connections dont il est indispensable d'identifier pour évaluer le risque d'investir dans un actif financier. Dans cette thèse, nous définissons un système financier avec un nombre fini de connections et nous proposons un modèle de la dynamique d'un actif dans un tel système en tenant compte des connections entre les différents actifs. La mesure de la corrélation sera faite à travers l'intensité de sauts des processus. A l'aide des Equations stochastiques Différentielles Rétrogrades (EDSR), nous déduirons le prix d'un actif contingent et nous tiendrons compte du risque de modèle afin de mieux évaluer la consommation et la richesse optimal si on investit dans un tel marché.

L'objet de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solutions des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies puis de lier cette notion à des problèmes tels que l'investissement réversible ou bien le problème d'arrête et de reprise, le jeu stochastique différentiel de somme nulle (mixte type ou Dynkin type), ou alors l'interprétation probabiliste de solutions faibles des équations intégrales aux dérivées partielles, au sens de viscosité ou au sens Sobolev dans les cadres différents.

Cette thèse a pour objet, d'une part, l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies (EDDSR) et d'autre part, la preuve de l'existence et l'unicité des solutions d'équations aux dérivées partielles stochastiques quasi-linéaires (EDPS), formulées dans un sens faible . en utilisant des solutions généralisées des équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSR). Dans la première partie, on s'attache à montrer l'existence d'une solution pour l'EDSR réfléchie sur une ou deux barrières à coefficient non Lipschitz. On s'interroge en effet sur les hypothèses minimales à inclure pour obtenir ce résultat. Dans la seconde partie, on s'intéresse à l'EDPS quasi-lineaire suivante : U/T = LU (T, X) + F(T, X, U(T, X), (*U)(T, X))DT + H(T, X, U(T, X), (*U)(T, X))B/T(T), U(T, X) = G(X) ou G est une distribution. Compte tenu des résultats déjà connus sur ce sujet, nous répondons aux questions suivantes: - dans le cas ou les coefficients F(S, X, Y, Z) et H(S, X, Y, Z) sont linéaires en (Y, Z) et appartiennent à un espace de type Sobolev en X, existe-t-il une formulation faible des EDDSR pour donner une formule de Feynman-Kac pour la solution d'EDPS ? - dans le cas ou les coefficients sont non-linéaires, peut-on montrer l'existence et l'unicite d'une solution de l'EDPS et ainsi généraliser les résultats obtenus par Barles et Lesigne (1997) dans le cadre des EDP standards ?.