Modèle d'incertitude en finance et équations différentielles stochastiques rétroactives du second ordre.

Résumé L'objectif principal de cette thèse est d'étudier quelques problèmes de mathématiques financières dans un marché incomplet avec incertitude sur les modèles. Récemment, la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSRs) a été développée par Soner, Touzi et Zhang sur ce sujet. Dans cette thèse, nous adoptons leur point de vue. Cette thèse contient quatre parties dans le domain des 2EDSRs. Nous commençons par généraliser la théorie des 2EDSRs initialement introduite dans le cas de générateurs lipschitziens continus à celui de générateurs à croissance quadratique. Cette nouvelle classe des 2EDSRs nous permettra ensuite d'étudier le problème de maximisation d'utilité robuste dans les modèles non-dominés. Dans la deuxième partie, nous étudions ce problème pour trois fonctions d'utilité. Dans chaque cas, nous donnons une caractérisation de la fonction valeur et d'une stratégie d'investissement optimale via la solution d'une 2EDSR. Dans la troisième partie, nous fournissons également une théorie d'existence et unicité pour des EDSRs réfléchies du second ordre avec obstacles inférieurs et générateurs lipschitziens, nous appliquons ensuite ce résultat à l'étude du problème de valorisation des options américaines dans un modèle financier à volatilité incertaine. Dans la quatrième partie, nous étudions des 2EDSRs avec sauts. En particulier, nous prouvons l'existence d'une unique solution dans un espace approprié. Comme application de ces résultats, nous étudions un problème de maximisation d'utilité exponentielle robuste avec incertitude sur les modèles. L'incertitude affecte à la fois le processus de volatilité, mais également la mesure des sauts.