Applications de la théorie de l'erreur à l'aide de formes de Dirichlet.

Résumé Cette thèse est consacrée à l'étude des applications de la théorie des erreurs utilisant les formes de Dirichlet. Notre travail est divisé en trois parties. La première traite des modèles décrits par des équations différentielles stochastiques. Après un court chapitre technique, un modèle innovant pour les carnets d'ordres est proposé. Nous supposons que l'écart entre les cours acheteur et vendeur n'est pas une imperfection, mais plutôt une propriété intrinsèque des marchés des changes. L'incertitude est portée par le mouvement brownien qui guide l'actif. Nous constatons que l'évolution des spreads peut être évaluée à l'aide de formules fermées et nous estimons l'impact de l'incertitude sous-jacente sur les demandes contingentes associées. Ensuite, nous traitons du modèle PBS, un nouveau modèle pour évaluer les options européennes. L'idée maîtresse est de distinguer la volatilité du marché par rapport au paramètre utilisé par les traders pour se couvrir. Nous supposons que le premier est constant, tandis que la seconde volatilité est une estimation subjective erronée du premier. Nous prouvons que ce modèle anticipe un écart entre les cours acheteur et vendeur et une courbe de volatilité implicite souriante. Les propriétés majeures de ce modèle sont l'existence de formules fermées pour les prix, l'impact de la dérive sous-jacente et une stratégie de calibration efficace. La deuxième partie traite des modèles décrits par des équations aux dérivées partielles. Les EDP linéaires et non linéaires sont examinées séparément. Dans le premier cas, nous montrons quelques relations intéressantes entre la théorie des erreurs et celle des ondelettes. Dans le cas des EDP non linéaires, nous étudions la sensibilité de la solution en utilisant la théorie des erreurs. Sauf lorsqu'une solution exacte existe, deux approches possibles sont détaillées : d'abord, nous analysons la sensibilité obtenue en prenant des "dérivées" des équations gouvernantes discrètes. Ensuite, nous étudions les EDPs résolues par la sensibilité des solutions théoriques. Dans les deux cas, nous montrons que la sensibilité et le biais résolvent des EDP linéaires dépendant de la solution de l'ancienne EDP elle-même et nous proposons des algorithmes pour évaluer numériquement les sensibilités. Enfin, la troisième partie est consacrée aux équations aux dérivées partielles stochastiques. Notre analyse est divisée en deux chapitres. D'abord, nous étudions la transmission d'une incertitude, présente sur les conditions de départ, sur la solution de l'EDPS. Ensuite, nous analysons l'impact d'une perturbation des termes fonctionnels de l'EDPS et du coefficient de la fonction de Green associée. Dans les deux cas, nous montrons que l'acuité et le biais vérifient les SPDE linéaires en fonction de la solution de la première SPDE elle-même. Cette thèse est consacrée à l'étude des applications de la théorie des erreurs par formes de Dirichlet.