Construction de flux de type Boltzmann et McKean Vlasov (approche du lemme de couture).

Résumé Nous nous intéressons à un mélange d'équations de type Boltzmann et McKean-Vlasov, c'est-à-dire (en termes probabilistes) des équations dont les coefficients dépendent de la loi de la solution elle-même, et pilotées par une mesure ponctuelle de Poisson dont l'intensité dépend également de la loi de la solution. L'équation de Boltzmann analytique et l'interprétation probabiliste initiée par Tanaka (1978) ont toutes deux fait l'objet de discussions intenses dans la littérature pour des modèles spécifiques liés au comportement des molécules de gaz. Dans cet article, nous considérons des coefficients abstraits généraux qui peuvent inclure des effets de champ moyen, puis nous discutons également du lien avec des modèles spécifiques. Contrairement à l'approche habituelle dans laquelle des équations intégrales sont utilisées pour énoncer le problème, nous employons ici une nouvelle formulation du problème en termes de flux d'endomorphismes sur l'espace de mesure de probabilité doté de la distance de Wasserstein. Ce point de vue est déjà apparu dans le cadre des équations différentielles grossières. Nos résultats concernent l'existence et l'unicité de la solution, dans la formulation des flux, mais nous prouvons également que la "solution de flux" est une solution de l'équation faible intégrale classique et admet une interprétation probabiliste. De plus, nous obtenons des résultats de stabilité et de régularité par rapport au temps pour de telles solutions. Enfin, nous prouvons la convergence des mesures empiriques basées sur les systèmes de particules vers la solution de notre problème, et nous obtenons le taux de convergence. Nous discutons comme exemples l'équation de Boltzmann (Enskog) homogène et inhomogène avec des potentiels durs.