Some contributions to backward stochastic differential equations and applications.

Résumé Cette thèse est consacrée à l'étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) et leurs applications. Dans le chapitre 1, on étudie le problème de maximisation de l'utilité de la richesse terminale où le prix de l'actif peut être discontinue sous des contraintes sur les stratégies de l'agent. Nous nous concentrons sur l'EDSR dont la solution représente l'utilité maximale, ce qui permet de transférer des résultats sur les EDSR quadratiques, en particulier les résultats de stabilité, au problème de maximisation d'utilité. Dans le chapitre 2, nous considèrons le problème de valorisation d'options Américaines des points de vue théorique et numérique en s'appuyant sur la représentation du prix de l'option comme solution de viscosité d'une équation parabolique non linéaire. Nous étendons le résultat prouvé dans [Benth, Karlsen and Reikvam 2003] pour un put ou call Américain à un cas plus général dans un cadre multidimensionnel. Nous proposons deux schémas numériques inspirés par les processus de branchement. Nos expériences numériques montrent que l'approximation du générateur discontinu, associé à l'EDP, par des polynômes locaux n'est pas efficace tandis qu'une simple procédure de randomisation donne de très bon résultats. Dans le chapitre 3, nous prouvons des résultats d'existence et d'unicité pour une classe générale d'équations progressives-rétrogrades à champs moyen sous une condition de monotonicité faible et une hypothèse non-dégénérescence sur l'équation progressive et nous donnons une application dans le domaine de stockage d'énergie dans le cas où la production d'électricité est imprévisible.